8.1-统计量及其分布

授课建议1、理解总体、个体、简单随机样本和统计量的概念，掌握样本均值、样本方差及样本矩的计算；了解分布、t分布和F分布的定义及性质，的概念并会查表计算；了解正态总体的某些常用统计了解分布分位数量的分布。2、理解点估计的概念；掌握矩估计法和极大似然估计法；了解估计量的评选标准（无偏性、有效性、一致性）。3、理解区间估计的概念，会求单个正态总体的均值和方差的置信区间。4、了解单个及两个正态总体的均值和方差的假设检验。建议授课时数：约12学时8.1.1总体、样本、统计量1.总体与样本在数理统计中，常把所研究对象的全体称为总体，用随机变量X表示.总体中的每一元素称为个体，用

表示.从总体中抽取n个相互独立，且与总体X同分布的个体

称为总体X的一个样本.样本所含个体的数目n称为样本容量，n个观测值

称为样本值.样本的例8.1.1

为了检查仓库里钢管的质量情况，里任取100根钢管进行质量检测，从仓库以此作为对仓库里钢管的质量的估计.那么，仓库里全部钢管的质量是一个总体，每一根钢管的质量是一个个体，从总体中抽取出来的100根钢管的质量构成样本，样本数量是100，100根钢管的质量具体数值x1,x2,…,x100就是样本值.样本具有以下两个性质:

(1)独立性：在样本

中，各个随机变量的取值互不影响；

(2)代表性：在样本

中的每一个体都与总体X有相同的概率分布.注：有放回地随机抽取，得到的是样本.在实际工作中，如果样本容量相对于总体容量而言是很小的，既使是无放回地抽取，也可以近似地认为所得到的是一个样本.2.统计量为了对总体分布中的未知参数进行估计、推断，就需要针对不同的问题利用样本构造出某些函数作为推断的基础，这种由样本构造出来的函数称为统计量.设

～X,

是一个连续函数，如果

中不含任何未知参数，则称

为一个统计量.当

取定一组观测值

时，

就是统计量的一个观测值.设

是总体X的一个样本，常用的统计量有：（1）样本均值（2）样本方差（3）样本标准差例8.1.2

从某总体中抽取一个容量为5的样本，其样本值为12.6，12.0，12.2，12.8，12.5，求样本均值和样本方差.解样本均值为样本方差为8.1.2抽样分布统计量的分布称为抽样分布.在探讨抽样分布之前，先介绍分布的分位点或临界值.设随机变量X服从某一分布，对给定的满足条件的点称为该分布的上分位点或上侧临界值.件的点

称为该分布的双侧

分位点或双侧临界值.

满足条1.样本均值的分布设

是取自正态总体X~N

的一个样本，则与相互独立.例8.1.3

设X~N

，取p{X>1.28}=0.10，所以X0.10=1.28.又由于p{∣X∣>1.645}=0.10，所以=1.645.由于2.

分布

设

是取自标准正态总体X~N(0,1)的一个样本，称统计量服从自由度为n的

分布，记作

~.的概率密度为其中是函数在处的函数值，“自由度”是指独立的随机变量的最大个数.其图形如图8.1.3所示.对于给定的正数称满足条件的点为分布的上分位点或上侧临界值.分布性质:（1）设~~独立，则且两随机变量相互（2）图8.1.3

图8.1.4

设

是取自正态总体X~N

的一个样本,样本均值为样本方差为.则（1）与

相互独立；（2）例8.1.4

设样本容量n=8，则于是自由度为8–1=7，若3.t分布设X与Y是两个相互独立的随机变量，且X~N(0,1)，Y~称统计量服从自由度为n的t分布，记作t~t(n).t

分布的概率密度为对于给定的正数称满足的点为t分布上的分位点或上侧临界值，如右上图所示

.称满足的点为t分布上的分位点或双侧临界值.t分布性质:（2）当n＞45时，（1）~，其中是N(0,1)的上分位点.设

是取自正态总体X~N

的一个样本，则统计量

~t(n–1)其中和S分别是样本均值和样本标准差.设X与Y是相互独立的两个随机变量，取自正态总体X~N

的一个样本，正态总体X~N

取自的一个样本，则统计量~其中分别是两总体的样本均值，分别是两总体的样本方差，分别是两总体的样本容量.特别地，当n1=n2=n时，有4.F分布设随机变量~~且U与V相互独立，称统计量服从第一自由度为n1，第二自由度为n2的F分布，记作F~F(n1,n2).F分布的概率密度为对于给定的正数称满足的点为F分布的上分位点或上侧临界值.其几何意义如右上图所示。

例8.1.5

设F~F(10,20)，F0.10(10，20)=1.94.又若求F0.90(20，10)，由F分布性，查附表可得质得