6-5动态电路的叠加定理

§6-5线性动态电路的叠加定理全响应---动态电路中，由外加输入（即非零输入）和动态元件的初始储能（即非零初始状态）共同作用下所引起的响应，称为全响应。全响应＝零状态响应＋零输入响应1.一阶RL电路的全响应在图（a）电路中，设

t=0时，开关

S瞬间由

a合向

bUs+－SiL(t)bLa+－I0R1R图(a)uL(t)在t≥0时的响应是由外加输入Us和电感的初始电流iL(0)共同作用下所引起的，为一阶RL电路的全响应。换路后，电路如图（b）所示。iL(0+)=iL(0-)=I0Us+－iL(t)L+－RuL(t)图(b)t≥0（换路后）依据KVL，电路的微分方程为t≥0其方程的解为t≥0则t≥0依据微分方程理论，可得（是关于微分方程的齐次方程的解）（是满足微分方程的特解）代入初始条件

iL(0+)=iL(0)=iL(0-)=I0

，求解常数K得则，响应（全响应）

iL(t)的表达式为t≥0可改写为由外加输入Us单独作用（即iL(0)=0

，零状态）所引起的零状态响应由初始电流iL(0+)单独作用（即Us=0，零输入）所引起的零输入响应记零状态响应为t≥0t≥0记零输入响应为0t图(c)iL(t)=零状态响应iL1(t)+零输入响应iL2(t)US/RiL1（零状态响应）i2（零输入响应）iL(0)（全响应）[例题]电路如图（a）所示，开关S合在1时电路已达稳态，在

t=0时，开关瞬间由1合向2，求t≥0时的电压uL。8V+－SiL20.1H-+2i12AuL2Ω4Ω4Ωi1+－图（a）1解：运用全响应

=零输入响应

+零状态响应求解（1）首先需求出

t≥0时电感的初始电流

iL(0+)t<0时电路处于稳态，电感的端电压为零，电感如同短路，电路如图（b）所示8V+iL(0－)2Ω+－图(b)t=0-uL(0－)=0－（2）求t≥0时电路的时间常数τ+－iL0.1H-+2i12AuL4Ω4Ωi1图（c）t≥0当

t≥0时，开关已闭合，电路如图

(c)所示。运用戴维南定理可将图

(c)电路等效为图(d)电路。可求得+－iL0.1HuLRo图（d）t≥0+－uoc等效iL(0+)=4At≥0（3）求t≥0时的零输入响应（4）求t≥0时的零状态响应t≥0（5）运用叠加定理，写出t≥0时的全响应

iL(t)t≥0t≥0由电感的VCR求得2、一阶RC电路的全响应在一阶

RC电路中，由外加输入和电容的初始电压同时作用所引起的响应，称为一阶

RC电路的全响应。在图示电路中，设

uc(0)=U0

，t=0时开关S瞬间由a合向b。IsCuc(t)+－RabSuc(0)=U0t≥0由初始状态

uc(0)单独作用，引起的零输入响应由外加输入Is单独作用，引起的零状态响应即

全响应=零输入响应+零状态响应t≥0时，电压响应uc(t)是由外加输入IS和电容上初始电压uc(0)的同时作用所产生的，为一阶RC电路的全响应。类似于一阶

RL全响应电路中电感电流iL(t)的分析，全响应uc(t)的表达式可写为[例题]图（a）所示电路中，设开关转换前电路已处于稳态，在t=0时开关转换到b点，t=40s时开关又转换到a点，试求t≥0时电压uC(t)的全响应。ba5MΩ20MΩ+－+－20V70V+－uC2μF图（a）分析：在本题中，由于

t=0和

t=40s时，电路分别发生了两次换路，因此，需分为

0≤t≤40s和

t≥40s两个时间段进行分析记C=2μF=

2×10-6FR2=5×106Ω，R1=20×106Ω，返回（1）分析0≤t≤40s时的响应t=0时，开关由

a转换到

b点，电路如图（b）所示初始电压

uC(0+)单独作用的零输入响应为70V电压源单独作用的零状态响应为则，0≤t≤40s时电压

uC(t)的全响应为0≤t≤40s20MΩ+－70V+－uC2μ图(b)0≤t≤40s

uC(0+)＝20V0t/s全响应uC(t)=零输入响应uC1(t)+零状态响应uC2(t)u/V定性画出

0≤t≤40s时的响应曲线如下70（稳态）4020uC1(t)（零输入响应）（零状态响应）uC2(t)uC(t)（全响应）零输入响应零状态响应全响应0≤t≤40s0≤t≤40s0≤t≤40s则，t≥40s时电容电压uC(t)的全响应为20V电压源单独作用引起的零状态响应为初始电压uC(40s)单独作用引起的零输入响应为t≥40s5MΩ+－20V+－uC2μ图(c)

t≥40s（2）求t≥40s期间的全响应t≥40s0t/s全响应uC(t)=零输入响应uC1(t)+零状态响应uC2(t)u/V定性画出t≥40s时的响应曲线如下70（稳态）2051.6140uC1(t)uC2(t)uC(t)[例题]

在图（a）所示电路中，已知uC(0-)=4V，电源电压uS(t)=2+e–2tV，t=0时电源电压作用于电路，试求t≥0时电容电压uC(t)的响应。1Ω+－uS+－uC1F图(a)

uC(0-)=4V解：uC(t)为全响应。依据叠加定理，全响应uC(t)=零输入响应+零状态响应；又零状态响应=2V电压源单独作用引起的零状态响应+

时变电压e–2t单独作用引起的零状态响应+1Ω+－1F图(c)2V电压源的单独作用uC2(0+)=0+－2V图(d)

电压源e–2t的单独作用1Ω+－1FuC3(0+)=0+－e–2t+图(b)初始4V电压的单独作用1Ω+－1FuC1(0+)=4V（1）求电容初始电压单独作用的零输入响应1Ω+－1F图(b)初始4V电压的单独作用uC1(0-)=4V（2）求2V电压源单独作用的零状态响应图(c)2V电压源的单独作用1Ω+－1F+－2VuC2(0-)=0稳态值注意到

e–2t

是时变量，此情况下必须求解电路微分方程，解出时变电压

e–2t单独作用引起的零状态响应！电路方程

即t≥0方程的解

其中（为齐次方程的解）设特解将

uC3p(t)

代入微分方程，得求得常数1Ω+－1F+－u