人教版高中数学必修五学案7：§ 1 .2 应用举例

§1.2应用举例

学习目标：

i.复习巩固正弦定理、余弦定理.

2.能够用正弦定理、余弦定理解决实际问题.

学习过程：

新知引入：

1.常见的有关名词、术语

名词、术语意义

与目标视线同在一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水

仰角与俯角

平视线上方时叫仰角；目标视线在水平视线下方时叫俯角.如图1

一般是指北方向线顺时针到目标方向线的水平角.如方位角60。是指北偏东

方位角

60°

坡角坡面与水平面的夹角

h

坡面的铅直高度与水平宽度之比，即i=£=tana（i为坡比，a为坡角），

坡比

如图2

目标视线

^水平视线/

1目标视线

图1图2

2.测量距离的基本类型及方案

两点间不可通或不可两点间可视但点不可

类别两点都不可达

视达

XB

丁

-------/4―工—-^

-----一---/L\、、..，'.一

图形乙_____:—J

--Z__­\

C

CaD

在△ACD中用正弦定

理求AC

在ABCD中用正弦定

方法用余弦定理用正弦定理

理求BC

在AABC中用余弦定

理求A3

AB=4zsinC

结论

y]a2+户一2abcosCsin(B+O

3.测量高度的基本类型及方案

类别点B与点C、D共线点8与C、。不共线

图形O

在△BCD中先用正弦定理求出BC,在

先用余弦定理求出AC或AD,再解直角

方法△ABC中NA可知，再用正弦定理求出

三角形求出A8

AB

A"a(tan/AC8tanZAZ)JasinNBDCxtanNACB

结论Al)=---------------------------

sm(ZBCD+ZBDC)

4.解三角形应用题的一般步骤

(1)读懂题意，理解问题的实际背景，明确已知与所求，理清量与量之间的关系;

(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形模型;

(3)正确选择正、余弦定理求解;

(4)将三角形的解还原为实际问题，注意实际问题中的单位、近似计算的要求.

可用下图描述:

实际问题探究：

一、测量距离问题

方法链接：测量平面距离时，往往把要测量的距离化为某一个三角形的一条边，再运用

正弦定理或余弦定理加以求解.当涉及的三角形较多时，应寻求最优解法.

例1如图所示，某炮兵阵地位于A点，两观察所分别位于C,。两点.已知△ACD为正三

角形，且DC=/km,当目标出现在2时，测得NCZ)B=45。，ZBCD=75°,求炮兵阵地

与目标的距离是多少？(结果保留根号)

二、测量高度问题

方法链接：1.与测量高度有关的实际应用题主要有两类：一类是与铅垂线有关的问题,

解决这类问题的关键是勾画出平面图形，再分析有关三角形中哪些边与角已知，要求高度,

需要知道哪些边与角，其次要注意正弦定理、余弦定理以及解直角三角形的应用；另一类是

立体问题，解决这类问题的关键是依据题意画好立体图形.

2.与测量高度有关的问题多数会涉及到直角三角形中线段的计算，注意直角三角形中边角

关系的运用.

3.解决测量高度应用题易错的地方是：对有关术语没有正确理解，从而无法画出有关图形.

例2(1)如图所示，

在山底测得山顶仰角NC4B=45。，沿倾斜角为30。的斜坡走1000米至S点，又测得山

顶仰角NOSB=75。，求山高8C；

(2)某人在塔的正东沿着南偏西60。的方向前进40米以后，望见塔在东北方向，若沿途

测得塔的最大仰角为30。，求塔高.

三、测量角度问题

方法链接：对于有些与角度有关的实际问题，我们无法直接测量其角度，则需要在实际

问题中构造相关三角形，通过解三角形，求出相关角度.

例3一缉私艇发现在北偏东45。方向且距离12nmile的海面上有一走私船正以10nmile/h

的速度沿东偏南15。方向逃窜.缉私艇的速度为14nmile/h,若要在最短的时间内追上该走

私船，缉私艇应沿北偏东45。+。的方向去追，求追及所需的时间和a角的正弦值.

四、三角形中的求值问题

方法链接：涉及三角形中的计算问题时，一些基本关系式经常用到，这些关系式是:

(1)A+B+C=7t,A=7t-(B+C)；

(2)怨+m，B-\~C7iA

2=2~2;

(3)sinC=sin(A+B),cos(A+B)=—cosC；

(4)tan(A+B)=—tanC,tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC；

.CA+BC.A+BA+BC

(5)siny=cos--,cos5=sin~~，tan---tan万=1；

(6)A>B>C«sinA>sinB>sinC.

例4在△45C中，a,b,c分别是角A,B,。的对边，且满足(2〃一c)cos8=bcosC

(1)求角B的大小；

(2)若b=巾,a+c=4,求AABC的面积.

五、证明平面几何问题

方法链接：正弦定理和余弦定理是研究三角形的重要工具，在处理平面几何问题中有着

广泛的应用.一些三角形中重要线段的求解和著名定理的证明都离不开正、余弦定理的综合

运用.

例5已知凸四边形的边长分别为。、b、c、d,对角线相交成45。角，若S为四边形的面积，

求证：S=：(/——J2).

课堂检测:

b

1.在A48C中，B=3A,求/的取值范围.

53

2.在AABC中，已知cosA=w，sin8=亍则cosC的值为（）

1656

AB.

-6565

16

c.H和HD.

65

3.在湖面上高/im处，测得云。的仰角为a,而湖中云之影（即云在湖中的像）的俯角为夕,

试证：云高为/?•当坐m.

sin（p—a）

4.在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市。（如图1所示）的东偏

南6（cos方向300km的海面尸处，并以20km/h的速度向西偏北45。方向移动.台风

侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km,并以10km/h的速度不断增大.问几小时后该

城市开始受到台风的侵袭？

5.如图,

O348工

某市拟在长为8km的道路OP的一侧修建一条运动赛道,赛道的前一部分为曲线段OSM,

该曲线段为函数〉=忠皿3：(4>0,。>0),x£[0,4]的图象，且图象的最高点为S(3,2^3)；

赛道的后一部分为折线段MNP,为保证参赛运动员的安全，限定/MNP=120。.

(1)求A,。的值和ALP两点间的距离；

(2)应如何设计，才能使折线段赛道MNP最长？

参考答案

例1解：在ABC。中，ZCDB=45°,/BCD=75。,

：.ZCBD^l?,0o-ZBCD-ZCDB=60°.

由正弦定理，得8。=甯票*乖+巾）.

olllUU乙

在AAB。中，ZADB=45°+60°=105°,

由余弦定理，

得4炉=4。2+8。2—24。8以05105°

—3+彳（优+也）2+2义/x］（加+也）x/（加-也）=5+2小.

：.AB=-\j5+2^3（km）.

/.炮兵阵地与目标的距离是#5+2小km.

例2解:（l）VZSAB=ZCAB-ZCAS=45°-30°=15°,

ZSBA=ZABC-ZSBC=45°-15°=30°,

ZASB=180°-30°-15°=135°.

.I*。1000x乎_

在AABS中，AB=，S11\=——j——=100帅（米）.

mijvn/o

2

、历

.,.BC=AB-sin45°=l000\/^＜牛=1000（米）.

答：山高8C为1000米.

（2）依题意画出图，

某人在C处，48为塔高，沿C£）前进，8=40米，此时/。2尸=45。，从C到Z）测塔

的仰角，只有到。最短时，仰角才最大，这是因为而;，为定值，要求出

2Ctan/AEB=DtLAB

塔高AB,必须先求BE,而要求8E,须先求8。（或80.

在△BOC中，CZ）=40（米），

ZBCZ）=30°,ZDBC=135°.

,.十rd»TinZF4CDBD

由正弦定理/上=~/―〃，

smZDBCsmZDCB

；皿=煞:茎=2地（米）.

在RS3EZ）中，ZBD£=180o-135°-30o=15°.

：.BE=DBsm15。=2Mxm彳"

=10（小—1）（米）.

在R3A8E中，ZAEB=30°,

,,.AB=BEtan30。=学（3一小）（米）.

故所求的塔高为学（3一/）米.

例3解：设A,C分别表示缉私艇，走私船的位置，设经过x小时后在8处追上，则有48

=14x,BC=10x,ZACB=120°.

；.（14x）2=12?+（10尤/一240.rcos120°,

20sin120°5^3

・・x=2,A6=28,BC*=20,sina='

2814.

所需时间为2小时，sina=誓.

例4解：（1）在△ABC中，由正弦定理得

a=2HsinA,Z?=2RsinB,c=2RsinC,

代入（2a—c）cosB=bcosC,

整理得2sinAcosB=sinBcosC+sinCeosB,

即2sinAcosB=sin（B+Q=sinA,

在三角形中，

sinA>0,/.2cosB=lf

•・,3是三角形的内角，

：.B=6Q°.

(2)在△ABC中，由余弦定理得

b2=a'+c1—2ac-cosB

=(〃+c)2—2ac—2ac-cosB，

将b=巾,〃+c=4,代入整理，得ac=3.

S2\A8c=5〃csinJ5=]sin60°=•

例5证明：设凸四边形ABC。的对角线相交于点O,设AO、CO.BO、。。分别为加、〃、

p、q,则由面积公式得：

S=2(mppn~\~nq~\-qm)sin45°

由余弦定理得

a2=m2+p2+2m/?cos450①

b2=n2-\-p2—2npcos45°②

c2=n2-\-q2-\-2nqcos45°③

/=q2+病-2qmcos45°@

由①一②+③一④得：

a2—b2+c1—d2=2(mp+pn+nq+qm)cos45°

V(mp-\-pn-\-nq-\-qm)sin45°=2S.

«2—Z?2+c2—/=4S,

即S=^(a2—Z?2+c2—t/2).

课堂检测

-h-n—rd…TB,白人sinBsin3A

.解：由正弦定理得一==二=.>

1asinAsinA

sin(A+2BsinAcos2A+cosAsin2A

sinAsinA

=cos2A+2COS2A=4COS2A—1

VA+B+C=180°,B=3A.

,

：.A+B=4A<180°f..0°<A<45°.

当<cosA<1,l<4cos2A—1<3,1<­<3.

2a

5jr

2.【解析】丁cosA=记，0<A<2，

••人12

・・sinA=百.

sinA>sinB,从而a>b,故NA>NB,

.□4

..COS6=5，

cosC——cos(A+B)=sinAsinB—cosAcosB=卷,

・,•选A.

【答案】A

3.解：如图所示，设在湖面上高为%m处的A,测得。的仰角为a,而。在湖中的像。的

俯角为川，C。与湖面交于M,过A的水平线交CD于E,设云高CM=x,则CE=x-/z,

DE—x+h,AE^(x—h)cota.

又AE—（x+h）cotp,

所以（无一/?）cota=（尤+/z）cotp.

4.解：方法一(构建三角形，解三角形)

设在时刻f(h)台风中心为Q,此时台风侵袭的圆形区域半径为10/+60(km),如图2所

示.

若在时刻f城市0受到台风的侵袭，则（?2<10f+60.

由余弦定理知

O^=PQ1+PO2-2PQPOCOSZOPQ.

由于P0=300,PQ=20t,

cos/OPQ=cos（6>—45°）

=cos0cos45°+sinHsin45°

故OQ1=(2002+3002-2x20rx300x1

=202?-9600/+3002.

因止匕2()2/一9600r+3002<(10f+60)2,

即Z2-36/+288<0,解得12堂24.

答12小时后该城市开始受到台风的侵袭.

方法二(构建