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文档简介
第三章
导数及其运用第二节导数的应用第5课时利用导数研究函数的零点问题【例1】(2024·邢台模拟)已知函数f(x)=2x3-3x2-12x+5.(1)求f(x)的极值;解:由题意可得f(x)的定义域为R,f′(x)=6x2-6x-12=6(x+1)(x-2).由f′(x)>0,得x<-1或x>2;由f′(x)<0,得-1<x<2,所以f(x)在(-∞,-1)和(2,+∞)上单调递增,在(-1,2)上单调递减.故f(x)极大值=f(-1)=12,f(x)极小值=f(2)=-15.核心考点提升“四能”讨论函数的零点个数(2)讨论函数g(x)=f(x)-m的零点个数.解:由(1)可知f(x)在(-∞,-1)和(2,+∞)上单调递增,在(-1,2)上单调递减,f(-1)=12,f(2)=-15.当x→-∞时,f(x)→-∞;当x→+∞,f(x)→+∞.f(x)的大体图象如图所示.令g(x)=f(x)-m=0,则f(x)=m.当m>12或m<-15时,方程f(x)=m有且仅有1个实根,即函数g(x)有1个零点;当m=12或m=-15时,方程f(x)=m有2个实根,即函数g(x)有2个零点;当-15<m<12时,方程f(x)=m有3个实根,即函数g(x)有3个零点.综上所述,当m>12或m<-15时,g(x)有1个零点;当m=12或m=-15时,g(x)有2个零点;当-15<m<12时,g(x)有3个零点.反思感悟利用导数研究方程根(函数零点)的一般方法(1)可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等来确定方程根的情况.(2)根据题目要求,画出函数图象的走势,标明函数极(最)值的位置.(3)数形结合去分析问题,可以使问题的求解过程有一个清晰、直观的整体展现.
【例2】已知函数f(x)=ex-a(x+2).(1)当a=1时,讨论f(x)的单调性;解:当a=1时,f(x)=ex-(x+2),f′(x)=ex-1.令f′(x)<0,解得x<0;令f′(x)>0,解得x>0.所以f(x)的单调递减区间为(-∞,0),单调递增区间为(0,+∞).由函数的零点个数求参数的范围
②当a<0时,令f′(x)=ex+a=0,则x=ln(-a).当x∈(-∞,ln(-a))时,f′(x)<0,f(x)单调递减;当x∈(ln(-a),+∞)时,f′(x)>0,f(x)单调递增.所以,当x=ln(-a)时,f(x)取得极小值,也是最小值.函数f(x)不存在零点,等价于f(ln(-a))=eln(-a)+aln(-a)-a=-2a+aln(-a)>0,解得-e2<a<0.综上所述,实数a的取值范围是(-e2,0).反思感悟与函数零点有关的参数范围问题解题策略(1)函数在定义域上单调,满足函数零点存在定理.(2)若函数不是严格的单调函数,则求最小值或最大值时可以结合函数图象分析.(3)分离参数后,数形结合,讨论参数所在直线与函数图象交点的个数.
当x变化时,g′(x),g(x)的变化情况如下表:x(0,e2)e2(e2,16]g′(x)+0-g(x)单调递增单调递减
利用函数的图象刻画实际问题又g′(e-2)=-2(e-2-1)>0,g′(1)=-4<0,所以∃x0∈(e-2,1),使得g′(x0)=0,则当x∈(0,x0)时,g′(x)>0;当x∈(x0,+∞)时,g′(x)<0.所以g(x)在(0,x0)上单调递增,在(x0,+∞)上单调递减,所以g(x)在x0处取得极大值,也是最大值,g(x)max=g(x0)>g(1)=0.又当x∈(0,1)时,1-x2>0,-2xlnx>0,所以当x∈(0,1)时,g(x)>0,即f′(x)>0;当x∈(1,+∞)时,g(x)<0,即f′(x)<0.所以f(x)的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,+∞).
反思感悟对称化构造函数证明极值点偏移问题的关键构造函数H(x)
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