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文档简介
第一章
预备知识第三节不等式的性质与基本不等式·考试要求·1.会比较两个数(式)的大小.2.理解不等式的性质,掌握不等式性质的简单应用.3.掌握基本不等式,并能用基本不等式解决简单的最值问题.知识点一两个实数比较大小的方法1.已知P=a2+3a+3,Q=a+1,则P与Q的大小关系为(
)A.P<Q
B.P=QC.P>Q
D.不能确定C
解析:因为P-Q=a2+3a+3-(a+1)=a2+2a+2=(a+1)2+1≥1>0,所以P>Q.必备知识落实“四基”√
(x2+1)2>x4+x2+1两个实数比较大小的方法关系方法作差法作商法a>ba-b>0a=ba-b=0a<ba-b<0
√
√不等式的性质性质性质内容注意对称性a>b⇔_____;a<b⇔______可逆传递性a>b,b>c⇒______;a<b,b<c⇒______同向可加性a>b⇔a+c>b+c可逆可乘性a>b,c>0⇒________;a>b,c<0⇒________c的符号同向可加性a>b,c>d⇒____________同向同向同正可乘性a>b>0,c>d>0⇒________同向同正可乘方性a>b>0,n∈N*⇒an>bn同正可开方性同正b<ab<aa>ca<cac>bcac>bca+c>b+dac>bd
××√
a>0,b>0a=b
x=y
x=y
√√√
√不等式的性质考向1利用不等式的性质比较大小1.(多选题)已知实数a,b,c满足c<b<a且ac<0,则下列不等式一定成立的是(
)A.ab>ac
B.c(b-a)>0C.ac(a-c)<0 D.cb2<ab2核心考点提升“四能”√√√ABC
解析:因为c<b<a且ac<0,所以c<0,a>0,所以ab>ac,故A一定成立;又b-a<0,所以c(b-a)>0,故B一定成立;又a-c>0,ac<0,所以ac(a-c)<0,故C一定成立;当b=0时,cb2=ab2,当b≠0时,有cb2<ab2,故D不一定成立.故选ABC.
√√√
√
反思感悟判断不等式成立常用的三种方法(1)直接利用不等式的性质逐个验证,利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件.(2)利用特殊值法排除错误答案.(3)利用函数的单调性,当直接利用不等式的性质不能比较大小时,可以利用指数、对数、幂函数等函数的单调性进行判断.考向2利用不等式的性质求取值范围4.若-2<a<b<3,-2<c<0,则c(a-b)的取值范围是__________.(0,10)
解析:由-2<a<b<3,得b-a>0,且-2<a<3,-2<b<3,所以-3<-a<2.由不等式的性质可得-5<b-a<5,所以0<b-a<5.因为-2<c<0,所以0<-c<2,所以0<-c(b-a)<10,即0<c(a-b)<10,所以c(a-b)的取值范围是(0,10).
反思感悟求含有字母的数(或式)的取值范围时应注意的两点(1)要注意题设中的条件.(2)要正确使用不等式的性质,尤其是两个同方向的不等式可加不可减,可乘不可除.
√
√
反思感悟配凑法求最值的依据、技巧(1)依据:基本不等式.(2)技巧:通过添项、拆项、变系数、凑因子等方法凑成和为定值或积为定值的形式,即符合“一正、二定、三相等”的条件,然后利用基本不等式求最值.
反思感悟常数代换法求最值的步骤(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数).(2)把确定的定值(常数)变形为1.(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除,进而构造和或积的形式.(4)利用基本不等式求最值.
反思感悟消元法求最值的技巧(1)消元法,即根据条件建立两个量之间的函数关系,然后代入代数式转化为函数的最值求解.(2)如果出现多元的问题,解决方法是消元后利用基本不等式求解,但一定要注意各个元的范围.
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利用基本不等式解决实际问题【例4】当下,电动汽车越来越普及,可以通过固定的充电桩进行充电.某商场计划在地下停车库安装公共充电桩,以满足顾客的需求.据市场分析,公共充电桩的历年总利润y(单位:万元)与运营年数x(x是正整数)成二次函数关系,运营3年时总利润为20万元,运营6年时总利润最大,为110万元.(1)求出y关于x的函数关系式;解:因为投入运营六年时总利润最大,为110万元,即二次函数开口向下,且顶点坐标为(6,110),可设二次函数关系式为y=a(x-6)2+110(a<0).又运营三年时总利润为20万元,即20=a(3-6)2+110,解得a=-10,则y=-10(x-6)2+110,即y=-10x2+120x-250(x∈N*).
反思感悟利用基本不等式解决实际应用问题的思路(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数.(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后,利用基本不等式求得函数的最值.(3)在求函数的最值时,一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解.
两个不等式的几何解释及应用鉴于不等式在实际生活中的广泛应用,以及在中学数学中的重要地位和在高考数学中的重要作用,高考数学对不等式知识有着重考查的趋势.对“基本不等式”的重点考查显得尤为突出,这是因为基本不等式是不等式中的重要不等式,应用它不仅可以证明不等式,同时它也是求部分函数的最值的一个有力工具.
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[试题呈现](多选题)(2022·新高考全国Ⅱ卷)若实数x,y满足x2+y2-xy=1,则(
)A.x+y≤1 B.x+y≥-2C.x2+y2≤2 D.x2+y2≥1一题N解拓展思维√√[四字程序]读实数x,y满足x2+y2
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