人教A版普通高中数学一轮复习第3章第2节第5课时利用导数研究函数的零点问题课件

第三章

导数及其运用第二节导数的应用第5课时利用导数研究函数的零点问题【例1】(2024·邢台模拟)已知函数f(x)＝2x3－3x2－12x＋5.(1)求f(x)的极值；解：由题意可得f(x)的定义域为R，f′(x)＝6x2－6x－12＝6(x＋1)(x－2)．由f′(x)＞0，得x＜－1或x＞2；由f′(x)＜0，得－1＜x＜2，所以f(x)在(－∞，－1)和(2，＋∞)上单调递增，在(－1，2)上单调递减．故f(x)极大值＝f(－1)＝12，f(x)极小值＝f(2)＝－15.核心考点提升“四能”讨论函数的零点个数(2)讨论函数g(x)＝f(x)－m的零点个数．解：由(1)可知f(x)在(－∞，－1)和(2，＋∞)上单调递增，在(－1，2)上单调递减，f(－1)＝12，f(2)＝－15.当x→－∞时，f(x)→－∞；当x→＋∞，f(x)→＋∞.f(x)的大体图象如图所示．令g(x)＝f(x)－m＝0，则f(x)＝m.当m＞12或m＜－15时，方程f(x)＝m有且仅有1个实根，即函数g(x)有1个零点；当m＝12或m＝－15时，方程f(x)＝m有2个实根，即函数g(x)有2个零点；当－15＜m＜12时，方程f(x)＝m有3个实根，即函数g(x)有3个零点．综上所述，当m＞12或m＜－15时，g(x)有1个零点；当m＝12或m＝－15时，g(x)有2个零点；当－15＜m＜12时，g(x)有3个零点．反思感悟利用导数研究方程根(函数零点)的一般方法(1)可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等来确定方程根的情况．(2)根据题目要求，画出函数图象的走势，标明函数极(最)值的位置．(3)数形结合去分析问题，可以使问题的求解过程有一个清晰、直观的整体展现．

【例2】已知函数f(x)＝ex－a(x＋2)．(1)当a＝1时，讨论f(x)的单调性；解：当a＝1时，f(x)＝ex－(x＋2)，f′(x)＝ex－1.令f′(x)＜0，解得x＜0；令f′(x)＞0，解得x＞0.所以f(x)的单调递减区间为(－∞，0)，单调递增区间为(0，＋∞)．由函数的零点个数求参数的范围

②当a＜0时，令f′(x)＝ex＋a＝0，则x＝ln(－a)．当x∈(－∞，ln(－a))时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；当x∈(ln(－a)，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增．所以，当x＝ln(－a)时，f(x)取得极小值，也是最小值．函数f(x)不存在零点，等价于f(ln(－a))＝eln(－a)＋aln(－a)－a＝－2a＋aln(－a)＞0，解得－e2＜a＜0.综上所述，实数a的取值范围是(－e2，0)．反思感悟与函数零点有关的参数范围问题解题策略(1)函数在定义域上单调，满足函数零点存在定理．(2)若函数不是严格的单调函数，则求最小值或最大值时可以结合函数图象分析．(3)分离参数后，数形结合，讨论参数所在直线与函数图象交点的个数．

当x变化时，g′(x)，g(x)的变化情况如下表：x(0，e2)e2(e2，16]g′(x)＋0－g(x)单调递增单调递减

利用函数的图象刻画实际问题又g′(e-2)＝－2(e-2－1)＞0，g′(1)＝－4＜0，所以∃x0∈(e-2，1)，使得g′(x0)＝0，则当x∈(0，x0)时，g′(x)＞0；当x∈(x0，＋∞)时，g′(x)＜0.所以g(x)在(0，x0)上单调递增，在(x0，＋∞)上单调递减，所以g(x)在x0处取得极大值，也是最大值，g(x)max＝g(x0)＞g(1)＝0.又当x∈(0，1)时，1－x2＞0，－2xlnx＞0，所以当x∈(0，1)时，g(x)＞0，即f′(x)＞0；当x∈(1，＋∞)时，g(x)＜0，即f′(x)＜0.所以f(x)的单调递增区间为(0，1)，单调递减区间为(1，＋∞)．

反思感悟对称化构造函数证明极值点偏移问题的关键构造函数H(x)