高三数学一轮复习第八章解析几何第1课时直线的方程学案

【教师备选资源】新高考卷三年考情图解高考命题规律把握1．常考点：直线与圆、圆锥曲线的标准方程、直线与圆锥曲线的综合问题．(1)高考时直线与圆的位置关系考查多以选择、填空题的形式呈现，难度中等，重在考查学生的双基．(2)圆锥曲线标准方程的求解一般出现在解答题的第1问，属于容易题．(3)直线与圆锥曲线的综合性问题常出现在解答题的第2问，常考的有定点、定值、定直线问题，范围(最值)问题，探究性问题等，通常难度较大．2．轮考点：圆与圆、圆锥曲线的定义及几何性质．(1)对圆与圆位置关系的考查，一般以选择、填空题为主，难度不大．(2)利用圆锥曲线的定义解题，重在考查双基，难度不大．(3)椭圆、双曲线的离心率，双曲线的渐近线，抛物线的准线等几何性质也经常出现在高考试题中，重在考查数形结合思想、方程思想、转化思想及数学运算能力，难度中等或偏上．第1课时直线的方程[考试要求]1．理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．2．根据确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、斜截式、两点式、截距式及一般式)．考点一直线的倾斜角与斜率直线的倾斜角与斜率1．直线的倾斜角(1)定义：当直线l与x轴相交时，以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．(2)范围：直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°．2．直线的斜率(1)定义：把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率．斜率常用小写字母k表示，即k＝tanα(α≠90°)．(2)过两点的直线的斜率公式如果直线经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)，其斜率k＝y23．直线的斜率k和倾斜角α之间的函数关系如图，当α∈0，π2时，斜率k∈[0，＋∞)；当α＝π2时，斜率不存在；当α∈π2，π[典例1](1)直线xsinα＋y＋2＝0的倾斜角的取值范围是()A．[0，π) B．0C．0，π4 (2)若图中直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则()A．k1<k2<k3B．k3<k1<k2C．k3<k2<k1D．k1<k3<k2(3)直线l过点P(1，0)，且与以A(2，1)，B(0，3)为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为________．(1)B(2)D(3)(－∞，－3]∪[1，＋∞)[(1)设直线的倾斜角为θ，则有tanθ＝－sinα.因为sinα∈[－1，1]，所以－1≤tanθ≤1，又θ∈[0，π)，所以0≤θ≤π4或3π4(2)因为直线l2，l3的倾斜角为锐角，且直线l2的倾斜角大于直线l3的倾斜角，所以0<k3<k2.直线l1的倾斜角为钝角，斜率k1<0，所以k1<k3<k2.(3)设PA与PB的倾斜角分别为α，β，直线PA的斜率是kPA＝1，直线PB的斜率是kPB＝－3，当直线l由PA变化到与y轴平行的位置PC时，它的倾斜角由α增至π2，斜率的取值范围为[1，＋∞)．当直线l由PC变化到PB的位置时，它的倾斜角由π2增到β，斜率的变化范围是(－∞，－故斜率的取值范围是(－∞，－3]∪[1，＋∞)．]斜率取值范围的两种求法数形结合法作出直线在平面直角坐标系中可能的位置，借助图形，结合正切函数的单调性确定函数图象法根据正切函数的图象，由倾斜角范围求斜率范围，反之亦可提醒：求倾斜角时要注意斜率是否存在，必要时分0，π2跟进训练1(1)设直线l的斜率为k，且－1<k≤3，则直线l的倾斜角α的取值范围是()A．0，π3∪C．π3，3π(2)(2023·北京市东城区期末)在平面直角坐标系中，正三角形ABC的边BC所在直线的斜率是0，则AC，AB所在直线的斜率之和为()A．－23B．0C．3D．23(1)D(2)B[(1)由－1<k≤3，得－1<tanα≤3，又α∈[0，π)，利用正切函数的性质得倾斜角α的取值范围是0，(2)由题意知，正三角形ABC的另外两边所在直线的倾斜角分别为60°，120°，所以直线的斜率之和为tan60°＋tan120°＝3＋(－3)＝0.]直线的方向向量与法向量1．直线的方向向量(1)一般地，如果表示非零向量a的有向线段所在的直线与直线l平行或重合，则称向量a为直线l的一个方向向量，记作a∥l．(2)设直线l的一个方向向量为a＝(u，v)，直线l的倾斜角为θ，A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线l上不同的两点，则①u＝0⇔x2－x1＝0⇔θ＝π2⇔②u≠0⇔k＝y2-y1x2-x1＝tanθ③a＝(u，v)＝λ(cosθ，sinθ)(λ≠0)．2．直线的法向量(1)一般地，如果表示非零向量v的有向线段所在直线与直线l垂直，则称向量v为直线l的一个法向量，记作v⊥l．(2)若直线的一个方向向量a＝(u，v)，一个法向量v＝(x，y)，则①ux＋vy＝0；②v＝λ(－v，u)，λ≠0.[典例2]已知直线l的一个方向向量a＝(1，1)，且A(1，－2)，B(x，2)在直线l上．(1)求x的值；(2)求直线的斜率k与倾斜角θ.[解](1)由a∥AB，AB＝(x－1，4)知，1×(x－1)－1得x－1－4＝0，解得x＝5.(2)∵a＝(1，1)，∴k＝1，由tanθ＝k＝1得θ＝π4【教师备用】(1)(多选)(2023·浙江湖州模拟)已知直线l的一个方向向量为u＝1，A．k＝1时，直线l的斜率为1B．k>0时，直线l的倾斜角范围为0C．对于任意的实数k，直线l都与直线y＝kx＋1平行D．向量u可以是平面直角坐标系中任意一条直线的方向向量(2)已知直线l经过点P(3,m)和点Q(m，－2)，直线l的方向向量为(2，4)，则直线l的斜率为________，实数m的值为________.(1)AB(2)243[(1)由直线的方向向量定义可知，当直线与x轴不垂直时，若直线l的一个方向向量为u＝1，k，则直线l的斜率为k，所以kk>0时，直线l的倾斜角范围为0，对于C，直线l有可能与y＝kx＋1重合，C错误；对于D，向量u不可以表示平面直角坐标系中斜率不存在的直线，D错误．故选AB.(2)由直线l的方向向量为(2，4)得，直线l的斜率为42＝2，因此m--23-跟进训练2(1)(多选)若直线的一个法向量a＝(－4，2)，则直线的方向向量可能是()A．(－2，4) B．(1，2)C．(3，6) D．(－1，－2)(2)若直线的一个方向向量a＝(0，－2023)，则直线的倾斜角为________．(1)BCD(2)90°[(1)1×(－4)＋2×2＝0，所以(1，2)是直线的方向向量；(3，6)＝3(1，2)，(－1，－2)＝－1(1，2)，所以(3，6)，(－1，－2)都是直线的方向向量．故选BCD.(2)a＝(0，－2023)，根据直线的方向向量的定义可知，直线的倾斜角为90°.]考点二直线方程的求法直线方程的五种形式名称方程适用范围点斜式y－y0＝k(x－x0)不含直线x＝x0斜截式y＝kx＋b不含垂直于x轴的直线两点式y-y(x1≠x2，y1≠y2)不含直线x＝x1和直线y＝y1截距式xa不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)平面直角坐标系内的直线都适用提醒：“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正、可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数，截距不是距离．[常用结论]1．几种特殊位置的直线方程(1)直线过点P1(x1，y1)，垂直于x轴的方程为x＝x1；(2)直线过点P1(x1，y1)，垂直于y轴的方程为y＝y1；(3)y轴的方程为x＝0；(4)x轴的方程为y＝0．2．直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)的一个法向量n＝(A，B)，一个方向向量u＝(－B，A)．[典例3]已知△ABC的三个顶点分别为A(－3，0)，B(2，1)，C(－2，3)，求：(1)BC边所在直线的方程；(2)BC边上中线AD所在直线的方程；(3)BC边的垂直平分线DE的方程．[解](1)因为直线BC经过B(2，1)和C(－2，3)两点，得直线BC的方程为y-13-1＝x(2)设BC边的中点D(x，y)，则x＝2-22＝0，yBC边的中线AD过A(－3，0)，D(0，2)两点，所在直线方程为x-3+y2(3)由(1)知，直线BC的斜率k1＝－12，则直线BC的垂直平分线DE的斜率k2＝2.由(2)知，点D所求直线方程为y－2＝2(x－0)，即2x－y＋2＝0.求直线方程的两种方法跟进训练3(1)经过两条直线l1：x＋y＝2，l2：2x－y＝1的交点，且直线的一个方向向量v＝(－3，2)的直线方程为________．(2)过点(2，1)且在x轴上截距与在y轴上截距之和为6的直线方程为________．(1)2x＋3y－5＝0(2)x＋y－3＝0或x＋2y－4＝0[(1)联立x+y=2，2x-y=1，∴直线过点(1，1)．∵直线的一个方向向量v＝(－3，2)，∴直线的斜率k＝－23则直线的方程为y－1＝－23(x－1)，即2x＋3y(2)由题意可设直线方程为xa则a+b=6，2a+1b=1，解得故所求直线方程为x＋y－3＝0或x＋2y－4＝0.]考点三直线方程的综合应用[典例4]已知直线l过点M(2，1)，且分别与x轴的正半轴、y轴的正半轴交于A，B两点，O为原点，当△AOB面积最小时，求直线l的方程．[解]法一：设直线l的方程为y－1＝k(x－2)(k<0)，则A2-1k，0S△AOB＝12(1－2k)·2-1k当且仅当－4k＝－1k，即k＝－1故直线l的方程为y－1＝－12(x－2)，即x＋2y法二：设直线l：xa+yb＝1，且因为直线l过点M(2，1)，所以2a则1＝2a+1b≥22故S△AOB的最小值为12×ab＝12当且仅当2a＝1b＝此时a＝4，b＝2，故直线l的方程为x4即x＋2y－4＝0.[拓展变式]1．在本例条件下，当|OA|＋|OB|取最小值时，求直线l的方程．[解]由本例法二知，2a+1b＝1，所以|OA|＋|OB|＝a＋b＝(a＋b)·2a+1b＝3＋a当且仅当a＝2＋2，b＝1＋2时，等号成立，所以当|OA|＋|OB|取最小值时，直线l的方程为x＋2y－2－2＝0.2．本例中，当|MA|·|MB|取得最小值时，求直线l的方程．[解]法一：由本例法一知A2k-1k，0，B所以|MA|·|MB|＝1k2+1·4+4k2当且仅当－k＝－1k，即k此时直线l的方程为x＋y－3＝0.法二：由本例法二知A(a，0)，B(0，b)，a＞0，b＞0，2a+1b＝1.所以|MA|·|MB|＝|MA|·|MB|＝－MA·MB＝－(a－2，－1)·(－2，＝2a＋b－5＝(2a＋b)2a+1b当且仅当a＝b＝3时取等号，此时直线l的方程为x＋y－3＝0.处理直线方程综合应用的两大策略(1)求解与直线方程有关的最值问题，先求出斜率或设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值．特别注意斜率不存在的情况．(2)含有参数的直线方程可看作直线系方程，这时要能够整理成过定点(或平行)的直线系，即能够看出“动中有定”．跟进训练4已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．(1)证明：直线l过定点；(2)若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；(3)若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，△AOB的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值并求此时直线l的方程．[解](1)证明：法一：直线l的方程可化为k(x＋2)＋(1－y)＝0，令x+2=0，1∴无论k取何值，直线l总经过定点(－2，1)．法二：方程kx－y＋1＋2k＝0可化为y－1＝k(x＋2)，显然直线l恒过定点(－2，1)．(2)法一：由方程知，当k≠0时，直线l在x轴上的截距为－1+2kk，在y轴上的截距为1＋2k，要使直线l不经过第四象限，则必须有解得k＞0；当k＝0时，直线l为y＝1，符合题意．故k的取值范围是[0，＋∞)．法二：直线l的方程可化为y＝kx＋1＋2k，∴k＞0，1+2k∴k∈[0，＋∞)．(3)由题意可知k≠0，再由l的方程，得A-1+2kk，0，依题意得-1+2kk＜0∵S＝12·|OA|·|OB|＝12·1+2kk·|1＋2≥12×(2ד＝”成立的条件是k＞0且4k＝1k即k＝12∴Smin＝4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0.课后习题(四十二)直线的方程1．(人教A版选择性必修第一册P55练习T5改编)过A(4，y)，B(2，－3)两点的直线的一个方向向量为(－1，－1)，则y＝()A．－32B．3C[法一：由直线上的两点A(4，y)，B(2，－3)，得AB＝(－2，－3－y)，又直线AB的一个方向向量为(－1，－1)，因此(－2)×(－1)－(－3－y)×(－1)＝0，解得y＝－1，故选C.法二：由直线的方向向量为(－1，－1)得，直线的斜率为-1-1＝1，所以y2．(人教A版选择性必修第一册P67习题2.2T10改编)如果AC<0，且BC<0，那么直线Ax＋By＋C＝0不经过()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限C[由已知得直线Ax＋By＋C＝0在x轴上的截距－CA>0，在y轴上的截距－C3．(人教B版选择性必修第一册P89练习AT2改编)已知点(a，－2)，(－1，b)确定的直线方程是y＝－3x＋1，则当x>0时，ax＋bx的最小值是________4[由条件知－2＝－3a＋1，b＝－3×(－1)＋1，分别解得a＝1，b＝4，∴ax＋bx＝1x＋4x≥2当且仅当1x＝4x，即x＝1∴1x＋4x4．(人教A版选择性必修第一册P67习题2.2T7改编)经过点P(1，9)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为________.9x－y＝0或x＋y－10＝0[当纵、横截距为0时，直线方程为9x－y＝0；当截距不为0时，设直线方程为xa+ya＝1，则1a+95．(2024·湖北省黄冈市红安一中月考)在△ABC中，A(4，－1)，AB的中点M(3，2)，重心P(4，2)，则BC边所在直线的斜率为()A．34B．－34C．2B[因为A(4，－1)，AB的中点M(3，2)，所以点B的坐标为(2，5)．又重心P(4，2)，所以根据重心坐标公式可得点C的坐标为(6，2)，所以BC边所在直线的斜率为5-226．(2024·四川省成都市期中)已知点A(－2，3)，B(3，2)，过点P(0，－2)的直线l与线段AB有公共点，若点Q(m，3)在直线l上，则实数m的取值范围为()A．-∞，-154B．-C．2D．-D[由题意可求得kPA＝－52，kPB＝4设直线l的斜率为k.因为过点P(0，－2)的直线l与线段AB有公共点，所以k≥43或k≤－5因为点Q(m，3)在直线l上，所以m＝0或5m≥43或5m≤－52故选D.]7．(2024·山东省潍坊高三开学考试)已知函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，当x<0时，f(x)>1，则方程y＝ax＋1aABCDC[∵f(x)＝ax且x<0时，f(x)>1，∴0<a<1，1a对于y＝ax＋1a，令x＝0得y＝1a，令y＝0得x＝－∵-1a2>18．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知△ABC的顶点A(2，0)，B(0，1)，且AC＝BC，则△ABC的欧拉线的方程为()A．2x＋4y－3＝0 B．x－2y－3＝0C．2x－y－3＝0 D．4x－2y－3＝0D[由AC＝BC及题意可知△ABC的欧拉线即为线段AB的垂直平分线，AB的中点为M1，12，斜率kAB＝－12，则AB垂直平分线的斜率k＝2，则△ABC的欧拉线的方程为y－12＝2(x9．在平面直角坐标系中，经过点P(1，1)的直线l与x轴交于点A，与y轴交于点B.若PA＝－2PB，则