高考物理一轮复习第四章曲线运动万有引力与航天专题强化二平抛运动与圆周运动的综合问题学案新人教版

专题强化二平抛运动与圆周运动的综合问题平抛运动与圆周运动的综合问题是高考的重点，主要有两种类型：一是平抛运动与水平面内圆周运动的综合，二是平抛运动与竖直面内圆周运动的综合。在此类问题中，除了应用平抛和圆周运动相关规律，通常还要结合能量关系分析求解，解题的关键是求解平抛与圆周运动衔接点的速度。一、平抛运动与水平面内圆周运动的综合此类问题往往是物体先做水平面内的匀速圆周运动，后做平抛运动，解题思路是：(1)分析物体做匀速圆周运动的受力，根据牛顿第二定律和向心力公式列方程。(2)平抛运动一般是沿水平方向和竖直方向分解速度或位移。(3)两种运动衔接点的速度是联系前后两个过程的关键物理量。例1一光滑圆锥固定在水平地面上，其圆锥角为74°，圆锥底面的圆心为O′。用一根长为0.5m的轻绳一端系一质量为0.1kg的小球(可视为质点)，另一端固定在光滑圆锥顶上O点，O点距地面高度为0.75m，如图所示，如果使小球在光滑圆锥表面上做圆周运动。(1)当小球的角速度为4rad/s时，求轻绳中的拉力大小。(2)逐渐增加小球的角速度，若轻绳受力为eq\f(5,3)N时会被拉断，求当轻绳断裂后小球落地点与O′点间的距离。(g＝10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8)[解析](1)当小球在圆锥表面上运动时，据牛顿运动定律可得：Tsin37°－FNcos37°＝mω2Lsin37° ①Tcos37°＋FNsin37°＝mg ②小球刚要离开圆锥表面时，支持力FN为零，求得：ω0＝5rad/sT0＝1.25N当小球的角速度为4rad/s时，小球在圆锥表面上运动，根据公式①②可求得：T1＝1.088N。(2)当轻绳断裂时，绳中的拉力大于T0＝1.25N，故小球已经离开了圆锥表面，设绳子断裂前与竖直方向的夹角为θ。根据牛顿运动定律可得：T2sinθ＝meq\f(v2,Lsinθ)，T2cosθ＝mg求得：θ＝53°，v＝eq\f(4\r(3),3)m/s轻绳断裂后，小球做平抛运动，此时距离地面的高度为：h＝H－Lcos53°＝0.45m据h＝eq\f(1,2)gt2，求得：t＝0.3s如图所示：水平位移为：x＝vt＝eq\f(2\r(3),5)m抛出点与OO′间的距离为：y＝Lsin53°＝0.4m，eq\r(x2＋y2)＝0.8m0．8m>0.75m×tan37°，即小球做平抛运动没有落到圆锥表面上，所以落地点到OO′的距离为0.8m。[答案](1)1.088N(2)0.8m二、平抛运动与竖直面内圆周运动的综合此类问题有两种类型：一是先做平抛后做圆周运动；二是先做圆周后做平抛运动，解题的关键是：(1)除了应用平抛和圆周运动相关规律，通常还要结合能量关系分析求解。(2)竖直面内的圆周运动要明确是“轻绳模型”还是“轻杆模型”，注意应用物体到达圆周最高点的临界条件。(3)两种运动衔接点处的速度是联系前后两个过程的关键物理量，注意速度方向与圆周的几何关系。例2(2023·山东高考模拟)如图所示，不可伸长的轻质细线下方悬挂一可视为质点的小球，另一端固定在竖直光滑墙面上的O点。开始时，小球静止于A点，现给小球一水平向右的初速度，使其恰好能在竖直平面内绕O点做圆周运动。垂直于墙面的钉子N位于过O点竖直线的左侧，eq\o(ON,\s\up6(→))与eq\o(OA,\s\up6(→))的夹角为θ(0<θ<π)，且细线遇到钉子后，小球绕钉子在竖直平面内做圆周运动，当小球运动到钉子正下方时，细线刚好被拉断。已知小球的质量为m，细线的长度为L，细线能够承受的最大拉力为7mg，g为重力加速度大小。(1)求小球初速度的大小v0；(2)求小球绕钉子做圆周运动的半径r与θ的关系式；(3)在细线被拉断后，小球继续向前运动，试判断它能否通过A点。若能，请求出细线被拉断时θ的值；若不能，请通过计算说明理由。[解析](1)设在最高点速度为v1，在最高点，重力恰好提供向心力，所以mg＝eq\f(mv\o\al(2,1),L)根据动能定理，对球从A点到最高点，有－mg·2L＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,1)－eq\f(1,2)mveq\o\al(2,0)解得v0＝eq\r(5gL)(2)以N为圆心，设最低点为M，落到最低点速度为v，有7mg－mg＝eq\f(mv2,r)对A到M过程列动能定理－mgΔh＝eq\f(1,2)mv2－eq\f(1,2)mveq\o\al(2,0)Δh＝L－r－(L－r)cosθ解得r＝eq\f(3＋2cosθ,4＋2cosθ)L(3)假设能通过A点，则竖直方向：Δh＝eq\f(1,2)gt2水平方向：(L－r)sinθ＝vt解得cosθ＝－eq\f(35,23)，与cosθ∈[－1,1]矛盾，所以假设不成立，不能通过A点。[答案](1)eq\r(5gL)(2)eq\f(3＋2cosθ,4＋2cosθ)L(3)不能；理由见解析〔专题强化训练〕1．(2023·山西太原模拟)如图，半圆形光滑轨道固定在水平地面上，半圆的直径与地面垂直，一小物块以速度v从轨道下端滑入轨道，并从轨道上端水平飞出，小物块落地点到轨道下端的距离与轨道半径有关，此距离最大时对应的轨道半径为(重力加速度为g)(B)A．eq\f(v2,16g) B．eq\f(v2,8g)C．eq\f(v2,4g) D．eq\f(v2,2g)[解析]设轨道半径为R，小物块从轨道上端飞出时的速度为v1，由于轨道光滑，根据机械能守恒定律有mg×2R＝eq\f(1,2)mv2－eq\f(1,2)mveq\o\al(2,1)，小物块从轨道上端飞出后做平抛运动，对运动分解有：x＝v1t,2R＝eq\f(1,2)gt2，求得x＝eq\r(－16R－\f(v2,8g)2＋\f(v4,4g2))，因此当R－eq\f(v2,8g)＝0，即R＝eq\f(v2,8g)时，x取得最大值，B项正确，A、C、D项错误。2．(2023·湖南长沙一中月考)如图所示，b球在水平面内做半径为R的匀速圆周运动，BC为圆周的直径，竖直平台与b球运动轨迹相切于B点且高度为R。当b球运动到切点B时，将a球从切点正上方的A点水平抛出，重力加速度大小为g，从a球水平抛出开始计时，为使b球在运动一周的时间内与a球相遇(a球与水平面接触后不反弹)，则下列说法正确的是(C)A．a球在C点与b球相遇时，a球的运动时间最短B．a球在C点与b球相遇时，a球的初始速度最小C．若a球在C点与b球相遇，则a球抛出时的速率为eq\r(2gR)D．若a球在C点与b球相遇，则b球做匀速圆周运动的周期为eq\r(\f(2R,g))[解析]本题考查平抛运动与圆周运动的结合。a球做平抛运动的时间只取决于竖直高度，高度R不变，运动时间t＝eq\r(\f(2R,g))不变，故A错误。a球做平抛运动的初速度v＝eq\f(x,t)，a、b两球运动时间相等，在C点相遇时，水平位移最大，则有xmax＝2R，则初始速度最大值vmax＝eq\f(2R,t)＝eq\r(2gR)，故B错误，C正确。在C点相遇时，b球运动半个周期，故b球做匀速圆周运动的周期Tb＝2t＝2eq\r(\f(2R,g))，故D错误。3．(2023·湖南月考)如图所示为水上乐园的设施，由弯曲滑道、竖直平面内的圆形滑道、水平滑道及水池组成，圆形滑道外侧半径R＝2m，圆形滑道的最低点的水平入口B和水平出口B′相互错开，为保证安全，在圆形滑道内运动时，要求紧贴内侧滑行。水离水平滑道高度h＝5m。现游客从滑道A点由静止滑下，游客可视为质点，不计一切阻力，重力加速度g取10m/s2，求：(1)起滑点A至少离水平滑道多高？(2)为了保证游客安全，在水池中放有长度L＝5m的安全气垫MN，其厚度不计，满足(1)的游客恰落在M端，要使游客能安全落在气垫上，安全滑下点A距水平滑道的高度取值范围为多少？[答案](1)5m(2)5m≤H≤11.25m[解析](1)游客在圆形滑道内侧恰好滑过最高点时，有mg＝meq\f(v2,R) ①从A到圆形滑道最高点，由机械能守恒定律得mgH1＝eq\f(1,2)mv2＋mg·2R ②解得H1＝eq\f(5,2)R＝5m。 ③(2)落在M点时抛出速度最小，从A到C由机械能守恒定律得mgH1＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,1) ④v1＝eq\r(2gH1)＝10m/s ⑤水平抛出