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文档简介
授课建议1、理解总体、个体、简单随机样本和统计量的概念,掌握样本均值、样本方差及样本矩的计算;了解分布、t分布和F分布的定义及性质,的概念并会查表计算;了解正态总体的某些常用统计了解分布分位数量的分布。2、理解点估计的概念;掌握矩估计法和极大似然估计法;了解估计量的评选标准(无偏性、有效性、一致性)。3、理解区间估计的概念,会求单个正态总体的均值和方差的置信区间。4、了解单个及两个正态总体的均值和方差的假设检验。建议授课时数:约12学时8.1.1总体、样本、统计量1.总体与样本在数理统计中,常把所研究对象的全体称为总体,用随机变量X表示.总体中的每一元素称为个体,用
表示.从总体中抽取n个相互独立,且与总体X同分布的个体
称为总体X的一个样本.样本所含个体的数目n称为样本容量,n个观测值
称为样本值.样本的例8.1.1
为了检查仓库里钢管的质量情况,里任取100根钢管进行质量检测,从仓库以此作为对仓库里钢管的质量的估计.那么,仓库里全部钢管的质量是一个总体,每一根钢管的质量是一个个体,从总体中抽取出来的100根钢管的质量构成样本,样本数量是100,100根钢管的质量具体数值x1,x2,…,x100就是样本值.样本具有以下两个性质:
(1)独立性:在样本
中,各个随机变量的取值互不影响;
(2)代表性:在样本
中的每一个体都与总体X有相同的概率分布.注:有放回地随机抽取,得到的是样本.在实际工作中,如果样本容量相对于总体容量而言是很小的,既使是无放回地抽取,也可以近似地认为所得到的是一个样本.2.统计量为了对总体分布中的未知参数进行估计、推断,就需要针对不同的问题利用样本构造出某些函数作为推断的基础,这种由样本构造出来的函数称为统计量.设
~X,
是一个连续函数,如果
中不含任何未知参数,则称
为一个统计量.当
取定一组观测值
时,
就是统计量的一个观测值.设
是总体X的一个样本,常用的统计量有:(1)样本均值(2)样本方差(3)样本标准差例8.1.2
从某总体中抽取一个容量为5的样本,其样本值为12.6,12.0,12.2,12.8,12.5,求样本均值和样本方差.解样本均值为样本方差为8.1.2抽样分布统计量的分布称为抽样分布.在探讨抽样分布之前,先介绍分布的分位点或临界值.设随机变量X服从某一分布,对给定的满足条件的点称为该分布的上分位点或上侧临界值.件的点
称为该分布的双侧
分位点或双侧临界值.
满足条1.样本均值的分布设
是取自正态总体X~N
的一个样本,则与相互独立.例8.1.3
设X~N
,取p{X>1.28}=0.10,所以X0.10=1.28.又由于p{∣X∣>1.645}=0.10,所以=1.645.由于2.
分布
设
是取自标准正态总体X~N(0,1)的一个样本,称统计量服从自由度为n的
分布,记作
~.的概率密度为其中是函数在处的函数值,“自由度”是指独立的随机变量的最大个数.其图形如图8.1.3所示.对于给定的正数称满足条件的点为分布的上分位点或上侧临界值.分布性质:(1)设~~独立,则且两随机变量相互(2)图8.1.3
图8.1.4
设
是取自正态总体X~N
的一个样本,样本均值为样本方差为.则(1)与
相互独立;(2)例8.1.4
设样本容量n=8,则于是自由度为8–1=7,若3.t分布设X与Y是两个相互独立的随机变量,且X~N(0,1),Y~称统计量服从自由度为n的t分布,记作t~t(n).t
分布的概率密度为对于给定的正数称满足的点为t分布上的分位点或上侧临界值,如右上图所示
.称满足的点为t分布上的分位点或双侧临界值.t分布性质:(2)当n>45时,(1)~,其中是N(0,1)的上分位点.设
是取自正态总体X~N
的一个样本,则统计量
~t(n–1)其中和S分别是样本均值和样本标准差.设X与Y是相互独立的两个随机变量,取自正态总体X~N
的一个样本,正态总体X~N
取自的一个样本,则统计量~其中分别是两总体的样本均值,分别是两总体的样本方差,分别是两总体的样本容量.特别地,当n1=n2=n时,有4.F分布设随机变量~~且U与V相互独立,称统计量服从第一自由度为n1,第二自由度为n2的F分布,记作F~F(n1,n2).F分布的概率密度为对于给定的正数称满足的点为F分布的上分位点或上侧临界值.其几何意义如右上图所示。
例8.1.5
设F~F(10,20),F0.10(10,20)=1.94.又若求F0.90(20,10),由F分布性,查附表可得质得
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