人教A版普通高中数学一轮复习第十章第九节概率、统计与其他知识的交汇问题学案

第九节概率、统计与其他知识的交汇问题考试要求：1.会求概率、统计与不等式的综合问题．2．会求概率、统计与函数的综合问题．3．会求概率、统计与数列的综合问题．概率、统计与不等式的综合问题【例1】(2024·长沙模拟)甲、乙两名运动员进行乒乓球比赛，规定每局比赛胜者得1分，负者得0分，平局双方均得0分，比赛一直进行到一方比另一方多两分为止，多得两分的一方赢得比赛．已知每局比赛中，甲获胜的概率为α，乙获胜的概率为β，两人平局的概率为γ(α＋β＋γ＝1，α＞0，β＞0，γ≥0)，且每局比赛结果相互独立．(1)若α＝12，β＝13，γ＝16(2)当γ＝0时，若比赛最多进行5局，求比赛结束时比赛局数X的分布列及期望E(X)的最大值．解：(1)记事件A为“每局比赛甲获胜”，记事件B为“每局比赛乙获胜”，记事件C为“每局比赛甲、乙两人平局”，则P(A)＝α＝12，P(B)＝β＝13，P(C)＝γ＝记“进行4局比赛后甲运动员赢得比赛”为事件D，则事件D包括事件ABAA，B，ACCA，CACA，CCAA这5种情况，所以P(D)＝P(ABAA)＋P(B)＋P(ACCA)＋P(CACA)＋P(CCAA)＝2P(B)P(A)P(A)P(A)＋3P(C)P(C)P(A)P(A)＝2×13×123＋3×162×12(2)若γ＝0，此时每局比赛结果仅有“甲获胜”和“乙获胜”，则α＋β＝1，此时X的所有可能取值为2，4，5，可得P(X＝2)＝P(AA)＋P(BB)＝α2＋β2，P(X＝4)＝P(ABAA)＋P(B)＋P(A)＋P(BABB)＝(2α3β＋2αβ3)＝2αβ(α2＋β2)，P(X＝5)＝P(ABAB)＋P(ABBA)＋P(BABA)＋P(BAAB)＝α2β2＋α2β2＋α2β2＋α2β2＝4α2β2，则X的分布列为X245Pα2＋β22αβ(α2＋β2)4α2β2则E(X)＝2×(α2＋β2)＋4×2αβ(α2＋β2)＋5×4α2β2＝4α2β2＋4αβ＋2.因为α＋β＝1≥2αβ，所以αβ≤14，当且仅当α＝β＝12时等号成立，则αβ∈此时E(X)＝4α2β2＋4αβ＋2＝(2αβ＋1)2＋1≤2×14+12＋1故E(X)的最大值为134概率、统计与不等式有关的综合问题的解法(1)根据概率的性质、均值、方差公式等得出关于概率p的表达式或不等式．(2)通过不等式知识解不等式或利用基本不等式求最值．某工厂A，B两条相互独立的生产线生产同款产品，在产量一样的情况下，通过日常监控得知，A，B生产线生产的产品为合格品的概率分别为p和2p－1(0.5≤p≤1)．(1)从A，B生产线上各抽检一件产品，若至少有一件合格品的概率不低于99.5%，求p的最小值p0；(2)假设不合格的产品均可通过返工修复变为合格品，以(1)中确定的p0作为p的值．已知A，B生产线的不合格品返工修复后，每件产品可分别挽回损失5元和3元，若从两条生产线上各随机抽检1000件产品，以返工修复后挽回损失的平均数为判断依据，估计哪条生产线挽回的损失较多．解：(1)至少有一件合格品的概率为1－(1－p)[1－(2p－1)]＝1－2(1－p)2.令1－2(1－p)2≥0.995，解得0.95≤p≤1.05.又0.5≤p≤1，所以0.95≤p≤1，故p的最小值p0＝0.95.(2)由(1)可知，A，B生产线上产品为合格品的概率分别为0.95和0.9，所以A，B生产线上产品不是合格品的概率分别为0.05和0.1.故从A生产线上抽检的1000件产品中，不合格产品大约有1000×0.05＝50(件)，返工修复后，可挽回损失50×5＝250(元)，从B生产线上抽检的1000件产品中，不合格产品大约有1000×0.1＝100(件)，返工修复后，可挽回损失100×3＝300(元)，因为250＜300，所以B生产线挽回的损失较多．概率、统计与函数的综合问题【例2】(2024·济宁模拟)某校数学组老师为了解学生数学学科核心素养整体发展水平，组织本校8000名学生进行针对性检测(检测分为初试和复试)，并随机抽取了100名学生的初试成绩，绘制了频率分布直方图，如图所示．(1)根据频率分布直方图，求样本平均数的估计值．(2)若所有学生的初试成绩X近似服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ为样本平均数的估计值，σ≈14.初试成绩不低于90分的学生才能参加复试，试估计能参加复试的人数．(3)复试共三道题，规定：全部答对获得一等奖，答对两道题获得二等奖，答对一道题获得三等奖，全部答错不获奖．已知某学生进入了复试，他在复试中前两道题答对的概率均为a，第三道题答对的概率为b.若他获得一等奖的概率为18，设他获得二等奖的概率为P，求P附：若随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973.解：(1)样本平均数的估计值为10(40×0.010＋50×0.020＋60×0.030＋70×0.024＋80×0.012＋90×0.004)＝62.所以样本平均数的估计值为62.(2)因为学生的初试成绩X近似服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ＝62，σ≈14.所以μ＋2σ≈62＋2×14＝90.所以P(X≥90)＝P(X≥μ＋2σ)≈12(1－0.9545)＝所以估计能参加复试的人数为0.02275×8000＝182.(3)由该学生获得一等奖的概率为18，可得a2b＝1则P＝a2(1－b)＋a(1－a)b＋(1－a)ab＝a2＋2ab－38＝a2＋14a－令P＝f(a)＝a2＋14a－38，0＜a＜1，则f′(a)＝2a－14a2当0＜a＜12时，f′(a)＜0；当12＜a＜1时，f′(a)所以f(a)在区间0，12所以f(a)min＝f12＝14＋12－3所以P的最小值为38概率、统计与函数有关的综合问题的解法在概率与统计的问题中，决策的工具是样本的数字特征或有关概率．决策方案的最佳选择是将概率最大(最小)或均值最大(最小)的方案作为最佳方案，解题时通常先结合概率、方差、均值的公式列出函数表达式，再利用函数的性质(单调性、最值等)求解．在2024年春节期间，甲公司和乙公司在某购物平台上同时开启了打折促销，直播带年货活动，甲公司和乙公司所售商品类似，存在竞争关系．(1)现对某时间段100名观看直播后选择这两个公司直播间购物的情况进行调查，得到如下数据：单位：名用户年龄段购物所选直播间合计甲直播间乙直播间19～24岁40105025～34岁203050合计6040100是否有99.9%的把握认为选择哪家直播间购物与用户的年龄有关？(2)若小李连续两天每天选择在甲、乙其中一个直播间进行购物，第一天等可能地从甲、乙两家中选一家直播间购物，如果第一天去甲直播间购物，那么第二天去甲直播间购物的概率为0.7；如果第一天去乙直播间购物，那么第二天去甲直播间购物的概率为0.8，求小李第二天去乙直播间购物的概率．(3)元旦期间，甲直播间进行“秒杀”活动，假设直播间每人下单成功的概率均为p(0＜p＜1)，每人下单成功与否互不影响，若从直播间中随机抽取5人，记5人中恰有2人下单成功的概率为f(p)，求f(p)的最大值点p0.解：(1)列联表如下：单位：名用户年龄段购物所选直播间合计甲直播间乙直播间19～24岁40105025～34岁203050合计6040100由表中数据可得χ2＝100×40×30−20×10250×50×60×40＝50故有99.9%的把握认为选择哪家直播间购物与用户的年龄有关．(2)由题设，事件小李第二天去乙直播间包括第一天去甲直播间，第二天去乙直播间和第一天去乙直播间，第二天去乙直播间两种情况，所以小李第二天去乙直播间购物的概率P＝0.5×(1－0.7)＋0.5×(1－0.8)＝0.25.(3)由题可设5人中下单成功的人数为X，则X～(5，p)，所以f(p)＝C52p2(1－p)3＝10p2(1－p)3，令g(p)＝p2(1－p)3＝p2－3p3＋3p4－p所以g′(p)＝p(2－9p＋12p2－5p3)，令h(p)＝2－9p＋12p2－5p3，所以h′(p)＝－9＋24p－15p2＝－15p−452＋所以h′(p)在0，45又h′35＝h′(1)＝0故在0，35上，h′(p)＜0，h(p)单调递减；在35，1上，h′(p)＞0由h25＝0，h(1)＝0，得在0，25上，h(p)＞0，即g′(p)＞0，在25，1上，h(p)＜0，即g′(p)＜0，所以g(p)在0，25上单调递增，在25，1上单调递减，即f(p)在0，25上单调递增，在概率、统计与数列的综合问题【例3】(2024·大连模拟)国学小组有编号为1，2，3，…，n的n位同学，现在有两个选择题，每人答对第一题的概率为23，答对第二题的概率为12，每个同学的答题过程都是相互独立的，比赛规则如下：①按编号由小到大的顺序依次进行，第1号同学开始第1轮出赛，先答第一题；②若第i(i＝1，2，3，…，n－1)号同学未答对第一题，则第i轮比赛失败，由第i＋1号同学继续比赛；③若第i(i＝1，2，3，…，n－1)号同学答对第一题，则再答第二题，若该生答对第二题，则比赛在第i轮结束；若该生未答对第二题，则第i轮比赛失败，由第i＋1号同学继续答第二题，且以后比赛的同学不答第一题；④若比赛进行到了第n轮，则不管第(1)令随机变量Xn表示n名同学在第Xn轮比赛结束，当n＝3时，求随机变量X3的分布列．(2)若把比赛规则③改为：若第i(i＝1，2，3，…，n－1)号同学未答对第二题，则第i轮比赛失败，第i＋1号同学重新从第一题开始作答．令随机变量Yn表示n名同学在第Yn轮比赛结束．①求随机变量Yn(n∈N*，n≥2)的分布列；②证明：E(Yn)单调递增，且小于3.(1)解：根据题意可知X3的所有可能取值为1，2，3，又P(X3＝1)＝23×12＝P(X3＝2)＝23×12×12＋13×23×12＝518，P(X3＝3)＝1所以X3的分布列为X3123P13518718(2)①解：根据题意知Yn＝1，2，…，n，每位同学两题都答对的概率为p＝23×12＝所以答题失败的概率均为1－23×12＝所以Yn＝k(1≤k≤n－1，k∈N*)时，P(Yn＝k)＝23k-1×1当Yn＝n时，P(Yn＝n)＝23n-1所以Yn的分布列为Yn123…n－1nP1323×1232×1…23n-2×123n-1②证明：由①知E(Yn)＝23k-1×13＋n23n-1(n∈N*，n≥E(Yn＋1)－E(Yn)＝n23n-1×13＋(n＋1)23n－n23n-1＝2故E(Yn)单调递增；由上得E(Y2)＝53故E(Yn)＝E(Y2)＋[E(Y3)－E(Y2)]＋[E(Y4)－E(Y3)]＋…＋[E(Yn)－E(Yn－1)]，所以E(Yn)＝53＋232＋233＋…＋23n-1＝53＋2321−23故E(Y2)＜E(Y3)＜E(Y4)＜E(Y5)＜…＜E(Yn)＜3.概率、统计与数列有关的综合问题的解法一是认真审题，判断随机变量的所有可能取值，并注意相互独立事件的概率与互斥事件的概率的区别，求出随机变量取各个值时的概率，从而列出随机变量的分布列；二是将概率的参数表达式与数列的递推式相结合，可得数列的通项公式，此种解法新颖独特．(2024·威海模拟)全民健身是全体人民增强体魄、健康生活的基础和保障，为了研究杭州市民健身的情况，某调研小组随机抽取了100名市民进行调研，得到如下数据：每周健身次数1次2次3次4次5次6次及6次以上男4653428女7587617(1)如果认为每周健身4次及以上为“喜欢健身”，请列出2×2列联表，并根据小概率值α＝0.05的独立性检验，判断喜欢健身与性别是否有关联．(2)假设杭州市民小红第一次去健身房A健身的概率为211，去健身房B健身的概率为911，从第二次起，若前一次去健身房A，则此次不去A的概率为14；若前一次去健身房B，则此次仍不去A的概率为13．记第n次去健身房A健身的概率为P附：χ2＝nad−bcα0.100.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828解：(1)依题意，2×2列联表如下：单位：人性别是否喜欢健身合计喜欢不喜欢男351550女302050合计6535100零假设为H0：喜欢健身与性别无关．根据列联表中的数据，经计算得到χ2＝100×35×20−30×15250×50×65×30≈1.099＜3.841＝x0.05，根据小概率值α＝0.05的独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，因此也可以认为(2)依题意，P1＝211，当n≥2时，Pn＝Pn－1×34＋(1－Pn－1)×23＝112Pn－则Pn－811＝1所以数列Pn−811是首项为P1－811＝211所以Pn－811＝－611×112n−1，Pn＝811所以P10＝811－611×1129≈所以第10次去A健身房健身的概率更大．课时质量评价(六十九)1．(2024·烟台模拟)某篮球队为提高队员训练的积极性，进行小组投篮游戏；每个小组由两名队员组成，队员甲与队员乙组成一个小组．游戏规则如下：每个小组的两名队员在每轮游戏中分别投篮两次，每小组投进的次数之和不少于3次的称为“神投小组”．已知甲、乙两名队员投进篮球的概率分别为p1，p2.(1)若p1＝12，p2＝23，求他们在第一轮游戏获得“神投小组(2)已知p1＋p2＝65①p1，p2取何值时能使得甲、乙两名队员在一轮游戏中获得“神投小组”称号的概率最大？并求出此时的最大概率．②在第①问的前提下，若甲、乙两名队员想要获得297次“神投小组”的称号，则他们平均要进行多少轮游戏？解：(1)每小组投进的次数之和不少于3次的称为“神投小组”，则可能的情况有：①甲投中一次，乙投中两次；②甲投中两次，乙投中一次；③甲投中两次，乙投中两次．因为p1＝12，p2＝2所以他们在第一轮游戏获得“神投小组”称号的概率为C21·122×232＋122×C21×23(2)①由题意得他们在一轮游戏中获得“神投小组”称号的概率P＝C21×因为p1＋p2＝65，所以P＝12又0≤p1≤1，0≤p2≤1，则15≤p1≤1令m＝p1p2＝−p12＋65p1＝－p则m∈15令P＝f(m)＝125m－3m2＝－3m−252所以f(m)＝125m－3m2在15，925上单调递增，则Pmax＝f925＝297625，此时p②他们小组在n轮游戏中获得“神投小组”称号的次数ξ满足ξ～Bn，所以np＝297，则n＝297297625＝所以平均要进行625轮游戏．2．某公司在一种传染病毒的检测试剂品上加大了研发投入，其研发的检验试剂品α分为两类不同剂型α1和α2.现对其进行两次检测，第一次检测时两类试剂α1和α2合格的概率分别为34和35，第二次检测时两类试剂α1和α2合格的概率分别为45和2(1)设经过两次检测后两类试剂α1和α2合格的种类数为X，求X的分布列和数学期望；(2)若地区排查期间，一户4口之家被确认为“与确诊患者的密切接触者”，这种情况下医护人员要对其家庭成员逐一使用试剂品α进行检测，如果有一人检测呈阳性，则检测结束，并确定该家庭为“感染高危户”．设该家庭每个成员检测呈阳性的概率均为p(0＜p＜1)且相互独立，该家庭至少检测了3个人才确定为“感染高危户”的概率为f(p)，若当p＝p0时，f(p)最大，求p0的值．解：(1)试剂α1合格的概率为34×45＝试剂α2合格的概率为35×23＝由题意知X的所有可能取值为0，1，2.则P(X＝0)＝1−35×1−25＝625，P(X＝1)＝1−35×25＋35×1−25＝1325，P(X012P6251325625数学期望E(X)＝0×625＋1×1325＋2×6(2)检测3人确定“感染高危户”的概率为(1－p)2p，检测4人确定“感染高危户”的概率为(1－p)3p，则f(p)＝(1－p)2p＋(1－p)3p＝(1－p)2p(2－p)．令x＝1－p，因为0＜p＜1，所以0＜x＜1，原函数可化为g(x)＝x2(1－x2)(0＜x＜1)．因为x2(1－x2)≤x2+1−当且仅当x2＝1－x2，即x＝22此时p＝1－22，所以p0＝1－23．(2024·济南模拟)某市为提升中学生的环境保护意识，举办了一次“环境保护知识竞赛”，分预赛和复赛两个环节，预赛成绩排名前三百名的学生参加复赛．已知共有12000名学生参加了预赛，现从参加预赛的全体学生中随机地抽取100人的预赛成绩作为样本，得到如图所示的频率分布直方图．(1)规定预赛成绩不低于80分为优良，若从上述样本中预赛成绩不低于60分的学生中随机地抽取2人，求至少有1人预赛成绩优良的概率，并求预赛成绩优良的人数的数学期望．(2)由频率分布直方图可认为该市全体参加预赛学生的预赛成绩Z服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ可近似为样本中的100名学生预赛成绩的平均值(同一组数据用该组区间的中点值代替)，且σ2＝362，已知小明的预赛成绩为91分，利用该正态分布，估计小明是否有资格参加复赛？(3)复赛规则如下：①每人的复赛初始分均为100分；②参赛学生可在开始答题前自行决定答题数量n，每一题都需要“花”掉(即减去)一定分数来获取答题资格，规定答第k题时“花”掉的分数为0.2k(k＝1，2，…，n)；③每答对一题加2分，答错既不加分也不减分；④答完n题后参赛学生的最终分数即为复赛成绩．已知参加复赛的学生甲答对每道题的概率均为0.8，且每题答对与否都相互独立．若学生甲期望获得最佳的复赛成绩，则他的答题数量n应为多少？附：若Z～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤Z≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤Z≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ≤Z≤μ＋3σ)≈0.9973；362≈19.解：(1)预赛成绩在[60，80)范围内的样本量为0.0125×20×100＝25，预赛成绩在[80，100)范围内的样本量为0.0075×20×100＝15，设抽取的2人中预赛成绩优良的人数为X，则X的可能取值为0，1，2，则P(X≥1)＝C15又P(X＝0)＝C252C402＝513，P(X＝1)＝C151C251C402＝X012P5132552752故E(X)＝0×513＋1×2552＋2×752(2)μ＝x＝(10×0.005＋30×0.01＋50×0.015＋70×0.0125＋90×0.0075)×20＝53，σ2＝362，则σ≈19，所以Z～N(53，362)，故P(Z≥91)＝P(Z≥μ＋2σ)＝12[1－P(μ－2σ＜Z＜μ＋2σ)]≈0.02275故全市参加预赛的学生中，成绩不低于91分的有120000×0.02275＝273(人)，因为273＜300，故小明有资格参加复赛．(3)设学生甲答对的题目数为ξ，复赛成绩为Y，则ξ～B(n，0.8)，故E(ξ)＝0.8n，Y＝100－0.2(1＋2＋3＋…＋n)＋2ξ，故E(Y)＝100－0.2(1＋2＋3＋…＋n)＋2E(ξ)＝－110n2＋3n2＋100＝－110n−因为n∈N*，所以答题数量为7或8时，学生甲可获得最佳的复赛成绩．4．老年公寓是