人教A版高中数学（必修第二册）同步讲义第01讲 6.1平面向量的概念（原卷版）

第01讲6.1平面向量的概念课程标准学习目标①能结合物理中的力、位移、速度等具体背景认识向量，掌握向量与数量的区别。②会用有向线段、字母表示向量，了解有向线段与向量的联系与区别。③理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量及向量的模等概念，会辨识图形中这些相关的概念。1.通过阅读课本，查阅资料，并能结合物理中的力、位移、速度等具体背景认识向量，掌握向量与数量的区别与联系；2.认真阅读课本，在读书过程中学会用有向线段、字母表示向量，了解有向线段与向量的联系与区别；3.在认真学习的基础上，理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量及向量的模等概念，会辨识图形中这些相关的概念．学会向量的表示方法；知识点01：向量的概念（1）向量在数学中,我们把既有大小又有方向的量叫做向量.①我们所学的向量是自由向量,即只有大小和方向,而无特定的位置,这样的向量可以作任意平移.②向量与向量之间不能比较大小.【即学即练1】（2023上·黑龙江·高二统考学业考试）下列量中是向量的为（

）A．频率 B．拉力 C．体积 D．距离【答案】B【详解】显然频率、体积、距离，它们只有大小，不是向量，而拉力既有大小，又有方向，所以拉力是向量.故选：B（2）数量只有大小没有方向的量称为数量,如年龄、身高、长度、面积体积、质量等（3）向量与数量的区别①向量与数量的区别:向量有方向,而数量没有方向；数量与数量之间可以比较大小,而向量与向量之间不能比较大小②向量与矢量:数学中的向量是从物理中的矢量(如位移、力、加速度、速度等)中抽象出来的,但在这里我们仅考虑它的大小及方向；而物理中的这些量,既同时具备大小和方向这两个属性,还具有其他属性(如“力”就是由大小方向、作用点所决定的).知识点02：向量的几何表示(1)有向线段具有方向的线段叫做有向线段①有向线段:具有方向的线段叫做有向线段,其方向是由起点指向终点.以为起点、为终点的有向线段记作(如图所示),线段的长度也叫做有向线段的长度,记作.表示有向线段时,起点一定要写在终点的前面,上面标上箭头.②有向线段的三个要素:起点、方向、长度.知道了有向线段的起点、方向、长度,它的终点就唯一确定了.（2）向量的表示①几何表示:向量可以用有向线段表示,有向线段的长度表示向量的大小,有向线段的方向表示向量的方向.②字母表示:向量可以用字母,,,…表示（3）向量的模向量的大小称为向量的长度(或称模),记作.（4）两种特殊的向量零向量:长度为0的向量叫做零向量,记作.单位向量:长度等于1个单位长度的向量,叫做单位向量①若用有向线段表示零向量,则其终点与起点重合.②要注意0与的区别与联系:0是一个实数,是一个向量,且有；书写时表示零向量,一定不能漏掉0上的箭头.③单位向量有无数个,它们大小相等,但方向不一定相同.④在平面内,将表示所有单位向量的有向线段的起点平移到同一点,则它们的终点构成一个半径为1的圆.【即学即练2】（2023下·新疆·高一校考期中）下列说法正确的是（

）A．向量的模是一个正实数 B．零向量没有方向C．单位向量的模等于1个单位长度 D．零向量就是实数0【答案】C【详解】对于A，零向量的模等于零，故A错误；对于B，零向量有方向，其方向是任意的，故B错误；对于C，根据单位向量的定义可C知正确；对于D，零向量有大小还有方向，而实数只有大小没有方向，故D错误.故选：C.知识点03：相等向量与共线向量(1)平行向量方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.向量与平行,记作.规定:零向量与任意向量平行,即对于任意向量,都有.(2)相等向量长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.向量与相等,记作.两个向量相等必须具备的条件是长度相等,方向相同因为向量完全由它的方向和模确定,故任意两个相等的非零向量,都可用同一条有向线段来表示,并且与有向线段的起点无关.（3）共线向量任一组平行向量都可以平移到同一条直线上,因此,平行向量也叫做共线.共线向量所在直线平行或重合,如果两个向量所在的直线平行或重合,则这两个向量是共线向量.【即学即练3】（2022下·辽宁大连·高一校考阶段练习）下列命题正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】A【详解】模为零的向量是零向量，所以A项正确；时，只说明向的长度相等，无法确定方向，所以B，C均错；时，只说明方向相同或相反，没有长度关系，不能确定相等，所以D错.故选：A.题型01向量的有关概念【典例1】（2023·全国·高一专题练习）下列说法正确的个数是（

）（1）温度、速度、位移、功这些物理量是向量；（2）零向量没有方向；（3）向量的模一定是正数；（4）非零向量的单位向量是唯一的．A．0 B．1 C．2 D．3【典例2】（2023上·安徽阜阳·高二校考阶段练习）下列命题中错误的有（

）A．平行向量就是共线向量B．相反向量就是长度相等且方向相反的向量C．同向，且，则D．两个向量平行是这两个向量相等的必要不充分条件【变式1】（2023下·新疆乌鲁木齐·高一校考期中）下列命题：①方向不同的两个向量不可能是共线向量；②长度相等、方向相同的向量是相等向量；③平行且模相等的两个向量是相等向量；④若，则.其中正确命题的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【变式2】（2023上·广东湛江·高二校考开学考试）下列命题正确的个数是（

）（1）向量就是有向线段；（2）零向量是没有方向的向量；（3）零向量的方向是任意的；（4）零向量的长度为0．A．1 B．2 C．3 D．4题型02向量的几何表示【典例1】（2023·全国·高一随堂练习）选择适当的比例尺，用有向线段表示下列向量．(1)终点A在起点O正东方向3m处；(2)终点B在起点O正西方向3m处；(3)终点C在起点O东北方向4m处；(4)终点D在起点O西南方向2m处．

【典例2】（2023下·山东菏泽·高一山东省东明县第一中学校考阶段练习）对下面图形的表示恰当的是（

）．

A． B． C． D．【变式1】（2023·全国·高一假期作业）已知向量如图所示，下列说法不正确的是（

）A．也可以用表示B．方向是由M指向NC．起点是M D．终点是M【变式2】（2023下·新疆·高一校考期中）已知向量如下图所示，下列说法不正确的是（

）A．向量可以用表示 B．向量的方向由指向C．向量的起点是 D．向量的终点是题型03向量的模【典例1】（2023下·山东菏泽·高一山东省东明县第一中学校考阶段练习）如果一架飞机向西飞行，再向南飞行，记飞机飞行的路程为，位移为，则（

）．A． B． C． D．与不能比较大小【典例2】（2022·高一课时练习）如图，已知是单位向量，求出图中向量，，，的模.【变式1】（2023下·安徽合肥·高一合肥一中校考阶段练习）在如图所示的半圆中，AB为直径，点O为圆心，C为半圆上一点，且，，则等于（

）A．1 B． C． D．2【变式2】（2023·全国·高一随堂练习）如图，某船从点O出发沿北偏东30°的方向行驶至点A处，求该船航行向量的长度（单位：nmile）．

题型04零向量与单位向量【典例1】（2022下·高一校考课时练习）下列说法正确的是（

）A．零向量没有大小，没有方向B．零向量是唯一没有方向的向量C．零向量的长度为0D．任意两个单位向量方向相同【典例2】（2022下·湖北鄂州·高一校联考期中）下列关于零向量的说法正确的是（

）A．零向量没有大小 B．零向量没有方向C．两个反方向向量之和为零向量 D．零向量与任何向量都共线【变式1】（2022·全国·高一假期作业）下列说法正确的个数为（

）①面积、压强、速度、位移这些物理量都是向量②零向量没有方向③向量的模一定是正数④非零向量的单位向量是唯一的A．0 B．1 C．2 D．3【变式2】（2020下·高一课时练习）下列命题中正确的个数是①向量就是有向线段

②零向量是没有方向的向量③零向量的方向是任意的

④任何向量的模都是正实数A．0 B．1 C．2 D．3题型05相等向量【典例1】（2023上·广东湛江·高二湛江二十一中校考期中）下列命题正确的是（

）A．零向量没有方向 B．若，则C．若，，则 D．若，，则【典例2】（2023下·山东滨州·高一统考期中）下列说法正确的是（

）A．单位向量都相等B．若，则C．若，则D．若，则【变式1】（2023下·新疆乌鲁木齐·高一校考期中）如图，在正六边形中，点为其中点，则下列判断错误的是（

）

A． B．C． D．【变式2】（多选）（2023下·陕西咸阳·高一校考期中）下列命题中，错误的是（

）A．若，则与方向相同或相反B．若，，则C．若，，则D．若两个单位向量互相平行，则这两个单位向量相等题型06共线向量【典例1】（多选）（2023上·高二课时练习）(多选)下列命题的判断正确的是（

）A．若向量与向量共线，则A，B，C，D四点在一条直线上B．若A，B，C，D四点在一条直线上，则向量与向量共线C．若A，B，C，D四点不在一条直线上，则向量与向量不共线D．若向量与向量共线，则A，B，C三点在一条直线上【典例2】（2023·全国·高一课堂例题）已知O为正六边形的中心，在图所标出的向量中：

(1)试找出与共线的向量；(2)确定与相等的向量；(3)与相等吗？【变式1】（多选）（2023下·贵州遵义·高一校考阶段练习）下列说法错误的是（

）A．有向线段与表示同一向量B．两个有公共终点的向量是平行向量C．零向量与单位向量是平行向量D．单位向量都相等【变式2】（多选）（2023下·四川遂宁·高一射洪中学校考阶段练习）下列命题中错误的有（

）A．起点相同的单位向量，终点必相同；B．已知向量，则四边形ABCD为平行四边形；C．若，则；D．若，则第01讲6.1平面向量的概念A夯实基础B能力提升A夯实基础一、单选题1．（2023下·新疆·高一校考期末）下列说法正确的是（

）A．身高是一个向量B．温度有零上温度和零下温度之分，故温度是向量C．有向线段由方向和长度两个要素确定D．有向线段和有向线段的长度相等2．（2023下·河南商丘·高一校考阶段练习）若向量与向量不相等，则与一定（）A．不共线 B．长度不相等C．不都是单位向量 D．不都是零向量3．（2023下·河南濮阳·高一濮阳一高校考阶段练习）判断下列命题：①两个有共同起点而且相等的非零向量，其终点必相同；②若，则与的方向相同或相反；③若，且，则.其中，正确的命题个数为（

）A．0 B．1 C．2 D．34．（2018·高一课时练习）如图，在四边形ABCD中，若，则图中相等的向量是（

）

A．与 B．与 C．与 D．与5．（2022·高一课时练习）给出下列四个命题：①若，则；②若，则或；③若，则；④若，则.

其中的正确命题有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个6．（2022·高一课时练习）已知向量是两个非零向量，分别是与同方向的单位向量，则以下各式正确的是（

）A． B．或C． D．与的长度相等7．（2023下·山东菏泽·高一山东省鄄城县第一中学校考阶段练习）下列说法错误的是（

）A．任一非零向量都可以平行移动 B．是单位向量，则C． D．若，则8．（2023下·新疆·高一兵团第三师第一中学校考阶段练习）关于向量，，下列命题中，正确的是（）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，，则二、多选题9．（2023下·四川泸州·高一泸县五中校考阶段练习）下面关于向量的说法正确的是（）A．单位向量：模为的向量B．零向量：模为的向量C．平行共线向量：方向相同的向量D．相等向量：模相等，方向相同的向量10．（2023下·四川眉山·高一校考期中）若都是非零向量，且，则（

）A．方向相同 B．方向相反 C． D．三、填空题11．（2023·全国·高三专题练习）在如图所示的向量中（小正方形的边长为1），找出存在下列关系的向量：

①共线向量：；②方向相反的向量：；③模相等的向量：.12．（2023下·海南儋州·高一校考阶段练习）下列各量中，向量有：．（填写序号）①浓度；②年龄；③风力；④面积；⑤位移；⑥加速度．四、问答题13．（2023·全国·高一课堂例题）在图中的方格纸中有一个向量，分别以图中的格点为起点和终点作向量，其中与相等的向量有多少个？与长度相等的共线向量有多少个（除外）？

14．（2023下·高一课时练习）如图所示，的三边均不相等，E，F，D分别是AC，AB，BC的中点，在以A，B，C，D，E，F为起点或终点的所有有向线段表示的向量中：(1)写出与相反的向量；(2)写出与的模相等的向量；(3)写出与相等的向量.B能力提升1．（2023下·福建龙岩·高一福建省连城县第一中学校考阶段练习）下列说法错误的是（

）A．B．、是单位向量，则C．若，则D．任一非零向量都可以平行移动2．（2023下·湖南长沙·高一长沙一中校考阶段练习）下列