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文档简介
第01讲6.1平面向量的概念课程标准学习目标①能结合物理中的力、位移、速度等具体背景认识向量,掌握向量与数量的区别。②会用有向线段、字母表示向量,了解有向线段与向量的联系与区别。③理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量及向量的模等概念,会辨识图形中这些相关的概念。1.通过阅读课本,查阅资料,并能结合物理中的力、位移、速度等具体背景认识向量,掌握向量与数量的区别与联系;2.认真阅读课本,在读书过程中学会用有向线段、字母表示向量,了解有向线段与向量的联系与区别;3.在认真学习的基础上,理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量及向量的模等概念,会辨识图形中这些相关的概念.学会向量的表示方法;知识点01:向量的概念(1)向量在数学中,我们把既有大小又有方向的量叫做向量.①我们所学的向量是自由向量,即只有大小和方向,而无特定的位置,这样的向量可以作任意平移.②向量与向量之间不能比较大小.【即学即练1】(2023上·黑龙江·高二统考学业考试)下列量中是向量的为(
)A.频率 B.拉力 C.体积 D.距离【答案】B【详解】显然频率、体积、距离,它们只有大小,不是向量,而拉力既有大小,又有方向,所以拉力是向量.故选:B(2)数量只有大小没有方向的量称为数量,如年龄、身高、长度、面积体积、质量等(3)向量与数量的区别①向量与数量的区别:向量有方向,而数量没有方向;数量与数量之间可以比较大小,而向量与向量之间不能比较大小②向量与矢量:数学中的向量是从物理中的矢量(如位移、力、加速度、速度等)中抽象出来的,但在这里我们仅考虑它的大小及方向;而物理中的这些量,既同时具备大小和方向这两个属性,还具有其他属性(如“力”就是由大小方向、作用点所决定的).知识点02:向量的几何表示(1)有向线段具有方向的线段叫做有向线段①有向线段:具有方向的线段叫做有向线段,其方向是由起点指向终点.以为起点、为终点的有向线段记作(如图所示),线段的长度也叫做有向线段的长度,记作.表示有向线段时,起点一定要写在终点的前面,上面标上箭头.②有向线段的三个要素:起点、方向、长度.知道了有向线段的起点、方向、长度,它的终点就唯一确定了.(2)向量的表示①几何表示:向量可以用有向线段表示,有向线段的长度表示向量的大小,有向线段的方向表示向量的方向.②字母表示:向量可以用字母,,,…表示(3)向量的模向量的大小称为向量的长度(或称模),记作.(4)两种特殊的向量零向量:长度为0的向量叫做零向量,记作.单位向量:长度等于1个单位长度的向量,叫做单位向量①若用有向线段表示零向量,则其终点与起点重合.②要注意0与的区别与联系:0是一个实数,是一个向量,且有;书写时表示零向量,一定不能漏掉0上的箭头.③单位向量有无数个,它们大小相等,但方向不一定相同.④在平面内,将表示所有单位向量的有向线段的起点平移到同一点,则它们的终点构成一个半径为1的圆.【即学即练2】(2023下·新疆·高一校考期中)下列说法正确的是(
)A.向量的模是一个正实数 B.零向量没有方向C.单位向量的模等于1个单位长度 D.零向量就是实数0【答案】C【详解】对于A,零向量的模等于零,故A错误;对于B,零向量有方向,其方向是任意的,故B错误;对于C,根据单位向量的定义可C知正确;对于D,零向量有大小还有方向,而实数只有大小没有方向,故D错误.故选:C.知识点03:相等向量与共线向量(1)平行向量方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.向量与平行,记作.规定:零向量与任意向量平行,即对于任意向量,都有.(2)相等向量长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.向量与相等,记作.两个向量相等必须具备的条件是长度相等,方向相同因为向量完全由它的方向和模确定,故任意两个相等的非零向量,都可用同一条有向线段来表示,并且与有向线段的起点无关.(3)共线向量任一组平行向量都可以平移到同一条直线上,因此,平行向量也叫做共线.共线向量所在直线平行或重合,如果两个向量所在的直线平行或重合,则这两个向量是共线向量.【即学即练3】(2022下·辽宁大连·高一校考阶段练习)下列命题正确的是(
)A.若,则 B.若,则C.若,则 D.若,则【答案】A【详解】模为零的向量是零向量,所以A项正确;时,只说明向的长度相等,无法确定方向,所以B,C均错;时,只说明方向相同或相反,没有长度关系,不能确定相等,所以D错.故选:A.题型01向量的有关概念【典例1】(2023·全国·高一专题练习)下列说法正确的个数是(
)(1)温度、速度、位移、功这些物理量是向量;(2)零向量没有方向;(3)向量的模一定是正数;(4)非零向量的单位向量是唯一的.A.0 B.1 C.2 D.3【典例2】(2023上·安徽阜阳·高二校考阶段练习)下列命题中错误的有(
)A.平行向量就是共线向量B.相反向量就是长度相等且方向相反的向量C.同向,且,则D.两个向量平行是这两个向量相等的必要不充分条件【变式1】(2023下·新疆乌鲁木齐·高一校考期中)下列命题:①方向不同的两个向量不可能是共线向量;②长度相等、方向相同的向量是相等向量;③平行且模相等的两个向量是相等向量;④若,则.其中正确命题的个数是(
)A.1 B.2 C.3 D.4【变式2】(2023上·广东湛江·高二校考开学考试)下列命题正确的个数是(
)(1)向量就是有向线段;(2)零向量是没有方向的向量;(3)零向量的方向是任意的;(4)零向量的长度为0.A.1 B.2 C.3 D.4题型02向量的几何表示【典例1】(2023·全国·高一随堂练习)选择适当的比例尺,用有向线段表示下列向量.(1)终点A在起点O正东方向3m处;(2)终点B在起点O正西方向3m处;(3)终点C在起点O东北方向4m处;(4)终点D在起点O西南方向2m处.
【典例2】(2023下·山东菏泽·高一山东省东明县第一中学校考阶段练习)对下面图形的表示恰当的是(
).
A. B. C. D.【变式1】(2023·全国·高一假期作业)已知向量如图所示,下列说法不正确的是(
)A.也可以用表示B.方向是由M指向NC.起点是M D.终点是M【变式2】(2023下·新疆·高一校考期中)已知向量如下图所示,下列说法不正确的是(
)A.向量可以用表示 B.向量的方向由指向C.向量的起点是 D.向量的终点是题型03向量的模【典例1】(2023下·山东菏泽·高一山东省东明县第一中学校考阶段练习)如果一架飞机向西飞行,再向南飞行,记飞机飞行的路程为,位移为,则(
).A. B. C. D.与不能比较大小【典例2】(2022·高一课时练习)如图,已知是单位向量,求出图中向量,,,的模.【变式1】(2023下·安徽合肥·高一合肥一中校考阶段练习)在如图所示的半圆中,AB为直径,点O为圆心,C为半圆上一点,且,,则等于(
)A.1 B. C. D.2【变式2】(2023·全国·高一随堂练习)如图,某船从点O出发沿北偏东30°的方向行驶至点A处,求该船航行向量的长度(单位:nmile).
题型04零向量与单位向量【典例1】(2022下·高一校考课时练习)下列说法正确的是(
)A.零向量没有大小,没有方向B.零向量是唯一没有方向的向量C.零向量的长度为0D.任意两个单位向量方向相同【典例2】(2022下·湖北鄂州·高一校联考期中)下列关于零向量的说法正确的是(
)A.零向量没有大小 B.零向量没有方向C.两个反方向向量之和为零向量 D.零向量与任何向量都共线【变式1】(2022·全国·高一假期作业)下列说法正确的个数为(
)①面积、压强、速度、位移这些物理量都是向量②零向量没有方向③向量的模一定是正数④非零向量的单位向量是唯一的A.0 B.1 C.2 D.3【变式2】(2020下·高一课时练习)下列命题中正确的个数是①向量就是有向线段
②零向量是没有方向的向量③零向量的方向是任意的
④任何向量的模都是正实数A.0 B.1 C.2 D.3题型05相等向量【典例1】(2023上·广东湛江·高二湛江二十一中校考期中)下列命题正确的是(
)A.零向量没有方向 B.若,则C.若,,则 D.若,,则【典例2】(2023下·山东滨州·高一统考期中)下列说法正确的是(
)A.单位向量都相等B.若,则C.若,则D.若,则【变式1】(2023下·新疆乌鲁木齐·高一校考期中)如图,在正六边形中,点为其中点,则下列判断错误的是(
)
A. B.C. D.【变式2】(多选)(2023下·陕西咸阳·高一校考期中)下列命题中,错误的是(
)A.若,则与方向相同或相反B.若,,则C.若,,则D.若两个单位向量互相平行,则这两个单位向量相等题型06共线向量【典例1】(多选)(2023上·高二课时练习)(多选)下列命题的判断正确的是(
)A.若向量与向量共线,则A,B,C,D四点在一条直线上B.若A,B,C,D四点在一条直线上,则向量与向量共线C.若A,B,C,D四点不在一条直线上,则向量与向量不共线D.若向量与向量共线,则A,B,C三点在一条直线上【典例2】(2023·全国·高一课堂例题)已知O为正六边形的中心,在图所标出的向量中:
(1)试找出与共线的向量;(2)确定与相等的向量;(3)与相等吗?【变式1】(多选)(2023下·贵州遵义·高一校考阶段练习)下列说法错误的是(
)A.有向线段与表示同一向量B.两个有公共终点的向量是平行向量C.零向量与单位向量是平行向量D.单位向量都相等【变式2】(多选)(2023下·四川遂宁·高一射洪中学校考阶段练习)下列命题中错误的有(
)A.起点相同的单位向量,终点必相同;B.已知向量,则四边形ABCD为平行四边形;C.若,则;D.若,则第01讲6.1平面向量的概念A夯实基础B能力提升A夯实基础一、单选题1.(2023下·新疆·高一校考期末)下列说法正确的是(
)A.身高是一个向量B.温度有零上温度和零下温度之分,故温度是向量C.有向线段由方向和长度两个要素确定D.有向线段和有向线段的长度相等2.(2023下·河南商丘·高一校考阶段练习)若向量与向量不相等,则与一定()A.不共线 B.长度不相等C.不都是单位向量 D.不都是零向量3.(2023下·河南濮阳·高一濮阳一高校考阶段练习)判断下列命题:①两个有共同起点而且相等的非零向量,其终点必相同;②若,则与的方向相同或相反;③若,且,则.其中,正确的命题个数为(
)A.0 B.1 C.2 D.34.(2018·高一课时练习)如图,在四边形ABCD中,若,则图中相等的向量是(
)
A.与 B.与 C.与 D.与5.(2022·高一课时练习)给出下列四个命题:①若,则;②若,则或;③若,则;④若,则.
其中的正确命题有(
)A.1个 B.2个 C.3个 D.4个6.(2022·高一课时练习)已知向量是两个非零向量,分别是与同方向的单位向量,则以下各式正确的是(
)A. B.或C. D.与的长度相等7.(2023下·山东菏泽·高一山东省鄄城县第一中学校考阶段练习)下列说法错误的是(
)A.任一非零向量都可以平行移动 B.是单位向量,则C. D.若,则8.(2023下·新疆·高一兵团第三师第一中学校考阶段练习)关于向量,,下列命题中,正确的是()A.若,则 B.若,则C.若,则 D.若,,则二、多选题9.(2023下·四川泸州·高一泸县五中校考阶段练习)下面关于向量的说法正确的是()A.单位向量:模为的向量B.零向量:模为的向量C.平行共线向量:方向相同的向量D.相等向量:模相等,方向相同的向量10.(2023下·四川眉山·高一校考期中)若都是非零向量,且,则(
)A.方向相同 B.方向相反 C. D.三、填空题11.(2023·全国·高三专题练习)在如图所示的向量中(小正方形的边长为1),找出存在下列关系的向量:
①共线向量:;②方向相反的向量:;③模相等的向量:.12.(2023下·海南儋州·高一校考阶段练习)下列各量中,向量有:.(填写序号)①浓度;②年龄;③风力;④面积;⑤位移;⑥加速度.四、问答题13.(2023·全国·高一课堂例题)在图中的方格纸中有一个向量,分别以图中的格点为起点和终点作向量,其中与相等的向量有多少个?与长度相等的共线向量有多少个(除外)?
14.(2023下·高一课时练习)如图所示,的三边均不相等,E,F,D分别是AC,AB,BC的中点,在以A,B,C,D,E,F为起点或终点的所有有向线段表示的向量中:(1)写出与相反的向量;(2)写出与的模相等的向量;(3)写出与相等的向量.B能力提升1.(2023下·福建龙岩·高一福建省连城县第一中学校考阶段练习)下列说法错误的是(
)A.B.、是单位向量,则C.若,则D.任一非零向量都可以平行移动2.(2023下·湖南长沙·高一长沙一中校考阶段练习)下列
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