人教A版普通高中数学一轮复习第十章第五节条件概率与全概率公式学案

第五节条件概率与全概率公式考试要求：理解条件概率公式和全概率公式，并能利用条件概率公式与全概率公式解决一些简单的实际问题．自查自测知识点条件概率与全概率公式1．判断下列说法的正误，正确的打“√”，错误的打“×”．(1)若事件A，B互斥，则P(B|A)＝1.(×)(2)P(A)＝P(A)P(B|A)＋P(A)P(B|A)．()×解析：P(B)＝P(A)P(B|A)＋P(A)(3)P(A)＝P(BA)＋P(BA)．()×解析：P(B)＝P(BA)＋P(BA)．2．从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B＝“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)等于()A．18 B．C．25 D．B解析：由题意可知，n(A)＝C32+C22＝4，n(AB)＝C22＝1，P(3．质监部门对某种建筑构件的抗压能力进行检测，对此建筑构件实施两次击打，若没有受损，则认为该构件通过质检．若第一次击打后该构件没有受损的概率为0.85，当第一次没有受损时第二次再实施击打也没有受损的概率为0.80，则该构件通过质检的概率为()A．0.4 B．0.16C．0.68 D．0.17C解析：设Ai表示“第i次击打后该构件没有受损”，i＝1，2，则由已知可得P(A1)＝0.85，P(A2|A1)＝0.80，因此由乘法公式可得P(A1A2)＝P(A1)P(A2|A1)＝0.85×0.80＝0.68，即该构件通过质检的概率为0.68.4．(教材改编题)设A⊆B，且P(A)＝0.3，P(B)＝0.6，则P(B|A)＝，P(A|B)＝．10.5解析：(方法一)因为A⊆B，且P(A)＝0.3，P(B)＝0.6，则A发生B一定发生，所以P(B|A)＝1，P(A|B)＝0.30.6(方法二)由题可得P(AB)＝P(A)＝0.3，由条件概率公式得P(B|A)＝PABPA＝PAPA＝1，P(A|B)＝5．智能化的社区食堂悄然出现，某社区有智能食堂A和人工食堂B，居民甲第一天随机地选择一食堂用餐，如果第一天去A食堂，那么第二天去A食堂的概率为0.6；如果第一天去B食堂，那么第二天去A食堂的概率为0.5，则居民甲第二天去A食堂用餐的概率为．0．55解析：由题意得，居民甲第二天去A食堂用餐的概率p＝0.5×0.6＋0.5×0.5＝0.55.核心回扣1．条件概率条件设A，B为两个随机事件，且P(A)>0含义在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率记作P(B|A)读作事件A发生的条件下事件B发生的概率计算方法①缩小样本空间法：P(B|A)＝nABnA．②公式法：P(B|2．条件概率的性质设P(A)>0，则(1)P(Ω|A)＝1；(2)任何事件的条件概率都在0和1之间，即0≤P(B|A)≤1；(3)如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)；(4)设B和B互为对立事件，则P(B|A)＝1－P(B|A)．3．概率的乘法公式由条件概率的定义知，若P(A)>0，则P(AB)＝P(A)P(B|A)，我们称该式为概率的乘法公式．4．全概率公式一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有P(B)＝P(Ai)P(B|Ai)．我们称该公式为全概率公式．【常用结论】1．已知P(A)＞0，P(B)＞0，P(B|A)＝P(B)，则P(A|B)＝P(A)．2．记P(A1A2A3)表示A1，A2，A3同时发生的概率，P(A3|A1A2)表示已知A1与A2都发生时A3发生的概率，则P(A1A2A3)＝P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)．应用1已知P(B|A)＝P(B)且P(A)＝23，则P(A|B)＝13解析：因为P(B|A)＝P(B)，所以P(AB)＝P(A)P(B)，所以A，B相互独立．故P(A|B)＝P(A)＝1－P(A)＝1－23＝应用2冬天的北方室外温度极低，若轻薄保暖的石墨烯发热膜能用在衣服上，将会大大地方便人们的出行．某科研人员制作石墨烯发热膜的过程分为三步，且第一步成功的概率为12，若第一步成功，第二步失败的概率为710，若前两步成功，第三步失败的概率为9103200解析：记事件Ai表示“制作石墨烯发热膜第i步时失败”，i＝1，2，3，事件B表示“成功制作出石墨烯发热膜”．因为B＝A1A2A3，所以P(B)＝P(A1A2A3)＝P(A1)P(A2|A1)条件概率【例1】(1)(2023·全国甲卷)有50人报名足球俱乐部，60人报名乒乓球俱乐部，70人报名足球或乒乓球俱乐部．若已知某人报足球俱乐部，则其报乒乓球俱乐部的概率为()A．0.8 B．0.4C．0.2 D．0.1A解析：同时报名两个俱乐部的人数为50＋60－70＝40，记“报足球俱乐部”为事件A，“报乒乓球俱乐部”为事件B，则n(A)＝50，n(B)＝60，n(AB)＝40，所以P(B|A)＝nABnA(2)(2024·许昌模拟)2022年卡塔尔世界杯上，32支球队分成8个小组，每个小组的前两名才能出线，晋级到1/8决赛．某参赛队在开赛前预测：本队获得小组第一的概率为0.6，获得小组第二的概率为0.3；若获得小组第一，则1/8决赛获胜的概率为0.9，若获得小组第二，则1/8决赛获胜的概率为0.3.那么在已知该队小组出线的条件下，其1/8决赛获胜的概率为()A．0.54 B．0.63C．0.7 D．0.9C解析：设该队小组出线为事件A，该队1/8决赛获胜为事件B，则P(A)＝0.3＋0.6＝0.9，P(AB)＝0.6×0.9＋0.3×0.3＝0.63，所以P(B|A)＝PABPA(3)已知随机事件A，B，P(A)＝13，P(B)＝14，P(A|B)＝34，则P(B|A716解析：依题意得P(A|B)＝PABP所以P(AB)＝34P(B)＝34×14故P(B|A)＝PABPA＝3所以P(B|A)＝1－P(B|A)＝716求条件概率的两种方法定义法先求P(A)和P(AB)，再由P(B|A)＝PABPA，求P(B样本点法借助古典概型概率公式，先求事件A包含的样本点总数n(A)，再求事件AB所包含的样本点总数n(AB)，得P(B|A)＝n1．某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6.已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是()A．0.8 B．0.75C．0.6 D．0.45A解析：设“第一天空气质量为优良”为事件A，“第二天空气质量为优良”为事件B，则P(A)＝0.75，P(AB)＝0.6，由题知P(B|A)＝PABPA2．将三颗骰子各掷一次，记事件A＝“三个点数都不同”，B＝“至少出现一个6点”，则条件概率P(BA)，P(AB)分别等于()A．6091，12 B．1C．2091，12 D．1B解析：由题意知，事件AB＝“三个点数都不同且至少出现一个6点”，因为P(A)＝A6363＝120216＝59，P(B)＝63−5363＝所以P(BA)＝PABPA＝51859＝12，P(AB全概率公式【例2】现有编号为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的三个口袋，其中Ⅰ号口袋内装有两个1号球，一个2号球与一个3号球；Ⅱ号口袋内装有两个1号球与一个3号球；Ⅲ号口袋内装有三个1号球与两个2号球．现在先从Ⅰ号口袋内随机取一个球，放入编号与球上号码数相同的口袋中，第二次从该口袋中任取一个球，计算第二次取到几号球的概率最大，为什么？解：记事件Ai，Bi分别表示第一次、第二次取到i号球，i＝1，2，3，依题意A1，A2，A3两两互斥，其和为Ω，并且P(A1)＝12，P(A2)＝P(A3)＝1P(B1|A1)＝12，P(B1|A2)＝12，P(B1|A3)＝12，P(B2|A1)＝14，P(B2|A2)＝14，P(B2|A3)＝13，P(B3|A1)＝14，P(B3|A2)＝14，P(由全概率公式，得P(B1)＝P(Ai)P(B1Ai)＝12×12＋14×12＋14×12＝12．类似可以求出P(B2)＝1348故第二次取到1号球的概率最大．[变式]在本例中，若第二次取到1号球，问：它取自哪一个口袋的概率最大？解：依题设知，第二次的球取自口袋的编号与第一次取的球上的号码数相同，则P(A1|B1)＝PA1PB1A1PP(A2|B1)＝PA2PB1A2PP(A3|B1)＝PA3PB1A3P故在第二次取到1号球的条件下，它取自Ⅰ号口袋的概率最大．1．利用全概率公式求概率的一般步骤(1)找出条件事件里的某一个完备事件，分别命名为Ai.(2)命名目标的概率事件为事件B.(3)代入全概率公式求解．2．使用全概率公式的注意点(1)何时用全概率公式：多种原因导致事件的发生．(2)如何用全概率公式：将一个复杂事件表示为几个彼此互斥事件的和．(3)从本质上讲，全概率公式是加法公式与乘法公式的结合．1．某人从甲地到乙地，乘火车、轮船、飞机的概率分别为0.3，0.3，0.4，乘火车迟到的概率为0.2，乘轮船迟到的概率为0.3，乘飞机迟到的概率为0.4，则这个人从甲地到乙地迟到的概率是()A．0.16 B．0.31C．0.4 D．0.32B解析：设事件A表示“乘火车”，事件B表示“乘轮船”，事件C表示“乘飞机”，事件D表示“迟到”，则P(A)＝0.3，P(D|A)＝0.2，P(B)＝0.3，P(D|B)＝0.3，P(C)＝0.4，P(D|C)＝0.4.因为D＝(D∩A)∪(D∩B)∪(D∩C)，所以由全概率公式，得P(D)＝P(A)P(D|A)＋P(B)P(D|B)＋P(C)·P(D|C)＝0.3×0.2＋0.3×0.3＋0.4×0.4＝0.31.故选B.2．(2024·安庆模拟)设某批产品中，甲、乙、丙三个车间生产的产品分别占45%，35%，20%，甲、乙车间生产的产品的次品率分别为2%和3%.现从中任取一件，若取到的是次品的概率为2.95%，则推测丙车间的次品率为．5%解析：设事件A表示“取到的是一件次品”，事件B1，B2，B3分别表示取到的产品是由甲、乙、丙车间生产的，则P(B1)＝0.45，P(B2)＝0.35，P(B3)＝0.2.由于P(A|B1)＝0.02，P(A|B2)＝0.03，设P(A|B3)＝m，则由全概率公式，得P(A)＝P(B1)P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2)＋P(B3)P(A|B3)＝0.45×0.02＋0.35×0.03＋0.2×m＝0.0295，解得m＝0.05.故推测丙车间的次品率为5%.课时质量评价(六十五)1．已知盒中装有3只螺口灯泡与9只卡口灯泡，这些灯泡的外形都相同且灯口向下放着，现需要1只卡口灯泡，电工师傅每次从中任取1只不放回，则在他第1次取到的是螺口灯泡的条件下，第2次取到的是卡口灯泡的概率为()A．14 B．C．911 D．C解析：(方法一)因为电工师傅每次从中任取1只不放回，且第1次取到的是螺口灯泡，所以第1次取到的是螺口灯泡的条件下，第2次取到的是卡口灯泡的概率等价于从2只螺口灯泡与9只卡口灯泡中抽取1只，恰为卡口灯泡的概率，即为92+9＝9(方法二)设事件A为第1次取到的是螺口灯泡，事件B为第2次取到的是卡口灯泡，则在第1次取到的是螺口灯泡的条件下，第2次取到的是卡口灯泡的概率为P(B|A)＝PABPA＝3×92．若将整个样本空间想象成一个1×1的正方形，任何事件都对应样本空间的一个子集，且事件发生的概率对应子集的面积，则如图所示的涂色部分的面积表示()A．事件A发生的概率B．事件B发生的概率C．事件B不发生的条件下事件A发生的概率D．事件A，B同时发生的概率A解析：由题意可得，题图所示的涂色部分的面积为P(A|B)P(B)＋[1－P(B)]P(A|B)＝P(AB)＋3．(2024·合肥模拟)某学校高三(1)班至(4)班举办研学游活动，有4个地方可供选择，且每班只能去1个地方．设事件M＝“4个班去的地方各不相同”，N＝“(1)班独自去1个地方”，则P(M|N)＝()A．29 B．C．13 D．A解析：由题意得，n(N)＝C41×33＝108，n(MN)＝所以P(M|N)＝nMNnN＝244．已知A，B为两个随机事件，0＜P(A)＜1，P(B)＝0.3，P(B|A)＝0.9，P(B|A)＝0.2，则P(A)＝()A．0.1 B．1C．0.33 D．3B解析：P(B|A)＝PBAPA＝0.9，所以P(BA)＝0.9PP(B|A)＝PBAP所以P(BA)＋P(BA)＝0.9P(A)＋0.2P(A)＝0.9所以P(B)＝0.9P(A)＋0.2[1－P(A)]，即0.3＝0.7P(A)＋0.2，解得P(A)＝175．某医用口罩生产厂家生产医用普通口罩、医用外科口罩、医用防护口罩三种产品，三种产品的生产比例如图所示，且三种产品中绑带式口罩的比例分别为90%，50%，40%.若从该厂生产的口罩中任选一个，则选到绑带式口罩的概率为()A．0.23 B．0.47C．0.53 D．0.77D解析：由题图可知医用普通口罩、医用外科口罩、医用防护口罩的占比分别为70%，20%，10%，记事件A1，A2，A3分别表示选到医用普通口罩、医用外科口罩、医用防护口罩，则Ω＝A1∪A2∪A3，且A1，A2，A3两两互斥，所以P(A1)＝0.7，P(A2)＝0.2，P(A3)＝0.1.又三种产品中绑带式口罩的比例分别为90%，50%，40%，记事件B＝“选到绑带式口罩”，则P(B|A1)＝0.9，P(B|A2)＝0.5，P(B|A3)＝0.4，由全概率公式，可得选到绑带式口罩的概率为P(B)＝0.7×0.9＋0.2×0.5＋0.1×0.4＝0.77.故选D.6．(多选题)为增进全体党员干部职工对党史知识的了解，某单位组织开展党史知识竞赛活动，以支部为单位参加比赛．某支部在5道党史题中(有3道选择题和2道填空题)，不放回地依次随机抽取2道题作答，设事件A＝“第1次抽到选择题”，事件B＝“第2次抽到选择题”，则下列结论中正确的是()A．P(A)＝35 B．P(AB)＝C．P(B|A)＝12 D．P(B|A)＝ABC解析：P(A)＝C31C51＝35，故A正确；P(AB)＝C31C21C51C41＝310，故B正确；P(B|A7．位于数轴上的粒子A每次只能向左或向右移动一个单位长度，若前一次向左移动一个单位长度，则后一次向右移动一个单位长度的概率为23；若前一次向右移动一个单位长度，则后一次向右移动一个单位长度的概率为13．若粒子A第一次向右移动一个单位长度的概率为1349解析：所求的概率p＝13×23＋23×8．有五瓶墨水，其中红色一瓶，蓝色、黑色各两瓶，某同学从中随机任取出两瓶，若取出的两瓶中有一瓶是蓝色另一瓶是红色或黑色的概率是．67解析：设事件A为“其中一瓶是蓝色”，事件B为“另一瓶是红色”，事件C为“另一瓶是黑色”，事件D为“另一瓶是红色或黑色”，则D＝B∪C，且B与C互斥，又P(A)＝C21C31+C22CP(AC)＝C21C故P(D|A)＝P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)＝PABPA＋P9．某企业使用新技术对某款芯片进行试生产，在试生产初期，该款芯片的生产有四道工序，前三道工序的生产互不影响，第四道是检测评估工序，包括智能自动检测与人工抽检．已知该款芯片在生产中，前三道工序的次品率分别为P1＝110，P2＝19，P3＝(1)求该款芯片的生产在进入第四道工序前的次品率．(2)如果第四道工序中智能自动检测为次品的芯片会被自动淘汰，合格的芯片进入流水线并由工人进行人工抽查检验．在芯片智能自动检测显示合格率为90%的条件下，求工人在流水线进行人工抽检时，抽检一个芯片恰为合格品的概率．解：(1)因为前三道工序的次品率分别为P1＝110，P2＝19，P3＝所以该款芯片的生产在进入第四道工序前的次品率为P＝1－[(1－P1)(1－P2)(1－P3)]＝1－910×89×78(2)设“该款芯片智能自动检测合格”为事件A，“人工抽检合格”为事件B，由已知得P(A)＝910，P(AB)＝1－P＝1－310＝则工人在流水线进行人工抽检时，抽检一个芯片恰为合格品为事件B|A，所以P(B|A)＝PABPA＝710×10．在某次对抗赛中，甲、乙两人同时挑战100秒记忆力项目，根据以往甲、乙两人同场对抗挑战该项目的记录统计分析，在对抗挑战中，甲挑战成功的概率是415，乙挑战成功的概率是215，甲、乙均未挑战成功的概率是A．12 B．C．25 D．B解析：记“甲挑战成功”为事件A，“乙挑战成功”为事件B，则P(A)＝415，P(B)＝215．P(A∪B)＝1－710由概率加法公式知P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)，可得P(AB)＝P(A)＋P(B)－P(A∪B)＝415＋215－310则在甲挑战成功的条件下，乙挑战成功的概率为P(B|A)＝PABPA＝111．(多选题)(2024·晋中模拟)下列各式中能够说明随机事件A与随机事件B相互独立的是()A．P(A|B)＝P(B|A)B．P(A|B)＝P(A|B)C．P(A)＝P(A|B)D．P(B)＝P(A|B)BC解析：对于A，因为P(A|B)＝PABPB＝P(B|A)＝PABPA，所以P(A)＝P(B对于B，因为P(A|B)＝PABPB＝P(A|B)＝所以P(AB)[1－P(B)]＝P(B)[P(A)－P(AB)]，化简得P(AB)＝P(A)P(B)，即随机事件A与随机事件B相互独立，故B正确；对于C，因为P(A)＝P(A|B)＝PABPB，所以P(AB)＝P(A)P(B)，随机事件A对于D，因为P(B)＝P(A|B)＝PABPB，所以P(AB)＝P(B)P(B)，由于P(A)，P(B)不一定相等，所以不能说明事件A12．英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件A，B存在如下关系：.2023贺岁档电影精彩纷呈，有几部影片是小明期待想去影院看的．小明家附近有甲、乙两家影院，小明第一天去甲、乙两家影院观影的概率分别为0.4和0.6.如果他第一天去甲影院，那么第二天去甲影院的概率为0.6；如果第一天去乙影院，那么第二天去甲影院的概率为0.5，则小明同学()A．第二天去甲影院的概率为0.44B．第二天去乙影院的概率为0.44C．第二天去了甲影院，则第一天去乙影院的概率为4D．第二天去了乙影院，则第一天去甲影院的概率为8D解析：对于A，设A1：第一天去甲影院，A2：第二天去甲影院，B1：第一天去乙影院，B2：第二天去乙影院，所以P(A1)＝0.4，P(B1)＝0.6，P(A2A1)＝0.6，P(A2B所以P(A2)＝P(A1)P(A2A1)＋P(B1)P(A2B1)＝0.4×0.6＋0.6对于B，P(B2)＝1－P(A2)＝0.46，故B不正确；对于C，P(B1A2)＝P(B1)对于D，P(A1B2)＝P(A1P(B2A13．(2024·南京模拟)甲、乙两人向同一目标各射击一次，已知甲命中目标的概率为0.6，乙命中目标的概率为0.5，若目标至少被命中1次，则乙命中目标的概率为．0．625解析：记事件A为“乙命中目标”，事件B为“目标至少被命中1次”，则P(B)＝1－(1－0.6)×(1－0.5)＝0.8，P(AB)＝0.5×(1－0.6)＋0.6×0.5＝0.5，P(A|B)＝PABPB14．长白飞瀑、高句丽遗迹、鹤舞向海、一眼望三国、伪满皇宫、松江雾凇、净月风光、查干冬渔是吉林著名的景观．某人打算来吉林旅游，冬季来的概率是23，夏季来的概率是13，如果冬季来，则看不到长白飞瀑、鹤舞向海和净月风光，若夏季来，则看不到松江雾凇和查干冬渔．无论什么时候来，由于时间原因，只能在可去景点当中选择两处参观，则某人去了一眼望三国景点的概率为1745解析：设事件A1＝“冬季来吉林旅游”，事件A2＝“夏季来吉林旅游”，事件B＝“去了‘一眼望三国’”，则P(A1)＝23，P(A2)＝在冬季去了“一眼望三国”的概率P(B|A1)＝C41C在夏季去了“一眼望三国”的概率P(B|A2)＝C51C所以去了“一眼望三国”的概率P(B)＝P(A1)·P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＝23×25＋13×115．(学科交汇)在孟德尔豌豆试验中，子二代的基因型为DD，Dd，dd，其中D为显性基因，d为隐性基因，且这三种基因型的数量比为1∶2∶1.如果在子二代中任意选取2颗豌豆作为父本杂交，那么子三代中基因型为dd的概率是多大？解：记事件B＝“子三代中基因型为dd”，事件A1＝“选择的是Dd，Dd”，事件A2＝“选择的是dd，dd”，事件A3＝“选择的是dd，Dd”，则P(A1)＝12×12＝14，P(A2)＝14×14＝116，P(A3)＝2×在子二代中任取2颗豌豆作为父本杂交，分以下三种情况讨论：①若选择的是“Dd，Dd”，则子三代中基因型为dd的概率为P(B|A1)＝14②若选择的是“dd，dd”，则子三代中基因型为