2024辽宁中考数学二轮专题训练 题型五 函数实际应用题(最值问题) (含答案)

2024辽宁中考数学二轮专题训练题型五函数实际应用题(最值问题)突破设问一求函数关系式情形1题干中已知函数关系式典例精讲例1某商家销售一种农产品，若该农产品的种植成本为10元/斤，售价不低于15元/斤，每日销售量y(斤)与售价x(元/斤)之间满足如图所示的一次函数关系式，求y与x之间的函数关系式．【思维教练】欲求y与x之间的函数关系式，由题目可知，y与x之间满足一次函数关系式，则可设函数关系式为y＝kx＋b，由图象可知，一次函数过两点(15，200)(20，160)，利用待定系数法即可求得关系式．例1题图针对训练1.某商店销售一种商品，经市场调查发现：该商品的周销售量y(件)是售价x(元/件)的一次函数，售价x(元/件)、周销售量y(件)的三组对应值如表，求周销售量y(件)与售价x(元/件)之间的函数关系式．售价x(元/件)406070周销售量y(件)1208060情形2题干中未知函数关系式典例精讲例2某服装店以每件30元的价格购进一批T恤，如果以①每件40元出售，那么一个月内能售出300件，若销售单价每提高1元，销售量就会减少10件，求销售量y(件)与销售单价x(元)之间的函数关系式．【分层分析】第一步：本题属于销售问题；第二步：转化题干信息：根据信息①，可得利用公式：销售量＝原销量－eq\f(（上涨后的售价－原售价）,每次上涨的价格)×减少的销量，可得________；第三步：求出函数关系式．针对训练2.某公司计划组织优秀员工去风景区三日游，人数估计在25～45人．已知旅行社的收费方案为：如果人数超过20人且不超过30人，人均收费为1000元；如果超过30人且不超过50人，则每增加1人，人均收费降低10元．设该公司旅游人数为x人，人均收费为y元．求y与x之间的函数关系式(并写出自变量的取值范围)．突破设问二求最大利润问题情形1直接利用二次函数性质求最值典例精讲例3某超市以20元/kg的价格购进一批商品进行销售，根据以往的销售经验及对市场行情的调研，该超市得到日销售量y(kg)与销售价格x(元/kg)之间满足一次函数关系，部分数据如下表：销售价格x(元/kg)25303540…日销售量y(kg)1000800600400…超市应如何确定销售价格，才能使日销售利润的w(元)最大？w的最大值为多少？满分技法如何求二次函数的最大值：(1)可直接利用配方法求最值，即y＝ax2＋bx＋c＝a(x＋eq\f(b,2a))2＋eq\f(4ac－b2,4a)，当a<0时，有最大值eq\f(4ac－b2,4a)；(2)若顶点在已知给定的自变量取值范围内，则函数在顶点处取得最大值；若顶点不在已知给定的自变量取值范围内，则根据二次函数的性质判断所给自变量取值范围的两端点处对应的函数值大小，从而确定最大值．针对训练3.某荔枝专卖店为了增加荔枝销量，每天都给到店前50名购买者每人赠送20元现金红包．已知该荔枝的进价为40元/kg，如果每日销售单价记为x(元/kg)，每日销售量记为y(kg)，那么y与x之间满足函数关系式为y＝－100x＋6000(40<x≤60)．(1)设专卖店销售荔枝的日获利为w(元)，请求出w与x的函数关系式；(2)当荔枝销售单价定为多少时，销售日利润最大？最大利润是多少？情形2分段求最值，再比较大小典例精讲例4小明利用暑期参加社会实践，在妈妈的帮助下，利用社区提供的免费摊点卖玩具，已知所有玩具的进价均为2元/件，在销售过程中发现：每天玩具的销售量y(件)与销售价格x(元/件)之间的关系如图所示，其中AB段为反比例函数图象的一部分，BC段为一次函数图象的一部分，设小明销售这种玩具的日利润为w元．求每天销售这种玩具的利润w(元)的最大值．例4题图满分技法在分段函数中，需要在不同的取值范围内求最值，再比较大小．针对训练4.某水产养殖户利用温棚养殖技术养殖白虾，与传统养殖相比，可缩短养殖周期，并从原来的每年养殖两季提高至每年三季．已知每千克白虾的养殖成本为8元，在某上市周期的70天里，销售单价p(元/千克)与时间第t天之间的函数关系如下：p＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)t＋20，（1≤t＜40，t为整数）,－\f(1,2)t＋50，（40≤t≤70，t为整数）))，日销售量y(千克)与时间第t天之间的函数关系如图所示，求第几天的日销售利润最大？最大利润是多少元？第4题图

综合训练类型一利润问题1.某超市以每千克20元的价格购进了一种面包，规定销售单价不低于成本价，且获利不高于70%.经市场调查，每天的销售量y(千克)与销售单价x(元)满足一次函数关系，且当销售单价为25元时，每天卖出120千克；当销售单价为30元时，每天卖出100千克．(1)求y与x的函数关系式；(2)当面包的销售单价定为多少时，超市每天获得的利润最大？最大利润是多少？2.某公司经过市场调查，整理出某种商品在某个月的第x天的售价与销量的相关信息如下表：第x天售价(元/件)日销售量(件)1≤x≤30x＋60300－10x已知该商品的进价为40元/件，设销售该商品的日销售利润为w元．(1)求w与x的函数关系式；(2)问销售该商品第几天时，日销售利润最大？最大日销售利润为多少元？3.网络销售已经成为一种热门的销售方式，为了减少农产品的库存，某市市长亲自在网络平台上进行直播带货．为提高大家购买的积极性，直播时，每天拿出2000元现金，作为红包发给购买者．已知某板栗的成本价格为6元/kg，每日销售量y(kg)与销售单价x(元/kg)满足关系式：y＝－100x＋5000.经销售发现，销售单价不低于成本价格且不高于30元/kg.当每日销售量不低于4000kg时，每千克成本将降低1元．设板栗公司销售该板栗的日获利为W(元)．(1)请求出日获利W与销售单价x之间的函数关系式；(2)当销售单价定为多少时，销售这种板栗日获利最大？最大利润为多少元？4.小丹利用空余时间批发了一种成本为3元/个的小玩具，该玩具的日销售量y(个)与销售单价x(元)的函数图象如图所示：(1)求y关于x的函数表达式；(2)求小丹销售该玩具获得的最大日利润；(3)经过一段时间，小丹决定每销售一个玩具，就捐赠1元钱给山区希望小学，物价部门规定该商品的销售单价不能超过m元，若捐赠后小丹销售该玩具的日销售利润最大为150元，求m的值．第4题图5.“互联网＋”时代，网上购物备受消费者青睐．某网店专售一款休闲裤，其成本为每条40元，当售价为每条80元时，每月可销售100条．为了吸引更多顾客，该网店采取降价措施．据市场调查反映：销售单价每降1元，则每月可多销售5条．设每条裤子的售价为x元(x为正整数)，每月的销售量为y条．(1)求y与x的函数关系式；(2)设该网店每月获得的利润为w元，当销售单价降低多少元时，每月获得的利润最大，最大利润是多少？(3)该网店店主热心公益事业，决定每月从利润中捐出400元资助贫困学生．为了保证捐款后每月利润不低于4020元，且让消费者得到最大的实惠，该如何确定休闲裤的销售单价？6.某果品合作社收购了14吨水果，决定同时采用两种方式进行销售：方式1：直接销售，每吨可获得利润0.2万元；方式2：加工成水果制品销售，每吨可获得利润0.6万元，但需要支付加工费．设加工成水果制品的水果为x吨，当0≤x≤8时，加工总费用y(万元)与x2成正比，当8＜x≤14时，加工总费用y(万元)满足一次函数关系，经过统计得到如下数据：x(吨)51012y(万元)1.253.84.4若将x吨水果加工成水果制品销售，其余直接销售．(1)求y与x的函数关系式；(2)若将这14吨水果全部销售完所获得的总利润w为3.4万元，求x的值；(3)求这14吨水果全部销售完的情况下，能获得的最大总利润w是多少？类型二费用问题1.糖果厂对销售糖果的定价标准由生产费与包装费两部分组成，包装费y1(百元)与原料数量x(千克)之间的函数关系式为y1＝kx＋b(0＜x≤4)，当加工1千克糖果时，包装费是0.3(百元)，当加工4千克糖果时，包装费全免，生产费y2(百元)与原料数量x(千克)之间的函数关系式为y2＝ax2－0.2x(a＞0)．(1)求出y1与x之间的函数关系式；(2)当a＝0.1时，求原料数量为多少千克时，总费用最少？2.某社区拟将一块面积为1000m2的空地进行绿化，一部分种草，剩余部分栽花，种草费用y1(元)与x(m2)的函数关系式为y1＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k1x（0≤x＜600）,k2x＋b（600≤x≤1000）))，其图象如图所示．栽花所需费用y2(元)与x(m2)之间满足二次函数．部分数据如下表：x(m2)100200300y2(元)3900760011100(1)求出y1与种草面积x(m2)的函数关系式，y2与栽花面积x(m2)的函数关系式；(2)设这块1000m2空地的绿化总费用为W(元)，请利用W与种草面积x(m2)的函数关系式，求出绿化总费用W的最大值；(3)若种草部分的面积不少于600m2且不多于800m2，请求出绿化总费用W的最小值．第2题图类型三其他问题1.如图①，有一块五边形余料ABCDE，AB＝AE＝6，BC＝5，∠A＝∠B＝90°，∠C＝135°，∠E>90°，要在这块余料中截取一块矩形，其中一条边在AE上，并使所截矩形材料的面积尽可能大．(1)若按照如图②所示办法，所截矩形材料的一条边是AE，求矩形材料的面积；(2)能否截出比(1)中面积更大的矩形材料？如果能，求出该矩形材料面积的最大值；如果不能，说明理由．第1题图2.如图，在水平地面点A处有一网球发射器向空中发射网球，网球飞行路线是一条抛物线，在地面上落点为B，有人在直线AB上点C(靠点B一侧)竖直向上摆放若干个无盖的圆柱形桶，试图让网球落入桶内，若AB＝4米，AC＝3米，网球飞行最大高度OM＝5米，圆柱形桶的直径CD为0.5米，高为0.3米(网球的体积和圆柱形桶的厚度忽略不计)．(1)求网球飞行路线的函数解析式；(2)当竖直摆放圆柱形桶至少多少个时，网球可以落入桶内？第2题图参考答案例1解：由题目可知y与x之间满足一次函数关系式，设函数关系式为y＝kx＋b，由题图得当x＝15时，y＝200，当x＝20时，y＝160.∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(15k＋b＝200,20k＋b＝160))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝－8,b＝320))，∴y与x之间的函数关系式为y＝－8x＋320.1.解：设周销售量y(件)与售价x(元/件)之间的函数关系式为y＝kx＋b.由表格可知，将(40，120)，(60，80)代入得，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(120＝40k＋b,80＝60k＋b))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝－2,b＝200)).∴周销售量y(件)与售价x(元/件)之间的函数关系式为y＝－2x＋200.例2【分层分析】300－(x－40)×10解：若销售单价为x元，则提高的单价为(x－40)元，根据题意可得，y＝300－(x－40)×10＝700－10x.∴销售量y(件)与销售单价x(元)之间的函数关系式为y＝700－10x.2.解：根据题意可知，当25≤x≤30时，y＝1000；当30<x≤45时，y＝1000－10(x－30)＝－10x＋1300.∴y与x之间的函数关系式为y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1000（25≤x≤30）,－10x＋1300（30＜x≤45）)).例3解：设日销售量y(kg)与销售价格x(元/kg)之间的函数关系式为y＝kx＋b，将(30，800)，(40，400)代入得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(800＝30k＋b,400＝40k＋b))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝－40,b＝2000))，∴日销售量y(kg)与销售价格x(元/kg)之间的函数关系式为y＝－40x＋2000.∴w＝y(x－20)＝(－40x＋2000)(x－20)＝－40(x－35)2＋9000，∵－40<0，∴当x＝35时，日销售利润w取得最大值，最大值为9000元.答：超市应当将销售价格定为35元/kg，才能使日销售利润w最大，w的最大值为9000.3.解：(1)w＝(x－40)(－100x＋6000)－50×20＝－100x2＋10000x－241000，即专卖店销售荔枝的日获利w与销售单价x之间的函数关系式为w＝－100x2＋10000x－241000；(2)w＝－100x2＋10000x－241000＝－100(x－50)2＋9000，∵a＝－100<0，∴当x＝50时，w有最大值，最大值为9000元，答：当销售单价定为50元时，销售日利润最大，最大利润为9000元．例4解：由题图得，当2≤x≤4时，设AB段的反比例函数关系式为y＝eq\f(k1,x)，将x＝2，y＝40代入得k1＝80，∴y＝eq\f(80,x)，∴w＝(x－2)y＝(x－2)·eq\f(80,x)＝80－eq\f(160,x)，∵w随x(2≤x≤4)的增大而增大，∴当x＝4时，w取得最大值，最大值为40元，当4<x≤14时，设BC段的一次函数关系式为y＝kx＋b，将点B(4，20)，C(14，0)代入得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4k＋b＝20,14k＋b＝0))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝－2,b＝28))，∴y＝－2x＋28，∴w＝(x－2)y＝(x－2)(－2x＋28)＝－2x2＋32x－56＝－2(x－8)2＋72，∵－2<0，∴当x＝8时，w取得最大值，最大值为72元，∵72＞40.∴每天销售这种玩具的利润w(元)的最大值为72元．4.解：由图象可知，设y与t之间的函数关系式为y＝kt＋b，将点(1，198)，(70，60)代入得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(198＝k＋b,60＝70k＋b))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝－2,b＝200))，∴y与t之间的函数关系式为y＝－2t＋200(1≤t≤70，t为整数)；设日销售利润为w，当1≤t＜40时，日销售利润w＝(eq\f(1,4)t＋20－8)(－2t＋200)＝－eq\f(1,2)t2＋26t＋2400＝－eq\f(1,2)(t－26)2＋2738，∴w是关于t的二次函数，图象开口向下，当t＝26时，w取最大值，此时w最大＝2738(元)；当40≤t≤70时，日销售利润w＝(－eq\f(1,2)t＋50－8)(－2t＋200)＝t2－184t＋8400，∴w是关于t的二次函数，图象开口向上，对称轴为直线t＝－eq\f(－184,2)＝92，∴当40≤t≤70时，w随t的增大而减小，∴当t＝40时，w最大，此时w最大＝402－184×40＋8400＝2640(元)，∵2738＞2640，∴第26天的日销售利润最大，最大利润是2738元．类型一利润问题1.解：(1)设y与x的函数关系式为y＝kx＋b(k≠0)，由题意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(120＝25k＋b,100＝30k＋b))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝－4,b＝220)).∵销售单价不低于成本价，且获利不高于70%，∴20≤x≤20×(1＋70%)，即20≤x≤34，∴y与x的函数关系式为y＝－4x＋220(20≤x≤34)；(2)设超市每天获得的利润为w元，根据题意得：w＝(x－20)(－4x＋220)＝－4(x－eq\f(75,2))2＋1225，∵a＝－4＜0，对称轴为直线x＝eq\f(75,2)，∴图象开口向下，在对称轴左侧，w随x的增大而增大．∵20≤x≤34，∴当x＝34时，w有最大值，最大值为－4×(34－eq\f(75,2))2＋1225＝1176(元)．答：当面包的销售单价定为34元时，超市每天获得的利润最大，最大利润是1176元．2.解：(1)由题意得w＝(x＋60－40)(300－10x)＝－10x2＋100x＋6000，∴w与x的函数关系式为w＝－10x2＋100x＋6000；(2)w＝－10x2＋100x＋6000＝－10(x－5)2＋6250，∵－10＜0，∴抛物线开口向下，当x＝5时，y取得最大值，最大值为6250元．答：销售该商品第5天时，日销售利润最大，最大日销售利润为6250元．3.解：(1)当y≥4000，即－100x＋5000≥4000，∴x≤10，∴当6≤x≤10时，W＝(x－6＋1)(－100x＋5000)－2000＝－100x2＋5500x－27000，当10＜x≤30时，W＝(x－6)(－100x＋5000)－2000＝－100x2＋5600x－32000，综上所述，W与x之间的函数关系式为W＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－100x2＋5500x－27000（6≤x≤10）,－100x2＋5600x－32000（10＜x≤30）))；(2)当6≤x≤10时，W＝－100x2＋5500x－27000＝－100(x－eq\f(55,2))2＋48625，∵a＝－100＜0，对称轴为直线x＝eq\f(55,2)，∴当6≤x≤10时，y随x的增大而增大，即当x＝10时，W最大值＝18000元，当10＜x≤30时，W＝－100x2＋5600x－32000＝－100(x－28)2＋46400，∵a＝－100＜0，对称轴为直线x＝28，∴当x＝28时，W最大＝46400元，∵46400＞18000，∴当销售单价定为28元时，销售这种板栗日获利最大，最大利润为46400元．4.解：(1)设y关于x的函数表达式为y＝kx＋b(k≠0)，将(3，90)，(12，0)代入，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3k＋b＝90,12k＋b＝0))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝－10,b＝120))，∴y关于x的函数表达式为y＝－10x＋120(3≤x≤12)；(2)设小丹销售该玩具获得的日销售利润为w元，则w＝(－10x＋120)(x－3)＝－10(x－eq\f(15,2))2＋202.5，∵－10<0，且当x＝eq\f(15,2)时，y为整数，∴当x＝eq\f(15,2)时，w有最大值，最大利润为202.5.答：小丹销售该玩具获得的最大日利润为202.5元；(3)设小丹捐赠后获得的日销售利润为w1，则w1＝(x－4)(－10x＋120)＝－10(x－8)2＋160，∵日销售最大利润是150元，∴－10(x－8)2＋160＝150，解得x1＝7，x2＝9.∵4≤x≤m，∴分两种情况：①当m＝7时，在对称轴左侧，w1随x的增大而增大，∴当x＝m＝7时，w最大＝150，②当m＝9时，在4≤x≤9的范围内w最大＝160≠150，∴这种情况不成立．综上所述，m的值为7.5.解：(1)由题意可得y＝100＋5(80－x)＝－5x＋500，∴y与x的函数关系式为y＝－5x＋500；(2)由题意得，w＝(x－40)(－5x＋500)＝－5x2＋700x－20000＝－5(x－70)2＋4500，∵a＝－5＜0，抛物线开口向下，∴当x＝70时，w有最大值，w最大＝4500，∴应降价80－70＝10(元)．∴当降价10元时，每月获得的利润最大，最大利润为4500元；(3)由题意得－5(x－70)2＋4500＝4020＋400，解得x1＝66，x2＝74，∵抛物线w＝－5(x－70)2＋4500开口向下，对称轴为直线x＝70，∴当66≤x≤74时，符合该网店要求，∵要让消费者得到最大的实惠，∴x＝66.∴当销售单价定为66元时，既符合网店要求，又能让消费者得到最大的实惠．6.解：(1)当0≤x≤8时，设y＝ax2，由题意得，1.25＝a×52，解得a＝0.05，∴y＝0.05x2；当8＜x≤14时，设y＝kx＋b，由题意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3.8＝10k＋b,4.4＝12k＋b))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝0.3,b＝0.8))，∴y＝0.3x＋0.8.综上所述，y与x的函数关系式为y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0.05x2（0≤x≤8）,0.3x＋0.8（8＜x≤14）))；(2)当0≤x≤8时，w＝0.2(14－x)＋0.6x－0.05x2＝3.4，解得x1＝2，x2＝6；当8＜x≤14时，w＝0.2(14－x)＋0.6x－(0.3x＋0.8)＝3.4，解得x＝14.综上所述，当销售总利润为3.4万元时，x的值为2或6或14；(3)由题意得，当0≤x≤8时，w＝0.2(14－x)＋0.6x－0.05x2＝－0.05x2＋0.4x＋2.8＝－0.05(x－4)2＋3.6，∵－0.05<0，∴当x＝4时，w有最大值，最大值为3.6万元；当8＜x≤14时，w＝0.2(14－x)＋0.6x－(0.3x＋0.8)＝0.1x＋2，∵0.1>0，∴当x＝14时，w有最大值，最大值为3.4万元．∵3.4＜3.6，∴这14吨水果全部销售完的情况下，能获得的最大总利润w为3.6万元．类型二费用问题1.解：(1)由题意得：当x＝1时，y＝0.3，当x＝4时，y＝0.∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＋b＝0.3,4k＋b＝0))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝－0.1,b＝0.4))，∴y1与x之间的函数关系式为y1＝－0.1x＋0.4(0＜x≤4)；(2)当a＝0.1时，设总费用为w(百元)，∴w＝y1＋y2＝－0.1x＋0.4＋0.1x2－0.2x＝0.1x2－0.3x＋0.4＝0.1(x－1.5)2＋0.175，∵0.1＞0，0＜1.5＜4，∴当原料数量为1.5千克时，总费用最少．2.解：(1)将(600，18000)代入y1＝k1x得，18000＝600k1，解得k1＝30，∴y1＝30x(0≤x＜600)；将(600，18000)(1000，26000)代入y1＝k2x＋b，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(18000＝600k2＋b,26000＝1000k2＋b))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k2＝20,b＝6000)).∴y1＝20x＋6000；∴y1与种草面积x(m2)的函数关系式为y1＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(30x（0≤x＜600）,20x＋6000（600≤x≤1000）))，设y2与栽花面积x(m2)的函数关系式为y2＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由题意得，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3900＝10000a＋100b＋c,7600＝40000a＋200b＋c,11100＝90000a＋300b＋c))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－0.01,b＝40,c＝0))，∴y2与栽花面积x(m2)的函数关系式为y2＝－0.01x2＋40x；(2)当0≤x＜600时，W＝y1＋y2＝30x＋[－0.01(1000－x)2＋40(1000－x)]＝－0.01x2＋10x＋30000＝－0.01(x－500)2＋32500，∵－0.01＜0，∴当x＝500时，W有最大值为32500元．当600≤x≤1000时，W＝y1＋y2＝20x＋6000＋[－0.01(1000－x)2＋40(1000－x)]＝－0.01x2＋36000，∵－0.01＜0，∴当600