初高中数学衔接教材(人教版)

初高中数学衔接教材(人教版)7.15

初高中数学衔接教材

1.绝对值

绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的木身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对

值仍是零.即

a,a0,a0,a0,

a,a0.

绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离.

两个数的差的绝对值的几何意义：ab表示在数轴上，数a和数b之间的距离.

1.填空：

⑴若x5,贝ijx=；若x4,贝ljx=.

(2)如果ab5,且a1,贝b=；若c2,贝I」c=________.

2.选择题:

下列叙述正确的是()

(A)若ab,则ab(B)若ab,则ab(C)若ab,贝ljab(D)若ab,

则ab

2.乘法公式

我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：

(1)平方差公式(ab)(ab)a2b2；(2)完全平方公式

(ab)2a22abb2.

我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：

(1)立方和公式(ab)(a2abb2)a3b3；

(2)立方差公式(ab)(aabb)ab；

(3)三数和平方公式(abc)abc2(abbeac)；

(4)两数和立方公式(ab)a3ab3abb；

(5)两数差立方公式(ab)a3ab3abb.

对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明.

332233322322222233

112

42

1212(C)m(D)m(变式：配方)163

例1计算：(x1)(x1)(x2x1)(x2x1).(2)(a2)(a2)(a44a216)

2k是一个完全平方式，则k等于()例题(1)若xmx(A)m(B)m2

222例2已知abc4,abbeac4,求abc的值.

2例3计算：(1)(4m)(164mm)(2)(m1

5111In)(m2mnn2)225104第1页(共6页)

1.填空：

(1)121211ab(ba)()9423

(2)(4m)216m24m()；

(3)(a2bc)2a24b2c2().

(2)不论a,b为何实数，ab2a4b8的值()

(A)总是正数(B)总是负数(C)可以是零(D)可以是正数也可以是负数

3.二次根式

一般地，形

5

如22a0)的代数式叫做二次根式.2.二次根

式的意

义a

例1

a,a0,a,a0.将下列式子化为最简二次根式：(1

y/llb

(2

a0)；(3

)x0).

例2

6

有

(3.

例3试比较下列各组数的大小:

石+4

和.例4化简

73

x/2

叵

x/6

20042005.

例5化简：(1

4口后

(2

MY"

X1).

5、分解因式

十字相乘法：1.x(pq)xpq

【例11把下列各式因式分解：

(3)x5x24(4)x2x15

【例3］把下列各式因式分解：

(1)xxy6y

第2页(共6页)22222222(1)x7x62(2)x13x362(2)

(xx)8(xx)122.一般二次三项式axbx二型的因式分解

【例4】把下列各式因式分解：

2.提取公因式法与分组分解法

例5分解因式：(1)x93x3x；

1.选择题：多项式2xxy15y的一个因式为()

(A)2x5y(B)x3y(C)x3y(D)x5y

2.分解因式:

(1)x2+6x+8；(2)x4xy4y(3)(1)5x2-3x-2；

(4)4(xy1)y(y2x).(5)x2+4x—12；(6)x(ab)xyaby；

(7)xy1xy.(8)8a3—b3；(9)3x5x8

6、一元二次方程——根的判别式

综上所述，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(aWO),有2322(1)12x5x22(2)

5x26xy8y2222222

(1)当A>0时;方程有两个不相等的实数根xl,2

—b±xjb2—4ac

b(2)当△=()时，方程有两个相等的实数根xl=x2=—；2a

(3)当△V0时，方程没有实数根.

例1判定下列关于x的方程的根的情况(其中a为常数)，如果方程有实数根，写出方

程的实数根.

(1)x2-3x+3=0；(2)x2-ax-l=O；(3)x2—ax+(a-1)=0；

7、一元二次方程一一根与系数的关系(韦达定理)

,对于二次项系数为1的一元二次方程x2+px+q=0,若xl,x2是其两根，由韦达定

理可知

xl+x2=-p,xl•x2=q,即p=—(xl+x2),q=xl•x2,

2例：若xl和x2分别是一元二次方程2x+5x—3=0的两根.第3页(共6页)

(1)求xlx2,xl+x2,的值；(2)求xlx2,(3)求|xl—x21的值；

2211xl2x22的值

1.选择题:

(1)已知关于X的方程x2+kx—2=0的一个根是1,则它的另一个根是()

(A)-3(B)3(C)-2(D)2

(2)下列四个说法：

①方程x2+2x—7=0的两根之和为一2,两根之积为一7；②方程x2—2x+7=0的两根

之和为一2,两根之积为7；

③方程3x2—7=0的两根之和为0,两根之积为7；④方程3x2+2x=0的两根之和

为3

-2,两根之积为0.

其中正确说法的个数是()(人)1个(15)2个(03个8)4个

(3)关于x的一元二次方程ax2—5x+a2+a=0的一个根是0,则a的值是()

(A)0(B)1(C)-1(D)0,或一1

2.填空：

(1)方程kx2+4x—1=0的两根之和为一2,则k=.

(2)方程2x2—X—4=0的两根为a,B,贝ija2+32=.

(3)已知关于x的方程x2—ax—3a=0的一个根是一2,则它的另一个根是.

(4)方程2x2+2x-l=0的两根为xl和x2,贝”xl—x21=.3.试判定当m取何值

时，关于x的一元二次方程m2x2—(2m+l)x+1=0有两个不相等的实数根？有两个相等

的实数根？没有实数根？

4.求一个一元二次方程，使它的两根分别是方程x2—7x—1=0各根的相反数.

28、二次函数y=ax+bx+c的图像和性质

例1求二次函数y=-3x2—6x+l图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大

值(或最小值)，并指出当x取何值时，y随x的增大而增大(或减小)？并画出该函

数的图象.

例3把二次函数y=x2+bx+c的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到

函数y=x2的图像，求b,c的值.

1.选择题:

(1)下列函数图象中，顶点不在坐标轴上的是()

(A)y=2x2(B)y=2x2—4x+2(C)y=2x2-l(D)y=2x2-4x

(2)函数y=2(x—1)2+2是将函数y=2x2()

(A)向左平移1个单位、再向上平移2个单位得到的

(B)向右平移2个单位、再向上平移1个单位得到的

(C)向下平移2个单位、再向右平移1个单位得到的

(D)向上平移2个单位、再向右平移1个单位得到的

2.填空题

(1)二次函数y=2x2—mx+n图象的顶点坐标为(1,—2),则m=,n=.

2(2)已知二次函数y=x+(m—2)x—2m,当m=时，函数图象的顶点在y轴上；当

m=x轴上；当m=

(3)函数y=-3(x+2)2+5的图象的开口向，对称轴为，顶点坐标

为；当*=时，函数取最值y=；当x时，y随着x的增大而减小.

3.求下列抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大(小)值及y随x的变化情

况，并画出其图象.

(1)y=x2—2x—3；(2)y=l+6x—x2.

4.已知函数y=-x2—2x+3,当自变量x在下列取值范围内时，分别求函数的最大值

或最小值，并求当函数取最大(小)值时所对应的自变量x的值：

(1)xW—2；(2)xW2；(3)-2WxWl；(4)0WxW3.

9、二次函数的三种表示方式

通过上一小节的学习，我们知道，二次函数可以表示成以下两种形式：

1.一般式：y=ax2+bx+c(a20)；

2.顶点式：y=a(x+h)2+k(aWO),其中顶点坐标是(一h,k).

y=a(x—xl)(x—x2)(aWO).

例1已知某二次函数的最大值为2,图像的顶点在直线y=x+l上，并且图象经过点

(3,-1),求二次函数的解析式.

例2已知二次函数的图象过点(一3,0),(1,0),且顶点到x轴的距离等于2,求此二

次函数的表达式.

1.选择题：

(1)函数y=—x2+x—1图象与x轴的交点个数是()(A)0个(B)1个(C)2个

(D)无法确定

1(2)函数y=—(x+l)2+2的顶点坐标是()(A)(1,2)(B)(1,-2)(C)

(-2

1,2)(D)(—1,—2)

2.填空：(1)已知二次函数的图象经过与x轴交于点(一1,0)和(2,0),则该二次函

数的解析式可设为y=

Iy=一『十2gx+1的

(2x轴两交点之间的距离为.

3.根据下列条件，求二次函数的解析式.

(1)图象经过点(1,-2),(0,-3),(-1,-6)；(2)当x=3时，函数有最小值

5,且经过点(1,11)；

（3）函数图象与x轴交于两点（12,0）和（12,0）,并与y轴交于（0,-2）.第5页

（共6页）

2.对称变换

问题2在把二次函数的图象关于与坐标轴平行的直线进行对称变换时，有什么特点？依

据这一特点，可以怎样来研究二次函数的图象平移？.

例2求把二次函数y=2x2—4x+l的图象关于下列直线对称后

所得到图象对应的函数解析式：（1）直线x=-l；（2）直线y=L

2例5】一元二次方程x4xa0有两个实根，一个比

：°一个根小于0,另一根大于2,

iy

8

<-

!据下列条件,分别求出女的值.

e।演i=.口.

是百二X、20,:是一%=X2»

一个比3小，求a的取值范围。0(x3)(x23)0解得：a3解一：由

1

222*【例6]已知一一元二次方程x(a9)xa5a6求a的取值范围。

解：如图，设f(x)x(a9)xa5a6

2222a3f(0)081a23/.则只须f(2)0,解之得

【例7】已知关于x的方程x(kl)x212k104

(1)方程两实根的积为5；(2)方程的两实根xl,x2分析：(1)由韦达定理即可求之;

(2)所以要分类讨论.

解：(D•••方程两实根的积为5

122[(k1)]4(k1)034k,k4

2xxlk215124

所以，当k4时，方程两实根的积为5.

(2)由|xl|x2得知:

第6页(共6页)

①当xl0时，xlx2,所以方程有两相等实数根，故0k3；2②当xl0

时，xlx2xlx20k10k1,由于0k3,故k1不合题意，

舍去.2综上可得，k3时•，方程的两实根xl,x2满足|xl|x2.2

2【例8】已知xl,x2是一元二次方程4kx4kxk1。的两个实数根.

(1)是否存在实数k,使(2x1x2)(xl2x2)3成立？若存在，求出k的值；2

若不存在，请您说明理由.

(2)求使xlx22的值为整数的实数k的整数值.x2xl

3成立.2解：(1)假设存在实数k,使(2x1x2)(xl2x2)

2一元二次方程4kx4kxk10的两个实数根4k0

(4k)44k(k1)16k0

22k0,又xl,x2是一元二次方程4kx4kxk10的两个实数根

xlx21k1xx124k

(2x1x2)(xl2x2)2(x12x22)5x1x22(x1x2)29x1x2

k93k4k29,但k0.53成立.2二不存在实数k,使(2x1x2)(xl2x2)

xlx2xl2x22(xlx2)24k4(2)*.*2244x2xlxlx2xlx2kIk1

要使其值是整数，只需k1能被4整除，故k11,2,4,注意到k0,

要使xlx22的值为整数的实数k的整数值为2,3,5..x2xl

练习第7页(共6

1.一元二次方程(1k)x22x10有两个不相等的实数根，则k的取值范围是(

A.k2

2)B.k2,且k1C.k2D.k2,且k12.若xl,x2是方程2x6x30的两

个根，则

A.2B.211的值为()xlx212D.C.92

3.已知菱形ABCD的边长为5,两条对角线交于0点，且0A、0B的长分别是关于x的方

程x2(2m1)xm230的根，则m等于()

A.3B.5c.5或3D.5或3

224.若实数ab,且a,b满足a8a50,b8b50,则bla1的值为

alb1

()

B.2c.2或20D.2或20A.20

5.若方程2x2(kl)xk30的两根之差为1,则k的值是.

6.设xl,x2是方程xpxq0的两实根，xl1,x21是关于x的方程xqxp0

的两实根，则p=，q=.

7.对于二次三项式x10x36,小明得出如下结论：无论x取什么实数，其值都不可

能

等于10,您是否同意他的看法？请您说明理由.

228.一元二次方程7x(m13)xmm20两根xl、x2满足0xl1x22222

求m取值范围。

9.已知关于x的一元二次方程x(4ml)x2m10.

(1)求证：不论为任何实数，方程总有两个不相等的实数根；(2)若方程的两根为

xl,x2,且满足

22111,求m的值.xlx2210.已知关于x的方程x(kl)x

12k10.4(1)k取何值时，方程存在两个正实数根？(2)若该方程的两根是一个

矩形相邻两边的长，

求k的值.第8页(共6页)

11.己知关于x的方程(k1)x2(2k3)xk10有两个不相等的实数根xl,x2.

(1)求k的取值范围；

(2)是否存在实数k,使方程的两实根互为相反数？如果存在，求出k的值；如果不存

在，请您说明理由.

12.若xl,x2是关于x的方程x2(2kl)xk21。的两个实数根，且xl,x2都大

于1.

(1)求实数k的取值范围；(2)若xll,求k的值.x22

6.答案：1.B2.A

7.正确3.A4.A5.9或3Pl,q3

8.由可得2m1或3m49.⑴16m50(2)m2

10.(l)k

313(2)k211.(l)k且k1212；(2)k7.123(2)不存在12.(1)k且

k14

例1.已知数轴上三点A、B、C的坐标分别为4、-2、-6.求|AB|、|BC|>|AC解：

|AB|(2)46BC|(6)(2)|4AC|4(6)|10

1(x1,yl),P2(x2,y2),

则IPR匕)("2-*1)-+()‘2—H)

2、平面上任意两点间距离：在直角坐标系内，已知两点P

例2.在直角坐标系内，已知两点A(6,4)、B(2,2),求这两点间距离|AB|.解：

|AB|

1、已知数轴上两点A、B坐标分别为xl、x2,求A、B两点间距离|AB|：1)xl8、

x263)xl4、x211*4)xl2ab、x2a2b

2、求连结下列两点的线段的长度1)A(6,0)、B(2,0)22.(满分14分)如图，抛物

线y

与y轴交于点C,顶点为D

(1)求点A,B,D的坐标；

(2)连接CD,过原点0作0ELCD,垂足为H,0E与抛物线的对称轴交于点E,连

接AE,AD.求证：ZAEOZADC；

第9页(共6页)(26)2(2(4))264421(x3)21与x轴交于

A,B两点(点A在点B的左侧)，2(3)以(2)中的点E为圆心，1为半径画圆，在对

称轴右侧的抛物线上有一动点P,

过点P作。E的切线，切点为Q,当PQ的长最小时，求点P的坐标，并直接写出点Q的

坐标

第10页(共6页)

第11页(共6页)

，乙。"'=乙B.

乂JzCQOP=

rQAP=Z.QOP.

•••Z.QFA=乙PF。.

・•・△。巾s^PFO.

・丝一色即殁-"

*FP~FO*4