高考数学一轮复习(提升版)(新高考地区专用)4.2利用导数求单调性(精讲)(提升版)(原卷版+解析)

4.2利用导数求单调性（精讲）（提升版）思维导图思维导图考点呈现考点呈现例题剖析例题剖析考点一单调区间（无参）【例1-1】(2023·新疆）函数的减区间是____________.【例1-2】(2023·广东·顺德一中）设曲线在上的单调递减区间是______.【例1-3】（江苏省苏州实验中学）已知函数f(x)满足，则f(x)的单调递减区间为（

）A．(-∞,0) B．(1,+∞) C．(-∞,1) D．(0,+∞)【一隅三反】1．函数f(x)＝x＋2eq\r(1－x)的单调递增区间是()A．(0,1) B．(－∞，1)C．(－∞，0) D．(0，＋∞)2．（皖豫名校联盟体2022届）函数的单调递减区间为__________．3．已知定义在区间(0，π)上的函数f(x)＝x＋2cosx，则f(x)的单调递增区间为．考点二已知单调性求参数【例2-1】(2023安徽省“皖东县中联盟）若函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【例2-2】(2023.广东）已知函数在区间上不是单调函数，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【一隅三反】1．(2023福建省）已知函数在上为单调递增函数，则实数m的取值范围为（

）A． B． C． D．2．（湖南省三湘名校教育联盟2022届）若是R上的减函数，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．3．（江西省宜春市八校2022届）已知函数在区间上存在单调减区间，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．4．(2023·宁夏吴忠）已知函数存在三个单调区间，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．考点三单调性的应用之解不等式【例3】（湖南省多所学校2022届）已知，则的解集是（

）A． B．或C．或 D．或【一隅三反】1．（陕西省西安地区八校2022届）已知函数，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．2．（湖北省2022届）已知函数，不等式的解集为（

）A． B．C． D．3．若函数f(x)＝lnx＋ex－sinx，则不等式f(x－1)≤f(1)的解集为．4．已知函数f(x)＝xsinx＋cosx＋x2，则不等式f(lnx)＋f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ln\f(1,x)))<2f(1)的解集为．考点四单调性应用之比较大小【例4-1】（华大新高考联盟名校2022届）已知实数a，b，，e为自然对数的底数，且，，，则（

）A． B．C． D．【例4-2】（湖南师范大学附中2022届）下列两数的大小关系中正确的是（

）A． B．C． D．【一隅三反】1．(2023年全国新高考I卷数学试题）设，则（

）A． B． C． D．2．（山东省青州市2022届）设，，，则（

）A． B． C． D．3．（江西省萍乡市2022届）设，，，则（

）A． B．C． D．4．（湖北省二十一所重点中学2022届）已知是自然对数的底数，设，，，，下列说法正确的是（

）A． B．C． D．考点五含参函数的单调性讨论【例5-1】(2023广西节选）已知函数，讨论的单调性；【例5-2】(2023安徽）已知函数，讨论f（x）的单调性；【例5-3】（安徽省江淮名校2022届）已知函数，讨论的单调性；【例5-4】(2023辽宁省沈阳市第二中学）已知函数，讨论的单调性；【一隅三反】1．(2023贵州省贵阳市五校）已知，函数，讨论的单调性；2．(2023陕西省）已知函数．讨论函数的单调性；3．（重庆市第八中学校2022届高三下学期适应性月考（七）数学试题）已知，讨论的单调性；4．(2023江苏省）已知函数，函数的导函数为．讨论函数的单调性；4.2利用导数求单调性（精讲）（提升版）思维导图思维导图考点呈现考点呈现例题剖析例题剖析考点一单调区间（无参）【例1-1】(2023·新疆）函数的减区间是____________.答案：【解析】由可得所以由可得所以函数的减区间是故答案为：【例1-2】(2023·广东·顺德一中）设曲线在上的单调递减区间是______.答案：【解析】因为，所以，令，则，解得或.当时，所以函数的单调递减区间为.故答案为：.【例1-3】（江苏省苏州实验中学）已知函数f(x)满足，则f(x)的单调递减区间为（

）A．(-∞,0) B．(1,+∞) C．(-∞,1) D．(0,+∞)答案：A【解析】由题设，则，可得，而，则，所以，即，则且递增，当时，即递减，故递减区间为(-,0).故选：A【一隅三反】1．函数f(x)＝x＋2eq\r(1－x)的单调递增区间是()A．(0,1) B．(－∞，1)C．(－∞，0) D．(0，＋∞)答案：C【解析】f(x)的定义域为(－∞，1]，f′(x)＝1－eq\f(1,\r(1－x))，令f′(x)＝0，得x＝0.当0<x<1时，f′(x)<0.当x<0时，f′(x)>0.∴f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为(0,1)．2．（皖豫名校联盟体2022届）函数的单调递减区间为__________．答案：【解析】当时，，则其在上递减，当时，，则，当时，，所以在上递减，综上，的单调递减区间为，故答案为：3．已知定义在区间(0，π)上的函数f(x)＝x＋2cosx，则f(x)的单调递增区间为．答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,6)))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)，π))【解析】f′(x)＝1－2sinx，x∈(0，π)．令f′(x)＝0，得x＝eq\f(π,6)或x＝eq\f(5π,6)，当0<x<eq\f(π,6)时，f′(x)>0，当eq\f(π,6)<x<eq\f(5π,6)时，f′(x)<0，当eq\f(5π,6)<x<π时，f′(x)>0，∴f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,6)))和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)，π))上单调递增，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(5π,6)))上单调递减．考点二已知单调性求参数【例2-1】(2023安徽省“皖东县中联盟）若函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．答案：B【解析】对于函数，导数.要使函数在区间上单调递减，只需恒成立.因为，只需，只需恒成立.记，只需..因为，所以.由在上单减，在上单增，且时，，时，.所以在上的最大值为，所以在的最大值为1.所以.故选：B【例2-2】(2023.广东）已知函数在区间上不是单调函数，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．答案：D【解析】∵，∴∵函数在区间上不是单调函数∴在区间上有根∴当a＝0时，x＝－1不满足条件当时，∵，∴，∴.故选：D．【一隅三反】1．(2023福建省）已知函数在上为单调递增函数，则实数m的取值范围为（

）A． B． C． D．答案：D【解析】，因为在上为单调递增函数，所以在上恒成立，令，要满足①，或②，由①得：，由②得：，综上：实数m的取值范围是.故选：D2．（湖南省三湘名校教育联盟2022届）若是R上的减函数，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．答案：B【解析】由，得，因为是R上的减函数，所以在上恒成立，即在上恒成立，由于，所以．故选：B.3．（江西省宜春市八校2022届）已知函数在区间上存在单调减区间，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．答案：A【解析】因为，所以，因为在区间上存在单调递减区间，所以存在，使得，即，令，，则恒成立，所以在上单调递增，所以，所以.故选：A4．(2023·宁夏吴忠）已知函数存在三个单调区间，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．答案：C【解析】由题意，函数，可得，因为函数存在三个单调区间，可得有两个不相等的实数根，则满足，解得或，即实数的取值范围是.故选：C.考点三单调性的应用之解不等式【例3】（湖南省多所学校2022届）已知，则的解集是（

）A． B．或C．或 D．或答案：B【解析】当时，，在恒成立，∴在单调递增，且，∴当时，，，是偶函数，∴的解集是或，故选：B.【一隅三反】1．（陕西省西安地区八校2022届）已知函数，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．答案：D【解析】的定义域为，因为，所以在上单调递减，所以不等式等价于，解得或，所以不等式的解集为.故选：D2．（湖北省2022届）已知函数，不等式的解集为（

）A． B．C． D．答案：B【解析】因为，所以，所以在上单调递减，则等价于，解得，即原不等式的解集为.故选：B.3．若函数f(x)＝lnx＋ex－sinx，则不等式f(x－1)≤f(1)的解集为．答案：(1,2]【解析】f(x)的定义域为(0，＋∞)，∴f′(x)＝eq\f(1,x)＋ex－cosx.∵x>0，∴ex>1，∴f′(x)>0，∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增，又f(x－1)≤f(1)，∴0<x－1≤1，即1<x≤2，原不等式的解集为(1,2]．4．已知函数f(x)＝xsinx＋cosx＋x2，则不等式f(lnx)＋f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ln\f(1,x)))<2f(1)的解集为．答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，e))【解析】f(x)＝xsinx＋cosx＋x2是偶函数，所以f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ln\f(1,x)))＝f(－lnx)＝f(lnx)．则原不等式可变形为f(lnx)<f(1)⇔f(|lnx|)<f(1)．又f′(x)＝xcosx＋2x＝x(2＋cosx)，由2＋cosx>0，得当x>0时，f′(x)>0.所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增．∴|lnx|<1⇔－1<lnx<1⇔eq\f(1,e)<x<e.考点四单调性应用之比较大小【例4-1】（华大新高考联盟名校2022届）已知实数a，b，，e为自然对数的底数，且，，，则（

）A． B．C． D．答案：A【解析】由，，得，，，构造函数，求导得，令，得．当时，，单调递减；当时，，单调递增．因为，所以，所以，又因为，在上单调递减，所以.故选：A．【例4-2】（湖南师范大学附中2022届）下列两数的大小关系中正确的是（

）A． B．C． D．答案：B【解析】对于A，设，则，则当时，，在上单调递减，，即，即，，则，A错误；对于B，，，，则，B正确；对于C，，，，，C错误；对于D，，D错误.故选：B.【一隅三反】1．(2023年全国新高考I卷数学试题）设，则（

）A． B． C． D．答案：C【解析】设，因为，当时，，当时，所以函数在单调递减，在上单调递增，所以，所以，故，即，所以，所以，故，所以，故，设，则,令，，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，又，所以当时，，所以当时，，函数单调递增，所以，即，所以故选：C.2．（山东省青州市2022届）设，，，则（

）A． B． C． D．答案：C【解析】设,则,当时,,函数单调递减,当时,,函数单调递增,故当时,函数取得最大值,因为,,,当时,,函数单调递减,可得,即.故选:C3．（江西省萍乡市2022届）设，，，则（

）A． B．C． D．答案：D【解析】令，，，可以判断在上单调递增，所以，，所以，又因为，，所以，即，所以，故选：D.4．（湖北省二十一所重点中学2022届）已知是自然对数的底数，设，，，，下列说法正确的是（

）A． B．C． D．答案：C【解析】根据题意，设，易知当时，递减；，即为；，即为，所以，即；，即，故A错，故D错；，即，故B错；构造函数，所以恒成立，所以在单调递增，所以，即，所以；故选：C.考点五含参函数的单调性讨论【例5-1】(2023广西节选）已知函数，讨论的单调性；答案：答案见解析【解析】的定义域为当时，在上恒成立，故在上单调递减当时，，且时，，时，即在上单调递增，在上单调递减综上，当时，在上单调递减；当时，在上单调递增，在上单调递减【例5-2】(2023安徽）已知函数，讨论f（x）的单调性；答案：答案见解析【解析】由题意得：f（x）定义域为（0，+∞），当时，，∴在（0，+∞）上恒成立，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增；当时，令，解得：∴当时，；当时，∴f（x）在（0，）上单调递增，在上单调递减；综上所述：当时，f（x）在（0，+∞）上单调递增；当时，f（x）在上单调递增，在上单调递减.【例5-3】（安徽省江淮名校2022届）已知函数，讨论的单调性；答案：答案见解析【解析】函数的定义域为．．当时，若，则；若，则在区间单调递增，在单调递减．当时在单调递增．当时，，若或，则；若，则．所以在区间单调递增，在区间单调递减．当时，，若或，则；若，则．所以在单调递增，在单调递减．综上所述，时，在单调递增，在单调递减．时，在单调递增．时，在单调递增，在单调递减．时，在，单调递增，在单调递减．【例5-4】(2023辽宁省沈阳市第二中学）已知函数，讨论的单调性；答案：答案见解析【解析】函数的定义域为，.当时