高三数学一轮复习第二章函数第2课时函数的单调性与最值学案

第2课时函数的单调性与最值[考试要求]1．借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值．2．理解函数的单调性、最大值、最小值的作用和实际意义．考点一确定函数单调性(单调区间)1．(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为D，区间I⊆D，如果∀x1，x2∈I当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间I上单调递增，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间I上单调递减，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数y＝f(x)在区间I上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间I叫做y＝f(x)的单调区间．提醒：(1)求函数的单调区间，应先确定函数的定义域．(2)有多个单调区间应分开写，不能用符号“∪”联结，也不能用“或”联结，只能用“逗号”或“和”联结．[常用结论]函数单调性的两个等价结论设∀x1，x2∈I(x1≠x2)，则(1)fx1-fx2x1-x2>0(或(x1－x2)[f(x1)－f(x2(2)fx1-fx2x1-x2<0(或(x1－x2)[f(x1)－f(x22．利用导数求函数单调区间的基本步骤(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f′(x)；(3)由f′(x)>0(或<0)解出相应x的取值范围．当f′(x)>0时，f(x)在相应的区间内是单调递增的；当f′(x)<0时，f(x)在相应的区间内是单调递减的．[典例1](1)(多选)下列函数在(0，＋∞)上单调递增的是()A．y＝ex－e－x B．y＝|x2－2x|C．y＝2x＋2cosx D．y＝x(2)函数f(x)＝2－A．[－1，＋∞) B．(－∞，－1)C．(－∞，0) D．(0，＋∞)(1)AC(2)B[(1)∵y＝ex与y＝－e－x为R上的增函数，∴y＝ex－e－x为R上的增函数，故A正确；由y＝|x2－2x|的图象(图略)知，B不正确；对于选项C，y′＝2－2sinx≥0，∴y＝2x＋2cosx在(0，＋∞)上单调递增，故C正确；y＝x2+x-2的定义域为(－∞，－2]∪(2)f(x)＝2－x2－2x分解为y＝2u和u＝－x2－2x两个函数，yu＝－x2－2x＝－(x＋1)2＋1在(－∞，－1)上单调递增，在[－1，＋∞)上单调递减，所以f(x)＝2－x2－2x本例(1)可以借助图象也可以利用定义法或导数法来解决；本例(2)复合函数y＝f(g(x))的单调性与y＝f(u)和u＝g(x)的单调性有关．简记：“同增异减”．跟进训练1(1)下列函数中，定义域是R且为增函数的是()A．y＝e－x B．y＝x3C．y＝lnx D．y＝|x|(2)函数f(x)＝log12(－x2＋A．12，3 C．(－2，3) D．1(1)B(2)A[(1)四个函数的图象如下，显然B成立．(2)由－x2＋x＋6>0，得－2<x<3，故函数f(x)的定义域为(－2，3)，令t＝－x2＋x＋6，则y＝log12t，易知其为减函数，由复合函数的单调性法则可知，本题等价于求函数t＝－x2＋x＋6在(－2，3)上的单调递减区间．利用二次函数的性质可得t＝－x2＋x考点二函数单调性的应用1．比较大小问题，可借助函数的单调性求解．2．求解含“f”的函数不等式的解题思路：先利用函数的相关性质将不等式转化为f(g(x))＞f(h(x))的形式，再根据函数的单调性去掉“f”，得到一般的不等式g(x)＞h(x)(或g(x)＜h(x))．3．利用单调性求参数的范围(或值)的方法(1)视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；(2)需注意若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的；(3)注意函数单调性呈现的三种方式：定义式、比值式fx2-fx1x2-x1、乘积式(x2－x1)[4．对于恒成立问题，常用到以下两个结论：(1)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max；(2)a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min．[典例2](1)(2024·武汉模拟)已知函数f(x)＝1ex+1－12，若a＝f(21.3)，b＝f(40.7)，c＝f(log38)，则aA．c<a<b B．a<c<bC．b<a<c D．a<b<c(2)已知函数f(x)满足f(x)＝f(－x)，当x≥0时，f(x)＝3x＋2x，则不等式f(x－2)<13的解集为()A．(－∞，0)∪(4，＋∞) B．(0，4)C．(0，2) D．(－∞，0)∪(2，＋∞)(3)(2020·新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)＝lg(x2－4x－5)在(a，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是()A．(－∞，－1] B．(－∞，2]C．[2，＋∞) D．[5，＋∞)(1)C(2)B(3)D[(1)函数f(x)＝1ex+1－1又log38<2<21.3<21.4＝40.7，所以f(40.7)<f(21.3)<f(log38)，即b<a<c，故选C．(2)依题意知f(x)为偶函数，其图象关于y轴对称，当x≥0时，f(x)单调递增，且f(2)＝13，根据偶函数的对称性可知，f(x)在(－∞，0)单调递减，由f(x－2)<13得|x－2|<2，即0<x<4，所以解集为(0，4)．故选B．(3)由x2－4x－5＞0，解得x＞5或x＜－1，所以函数f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(5，＋∞)．又函数y＝x2－4x－5在(5，＋∞)上单调递增，在(－∞，－1)上单调递减，所以函数f(x)＝lg(x2－4x－5)在(5，＋∞)上单调递增，所以a≥5，故选D．]本例(1)明确函数f(x)＝1ex+1－12是R上的减函数是解决本题的关键；本例(2)中f(x)为偶函数，注意偶函数f跟进训练2(1)已知函数f(x)的图象向左平移1个单位长度后关于y轴对称，当x2>x1>1时，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0恒成立，设a＝f-12，b＝f(2)，c＝f(3)，则a，b，A．c>a>b B．c>b>aC．a>c>b D．b>a>c(2)设函数f(x)＝-x2+4x-A．-∞，32C．32，2 (3)若函数f(x)＝ax-2，x≤2，3A．(0，1] B．(0，2]C．0，32 (1)D(2)D(3)A[(1)根据已知可得函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，且在(1，＋∞)上单调递减．所以a＝f-12＝f52，f(2)>f5所以b＞a＞c．故选D．(2)函数f(x)的图象如图所示，由图可知，函数f(x)在R上单调递增，因为f(4)＝2，所以f(2x－1)<2等价于f(2x－1)<f(4)，故2x－1<4，即x<52(3)因为函数f(x)＝ax-2，x≤2，3-2alny＝(3－2a)ln(x－1)在(2，＋∞)上也单调递增，于是得a>0所以实数a的取值范围是(0，1]．故选A．]考点三函数的值域与最值函数最大(小)值的定义前提设函数y＝f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足条件(1)∀x∈D，都有f(x)≤M；(2)∃x0∈D，使得f(x0)＝M(1)∀x∈D，都有f(x)≥M；(2)∃x0∈D，使得f(x0)＝M结论M为f(x)的最大值M为f(x)的最小值[典例3](1)函数f(x)＝13x－log2((2)设f(x)＝x+2x-3，x≥1，x2(3)已知f(x)＝5－2|x|，g(x)＝x2－2x，F(x)＝gx，fx≥A．有最大值3，最小值5－25B．有最大值5＋25，无最小值C．有最大值3，无最小值D．既无最大值，又无最小值(1)3(2)022－3(3)C[(1)因为f(x)＝13x－log2(所以f(x)max＝f(－1)＝3－log21＝3．(2)因为f(－1)＝2，所以f(f(－1))＝f(2)＝2＋22当x≥1时，f(x)＝x＋2x－3在[1，2]上单调递减，在[2，＋∞所以f(x)在x＝2时取得最小值，即f(x)min＝22－3；当x＜1时，f(x)＝x2＋1在(－∞，0)上单调递减，在(0，1)上单调递增，所以f(x)在x＝0时取得最小值，即f(x)min＝1．综上，f(x)的最小值为22－3．(3)由f(x)＝g(x)，得5－2|x|＝x2－2x．当x≥0时，5－2x＝x2－2x，所以x2＝5，所以x＝5或－5(舍去)．当x<0时，5＋2x＝x2－2x，即x2－4x－5＝0，解得x＝－1或x＝5(舍去)．故当x≤－1时，F(x)＝f(x)＝5＋2x；当－1<画出F(x)的图象，如图，由图象可知，当x＝－1时，F(x)取得最大值F(－1)＝f(－1)＝5－2＝3，无最小值．故选C．]求函数最值常用的五种方法跟进训练3(1)已知函数f(x)＝x3＋3x2－9x＋1，若f(x)在区间(k，2]上的最大值为28，则实数k的值可以是()A．－4 B．－3C．－2 D．－1(2)已知f(x)＝ax+4，x≤1，log2x，x≥2，则f(1)A(2)2－3[(1)因为f(x)＝x3＋3x2－9x＋1，所以f′(x)＝3x2＋6x－9，令f′(x)＝3x2＋6x－9＝0，解得x1＝－3，x2＝1，所以在x∈(－∞，－3)∪(1，＋∞)上，f′(x)>0，在x∈(－3，1)上，f′(x)<0，所以函数f(x)在(－∞，－3)和(1，＋∞)上单调递增，函数f(x)在(－3，1)上单调递减，则f(x)在[1，2]内单调递增，所以在[1，2]内，f(2)最大；f(x)在(－3，1)时单调递减，所以在[－3，1]内，f(－3)最大；f(x)在(－∞，－3)时单调递增，所以在(－∞，－3]内，f(－3)最大；因为f(2)＝3，f(－3)＝28，且f(x)在区间(k，2]上的最大值为28，所以k<－3，即k的取值范围是(－∞，－3)，故选A．(2)f(f(0))＝f(4)＝log24＝2，要使得函数f(x)的值域为[1，＋∞)，则满足a≤0a+课后习题(六)函数的单调性与最值1．(人教A版必修第一册P85习题3.2T1改编)如图是函数y＝f(x)，x∈[－4，3]的图象，则下列说法正确的是()A．f(x)在[－4，－1]上单调递减，在[－1，3]上单调递增B．f(x)在区间(－1，3)上的最大值为3，最小值为－2C．f(x)在[－4，1]上有最小值－2，有最大值3D．当直线y＝t与f(x)的图象有三个交点时，－1<t<2[答案]C2．(人教A版必修第一册P100复习参考题3T4改编)若函数f(x)＝x2－2mx＋1在[2，＋∞)上单调递增，则实数m的取值范围是________．(－∞，2][由题意知，[2，＋∞)⊆[m，＋∞)，∴m≤2．]3．(人教A版必修第一册P81例5改编)已知函数f(x)＝21-x，x∈[2，6]，则f(－25－2[可判断函数f(x)＝21-x在区间[2，6]上单调递增，所以f(x)max＝f(6)＝－25，f(x)4．(湘教版必修第一册P86习题3.2T9改编)已知函数f(x)＝xx+a(x≠－a(1)若a＝2，证明：f(x)在(－2，＋∞)上单调递增；(2)若a<0且f(x)在(1，＋∞)上单调递减，求a的取值范围．[解](1)证明：当a＝2时，f(x)＝xx+任取x1，x2∈(－2，＋∞)且x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝x1x＝x＝2x∵x1，x2∈(－2，＋∞)且x1<x2，∴(x1＋2)(x2＋2)>0，x1－x2<0，∴2x1-x2x1+2x2∴f(x1)<f(x2)，∴f(x)在(－2，＋∞)上单调递增．(2)任取x1，x2∈(1，＋∞)且x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝x1x＝x1x2∵a<0，x1－x2<0，又由题知f(x1)－f(x2)>0，∴(x1＋a)(x2＋a)>0恒成立，∴－a≤1，∴a≥－1，又a∴a的取值范围为[－1，0)．5．(2023·安徽黄山统考二模)已知a，b，c满足a＝sin13，b＝e-1A．a<b<c B．c<a<bC．b<c<a D．a<c<bA[∵13<π6，∴a＝sin13<sinπ又e<23，∴e13<2，1e13>1b＝e-13＝1∴c>b>a，故选A．]6．函数f(x)＝－x＋1x在-A．32 B．－8C．－2 D．2A[函数f(x)＝－x＋1x在(－∞，0)上单调递减，则函数f(x)在-2，-13上的最大值为f7．函数f(x)＝ln(4x2－1)的单调递增区间是()A．12，+∞C．-12，12A[由4x2－1＞0，可得x＜－12或x＞1所以函数f(x)＝ln(4x2－1)的定义域为-∞，-1又y＝4x2－1在12，+∞上单调递增，由复合函数的单调性可知，函数f(x)＝ln(4x28．(2023·锡林郭勒盟二模)已知函数f(x)＝log2(－x2－mx＋16)在[－2，2]上单调递减，则m的取值范围是()A．[4，＋∞) B．(－6，6)C．(－6，4] D．[4，6)D[令g(x)＝－x2－mx＋16，∵函数f(x)＝log2(－x2－mx＋16)在[－2，2]上单调递减，∴g(x)在[－2，2]上单调递减，且大于零，故有-m29．(2024·河北石家庄二中模拟)已知定义在[－1，3]上的函数f(x)满足对于任意的x1，x2∈[－1，3]，且x1≠x2，都有[f(x1)－f(x2)](x1－x2)＜0，则不等式f(1－2x)≥f(x＋1)的解集为()A．(－∞，0] B．[0，1]C．[－1，0] D．[0，＋∞)B[∵对于任意的x1，x2∈[－1，3]，且x1≠x2，都有[f(x1)－f(x2)](x1－x2)＜0，∴f(x)在[－1，3]上单调递减，∴由f(1－2x)≥f(x＋1)得，-解得0≤x∴不等式f(1－2x)≥f(x＋1)的解集为[0，1]