高考数学文一轮复习学案第十章算法复数推理与证明

第十章算法、复数、推理与证明第一节算法、复数本节主要包括2个知识点：1.算法流程图与基本算法语句；2.复数.突破点(一)算法流程图与基本算法语句基础联通抓主干知识的“源”与“流”1．算法一类问题的机械的、统一的求解方法．具有确定性、有限性等特点．2．流程图流程图是由一些图框和流程线组成的，其中图框表示各种操作的类型，图框内的文字和符号表示操作的内容，流程线表示操作的先后次序．图框种类有起止框、输入输出框、处理框、判断框，分别用圆角矩形、平行四边形、矩形、菱形表示．3．三种基本逻辑结构顺序结构选择结构循环结构定义依次进行多个处理的结构先根据条件作出判断，再决定执行哪一种操作的结构需要重复执行同一操作的结构，有两种结构形式：当型循环(图①)和直到型循环(图②)结构形式4.基本算法语句伪代码：介于自然语言和计算机语言之间的文字和符号．(1)赋值语句：用符号←表示，如“x←y”表示将y的值赋给x，其中x是一个变量，y是一个与x同类型的变量或表达式．(2)输入、输出语句输入语句：“Reada，b”表示输入的数据依次送给a，b；输出语句：“Printx”表示输出运算结果x.(支持多个输入和输出，但是中间要用逗号隔开)(3)条件语句(4)循环语句对应当型循环对应直到型循环考点贯通抓高考命题的“形”与“神”顺序结构和选择结构选择结构的算法流程图只有顺序结构和选择结构，虽然结构比较简单，但由于选择支路较多，容易出现错误．解决此类问题，可按下列步骤进行：第一步：弄清变量的初始值；第二步：按照流程图从上到下或从左到右的顺序，依次对每一个语句、每一个判断框进行读取，在读取判断框时，应注意判断后的结论分别对应着什么样的结果，然后按照对应的结果继续往下读取；第三步：输出结果．[例1](1)定义运算a⊗b为执行如图所示的算法流程图输出的S值，则eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2cos\f(5π,3)))⊗eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2tan\f(5π,4)))的值为________．(2)(2017·江苏高考)如图是一个算法流程图．若输入x的值为eq\f(1,16)，则输出y的值是________．[解析](1)由算法流程图可知，S＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(aa－b，a≥b，,ba＋1，a＜b，))因为2coseq\f(5π,3)＝1,2taneq\f(5π,4)＝2,1＜2，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2cos\f(5π,3)))⊗eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2tan\f(5π,4)))＝2×(1＋1)＝4.(2)由流程图可知其功能是运算分段函数y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x，x≥1，,2＋log2x，0＜x＜1，))所以当输入的x的值为eq\f(1,16)时，y＝2＋log2eq\f(1,16)＝2－4＝－2.[答案](1)4(2)－2[方法技巧]顺序结构和选择结构的运算方法(1)顺序结构是最简单的算法结构，语句与语句之间、框与框之间是按从上到下的顺序进行的．解决此类问题，只需分清运算步骤，赋值量及其范围进行逐步运算即可．(2)选择结构中条件的判断关键是明确选择结构的功能，然后根据“Y”的分支成立的条件进行判断．(3)对选择结构，无论判断框中的条件是否成立，都只能执行两个分支中的一个，不能同时执行两个分支．循环结构考法(一)由流程图求输出结果[例2](1)如图所示，算法流程图的输出结果是________．(2)(2018·苏州高三暑假测试)运行如图所示的流程图，则输出的结果S是________．[解析](1)第一次循环：n＝2＜8，S＝eq\f(1,2)，n＝4；第二次循环：n＝4＜8，S＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)，n＝6；第三次循环：n＝6＜8，S＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)＋eq\f(1,6)，n＝8;第四次循环：n＝8＜8不成立，输出S＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)＋eq\f(1,6)＝eq\f(11,12).(2)S＝2，i＝1，进入循环，S＝eq\f(1,2)，i＝2，进入循环，S＝－1，i＝3，进入循环，S＝2，i＝4，进入循环，…，S＝eq\f(1,2)，i＝35，输出S.[答案](1)eq\f(11,12)(2)eq\f(1,2)[方法技巧]循环结构流程图求输出结果的注意事项解决此类问题最常用的方法是列举法，即依次执行循环体中的每一步，直到循环终止，但在执行循环体的过程中：第一，要明确是当型循环结构还是直到型循环结构，根据各自特点执行循环体；第二，要明确流程图中的累加变量，明确每一次执行循环体前和执行循环体后，变量的值发生的变化；第三，要明确循环终止的条件是什么，什么时候要终止执行循环体．考法(二)完善流程图[例3](2018·苏州模拟)按如下算法流程图，若输出结果为273，则判断框内循环变量i应补充的条件为________．[解析]由算法流程图可知：第一次循环，S＝0＋31＝3，i＝3；第二次循环，S＝3＋33＝30，i＝5；第三次循环，S＝30＋35＝273，i＝7.故判断框内可填i≥7.[答案]i≥7(答案不唯一也可以填i＝7)[方法技巧]解决算法流程图填充问题的思路(1)要明确算法流程图的顺序结构、选择结构和循环结构．(2)要识别、执行算法流程图，理解算法流程图所解决的实际问题．(3)按照题目的要求完成解答并验证．基本算法语句[例4](1)按照如图所示的伪代码运行，则输出k的值是________．(2)执行如图所示的伪代码，输出的结果是________．(3)根据如图所示的伪代码，最后输出的S的值为________．[解析](1)第一次循环：x＝7，k＝1；第二次循环：x＝15，k＝2；第三次循环：x＝31，k＝3；终止循环，输出k的值是3.(2)根据循环结构可得，第一次：S＝1×3＝3，i＝3＋2＝5，由3≤200，则循环；第二次：S＝3×5＝15，i＝5＋2＝7，由15≤200，则循环；第三次：S＝15×7＝105，i＝7＋2＝9，由105≤200，则循环；第四次：S＝105×9＝945，i＝9＋2＝11，由945＞200，则循环结束，故此时i＝11.(3)这是一个1＋2＋3＋…＋10的求和，所以输出的S的值为55.[答案](1)3(2)11(3)55[方法技巧]解决伪代码问题的步骤及解题规律(1)解决伪代码问题有三个步骤：首先通读全部语句，把它翻译成数学问题；其次领悟该语句的功能；最后根据语句的功能运行程序，解决问题．(2)解题时应注意以下规律：①赋值语句在给出变量赋值时，先计算赋值号右边的式子，然后赋值给赋值号左边的变量；给一个变量多次赋值时，变量的取值只与最后一次赋值有关．②条件语句必须以If开始，以EndIf结束，一个If必须和一个EndIf对应，尤其对条件语句的嵌套问题，应注意每一层结构的完整性，不能漏掉EndIf.Else后面操作无内容，可以省略．③循环语句的格式要正确，要保证有结束循环的语句，切忌死循环．三种循环语句停止循环的条件不同，注意它们的区别．能力练通抓应用体验的“得”与“失”1.eq\a\vs4\al([考点一])执行如图所示的算法流程图，如果输入的x，y∈R，那么输出的S的最大值为________．解析：当满足条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥0，,y≥0，,x＋y≤1))时，由线性规划的图解法(图略)知，目标函数S＝2x＋y的最大值为2；当不满足条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥0，,y≥0，,x＋y≤1))时，S的值为1.所以输出的S的最大值为2.答案：22.eq\a\vs4\al([考点二·考法一])执行如图所示的算法流程图，输出的x值为________．解析：执行算法流程图可知，x的值依次为2,3,5,6,7,9,10,11,13，故输出的x值为13.答案：133.eq\a\vs4\al([考点二·考法一])(2017·苏锡常镇二模)据记载，在公元前3世纪，阿基米德已经得出了前n个自然数平方和的一般公式．如图是一个求前n个自然数平方和的算法流程图，若输入x的值为1，则输出S的值为________．解析：模拟执行程序，可得，输入x的值为1，S＝1，不满足条件S＞5，x＝2，S＝5；不满足条件S＞5，x＝3，S＝14；满足条件S＞5，退出循环，输出S的值为14.答案：144.eq\a\vs4\al([考点二·考法二])(2018·太原模拟)执行如图所示的算法流程图，若输出的S＝eq\f(25,24)，则判断框内填入的条件可以是________．解析：由算法流程图可知，k＝2，S＝0＋eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)，满足循环条件；k＝4，S＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)＝eq\f(3,4)，满足循环条件；k＝6，S＝eq\f(3,4)＋eq\f(1,6)＝eq\f(22,24)，满足循环条件；k＝8，S＝eq\f(22,24)＋eq\f(1,8)＝eq\f(25,24)，符合题目条件，结束循环，故可填k＜8(或k≤7)．答案：k＜8(k≤7亦可)5.eq\a\vs4\al([考点三])运行如图所示的伪代码，若输入a，b分别为3,4，则输出m＝________.解析：由已知中的伪代码，可知其功能是计算并输出分段函数m＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a，a＞b，,b，a≤b))的值．当a＝3，b＝4时，满足a≤b.故m＝b＝4.答案：4突破点(二)复数基础联通抓主干知识的“源”与“流”1．复数的定义及分类(1)复数的定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中实部是a，虚部是b.(2)复数的分类：eq\a\vs4\al(复数z＝a＋bi,a，b∈R)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(实数b＝0，,虚数b≠0\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(纯虚数a＝0，b≠0，,非纯虚数a≠0，b≠0.))))2．复数的有关概念复数相等a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)共轭复数a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c且b＝－d(a，b，c，d∈R)复数的模向量eq\o(OZ,\s\up7(→))的模叫做复数z＝a＋bi的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝r＝eq\r(a2＋b2)(r≥0，a，b∈R)3.复数的几何意义复平面的概念建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面实轴、虚轴在复平面内，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数；除原点以外，虚轴上的点都表示纯虚数复数的几何表示复数z＝a＋bieq\a\vs4\al(一一对应)复平面内的点Z(a，b)eq\a\vs4\al(一一对应)平面向量eq\o(OZ,\s\up7(→))4．复数的运算法则设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则：(1)z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；(2)z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；(3)z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；(4)eq\f(z1,z2)＝eq\f(a＋bi,c＋di)＝eq\f(a＋bic－di,c＋dic－di)＝eq\f(ac＋bd,c2＋d2)＋eq\f(bc－ad,c2＋d2)i(c＋di≠0).考点贯通抓高考命题的“形”与“神”复数的有关概念[例1](1)设i是虚数单位，若复数z＝a－eq\f(10,3－i)(a∈R)是纯虚数，则a的值为________．(2)(2018·无锡期末)已知复数z＝eq\f(2,1－i)，其中i为虚数单位，则复数z的共轭复数为________．(3)若复数z满足z(1＋i)＝2i(i为虚数单位)，则|z|＝________.[解析](1)∵z＝a－eq\f(10,3－i)＝a－eq\f(103＋i,3－i3＋i)＝(a－3)－i为纯虚数，∴a－3＝0，即a＝3.(2)因为复数z＝eq\f(2,1－i)＝eq\f(21＋i,1－i1＋i)＝1＋i，所以复数z的共轭复数eq\x\to(z)＝1－i.(3)法一：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则由z(1＋i)＝2i，得(a＋bi)·(1＋i)＝2i，所以(a－b)＋(a＋b)i＝2i，由复数相等的条件得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－b＝0，,a＋b＝2，))解得a＝b＝1，所以z＝1＋i，故|z|＝eq\r(12＋12)＝eq\r(2).法二：由z(1＋i)＝2i，得z＝eq\f(2i,1＋i)＝eq\f(2i1－i,2)＝i－i2＝1＋i，所以|z|＝eq\r(12＋12)＝eq\r(2).[答案](1)3(2)1－i(3)eq\r(2)[方法技巧]求解与复数概念相关问题的技巧复数的分类、复数的相等、复数的模及共轭复数的概念都与复数的实部、虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即a＋bi(a，b∈R)的形式，再根据题意求解．复数的几何意义[例2](1)(2018·徐州调研)复数z＝eq\f(3＋i,1＋i)＋3i在复平面内对应的点在第________象限．(2)(2017·北京高考改编)若复数(1－i)(a＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是________．[解析](1)z＝eq\f(3＋i,1＋i)＋3i＝eq\f(3＋i1－i,1＋i1－i)＋3i＝eq\f(4－2i,2)＋3i＝2－i＋3i＝2＋2i，故z在复平面内对应的点在第一象限．(2)因为z＝(1－i)(a＋i)＝a＋1＋(1－a)i，所以它在复平面内对应的点为(a＋1,1－a)，又此点在第二象限，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋1＜0，,1－a＞0，))解得a＜－1.[答案](1)一(2)(－∞，－1)复数的运算1.在进行复数的加减法运算时，可类比合并同类项，运用法则(实部与实部相加减，虚部与虚部相加减)计算即可．2．在进行复数的乘法运算时：(1)复数的乘法类似于两个多项式相乘，即把虚数单位i看作字母，然后按多项式的乘法法则进行运算，最后只要在所得的结果中把i2换成－1，并且把实部和虚部分别结合即可，但要注意把i的幂写成简单的形式；(2)实数范围内的运算法则在复数范围内仍然适用，如交换律、结合律以及乘法对加法的分配律、正整数指数幂的运算律，这些对复数仍然成立．3．在进行复数的除法运算时，关键是分母“实数化”，其一般步骤如下：(1)分子、分母同时乘分母的共轭复数；(2)对分子、分母分别进行乘法运算；(3)整理、化简成实部、虚部分开的标准形式．[例3](1)(2018·镇江模拟)已知z＝eq\f(2＋i,1－2i)(i为虚数单位)，则复数z＝________.(2)(2018·长沙模拟)已知(a＋bi)(1－2i)＝5(i为虚数单位，a，b∈R)，则a＋b的值为________．(3)若复数z满足eq\f(\o(z,\s\up6(－)),1－i)＝i，其中i为虚数单位，则z＝________.[解析](1)由题意得eq\f(2＋i,1－2i)＝eq\f(2＋i1＋2i,1－2i1＋2i)＝eq\f(2＋4i＋i＋2i2,5)＝i.(2)因为(a＋bi)(1－2i)＝a＋2b＋(b－2a)i＝5，故eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋2b＝5，,b－2a＝0，))解得a＝1，b＝2，故a＋b＝3.(3)由已知得eq\o(z,\s\up6(－))＝i(1－i)＝1＋i，则z＝1－i.[答案](1)i(2)3(3)1－i[易错提醒]在乘法运算中要注意i的幂的性质：(1)区分(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2(a，b∈R)与(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2(a，b∈R);(2)区分(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R)与(a＋b)(a－b)＝a2－b2(a，b∈R)．能力练通抓应用体验的“得”与“失”1.eq\a\vs4\al([考点三])若z＝1＋2i，则eq\f(4i,z\o(z,\s\up6(－))－1)＝________.解析：因为z＝1＋2i，则eq\o(z,\s\up6(－))＝1－2i，所以zeq\o(z,\s\up6(－))＝(1＋2i)·(1－2i)＝5，则eq\f(4i,z\o(z,\s\up6(－))－1)＝eq\f(4i,4)＝i.答案：i2.eq\a\vs4\al([考点三])(2018·武汉模拟)已知(1＋2i)eq\o(z,\s\up6(－))＝4＋3i(其中i是虚数单位，eq\o(z,\s\up6(－))是z的共轭复数)，则z的虚部为________．解析：因为eq\o(z,\s\up6(－))＝eq\f(4＋3i,1＋2i)＝eq\f(4＋3i1－2i,1＋2i1－2i)＝eq\f(10－5i,5)＝2－i，所以z＝2＋i，则其虚部为1.答案：13.eq\a\vs4\al([考点二])已知z＝(m＋3)＋(m－1)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是________．解析：由题意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋3＞0，,m－1＜0，))即－3＜m＜1.故实数m的取值范围为(－3,1)．答案：(－3,1)4.eq\a\vs4\al([考点一])若复数z＝a2－1＋(a＋1)i(a∈R)是纯虚数，则eq\f(1,z＋a)的虚部为________．解析：由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2－1＝0，,a＋1≠0，))所以a＝1，则z＝2i，所以eq\f(1,z＋a)＝eq\f(1,1＋2i)＝eq\f(1－2i,1＋2i1－2i)＝eq\f(1,5)－eq\f(2,5)i，根据虚部的概念，可得eq\f(1,z＋a)的虚部为－eq\f(2,5).答案：－eq\f(2,5)5.eq\a\vs4\al([考点二])如图，若向量eq\o(OZ,\s\up7(→))对应的复数为z，则z＋eq\f(4,z)表示的复数为________．解析：由题图可得Z(1，－1)，即z＝1－i，所以z＋eq\f(4,z)＝1－i＋eq\f(4,1－i)＝1－i＋eq\f(41＋i,1－i1＋i)＝1－i＋eq\f(4＋4i,2)＝1－i＋2＋2i＝3＋i.答案：3＋i6.eq\a\vs4\al([考点一])设复数a＋bi(a，b∈R)的模为eq\r(3)，则(a＋bi)·(a－bi)＝________.解析：∵|a＋bi|＝eq\r(a2＋b2)＝eq\r(3)，∴(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2＝3.答案：37.eq\a\vs4\al([考点三])已知复数z＝eq\f(\r(3)＋i,1－\r(3)i2)，eq\o(z,\s\up6(－))是z的共轭复数，则z·eq\x\to(z)＝________.解析：∵z＝eq\f(\r(3)＋i,1－\r(3)i2)＝eq\f(\r(3)＋i,－2－2\r(3)i)＝eq\f(\r(3)＋i,－21＋\r(3)i)＝eq\f(\r(3)＋i1－\r(3)i,－21＋\r(3)i1－\r(3)i)＝eq\f(2\r(3)－2i,－8)＝－eq\f(\r(3),4)＋eq\f(1,4)i，∴eq\x\to(z)＝－eq\f(\r(3),4)－eq\f(1,4)i，∴z·eq\x\to(z)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),4)＋\f(1,4)i))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),4)－\f(1,4)i))＝eq\f(3,16)＋eq\f(1,16)＝eq\f(1,4).答案：eq\f(1,4)8.eq\a\vs4\al([考点三])已知i是虚数单位，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),1－i)))2018＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋i,1－i)))6＝________.解析：原式＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),1－i)))2))1009＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋i,1－i)))6＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,－2i)))1009＋i6＝i1009＋i6＝i4×252＋1＋i4＋2＝i＋i2＝－1＋i.答案：－1＋i[课时达标检测]基础送分课时——精练“14小题”，求准求快不深挖1.(2018·南京市高三年级学情调研)如图所示的算法流程图，若输出y的值为eq\f(1,2)，则输入x的值为________．解析：此算法程序表示一个分段函数y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x，x≥0，,log2－x，x＜0，))由f(x)＝eq\f(1,2)得x＝－eq\r(2).答案：－eq\r(2)2．(2018·常州模拟)设复数z满足(z＋i)(2＋i)＝5(i为虚数单位)，则z＝________.解析：由(z＋i)(2＋i)＝5，得z＋i＝eq\f(5,2＋i)，即z＋i＝2－i，所以z＝2－2i.答案：2－2i3．(2018·徐州模拟)已知复数z满足z2＝－4，若z的虚部大于0，则z＝________.解析：由z2＝－4得z＝±2i，而z的虚部大于0，所以z＝2i.答案：2i4．(2018·连云港模拟)运行如图所示的伪代码，则输出的结果S为________．解析：本题的算法功能是在累加变量S初值为1的基础上连续加2四次，所以S＝9.答案：95．(2018·扬州调研)如图给出的是计算eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)＋eq\f(1,6)＋eq\f(1,8)＋…＋eq\f(1,100)的一个算法流程图，其中判断框内应填入的条件是________．解析：因为该循环体需要运行50次，i的初始值是1，间隔是1，所以i＝50时不满足判断框内的条件，而i＝51时满足判断框内条件，所以判断框内的条件可以填入i＞50(或i≥51)．答案：i＞50(i≥51亦可)6．(2018·宿迁期中)若复数z＝eq\f(1＋2i,3－i)(i为虚数单位)，则z的模为________．解析：由z＝eq\f(1＋2i,3－i)两边同时取模得|z|＝eq\f(|1＋2i|,|3－i|)＝eq\f(\r(5),\r(10))＝eq\f(\r(2),2).答案：eq\f(\r(2),2)7．(2018·盐城模拟)若复数z＝(1＋mi)(2－i)(i是虚数单位)是纯虚数，则实数m的值为________．解析：因为z＝(1＋mi)(2－i)＝2＋m＋(2m－1)i是纯虚数，所以2＋m＝0，所以m答案：－28．设(1＋i)x＝1＋yi，其中x，y是实数，则|x＋yi|＝________.解析：∵(1＋i)x＝1＋yi，∴x＋xi＝1＋yi.又∵x，y∈R，∴x＝1，y＝1.∴|x＋yi|＝|1＋i|＝eq\r(2).答案：eq\r(2)9．(2016·江苏高考)如图是一个算法的流程图，则输出的a的值是________．解析：由a＝1，b＝9，知a＜b，所以a＝1＋4＝5，b＝9－2＝7，a＜b.所以a＝5＋4＝9，b＝7－2＝5，满足a＞b.所以输出的a＝9.答案：910．(2018·南通期中)在如图所示的算法流程图中，若输出的y的值为26，则输入的x的值为________．解析：本题算法功能是求分段函数y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－2x＋2，x＜4，,5，x≥4))的函数值，因为输出值为26，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－2x＋2＝26，,x＜4，))解得x＝－4.答案：－411．(2017·镇江期中)根据如图所示的伪代码，若输出的y值为2，则输入的x值为________．解析：本题算法功能是利用条件语句求分段函数y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1，x＞0，,1－x，x≤0))的函数值．因为输出的y值为2，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1＝2，,x＞0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－x＝2，,x≤0，))所以x＝±1.答案：±112．(2018·泰州中学高三年级学情调研)根据如图的伪代码，输出的结果T为________．解析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出满足条件的T＝1＋3＋5＋7＋…＋19的值，因为T＝1＋3＋5＋7＋…＋19＝eq\f(1＋19×10,2)＝100，故输出的T值为100.答案：10013．(2018·淮安期中)根据如图所示的伪代码，则输出的S的值为________．解析：本题算法功能是求积，S＝1×2×5×8×11＝880.答案：88014．(2018·苏州模拟)执行如图所示的算法流程图，输出的x值为________．解析：a＝2，x＝4，此时y＝16，判断不满足条件，循环；x＝5，所以y＝32，判断不满足条件，再循环；x＝6，所以y＝64，再判断满足条件，结束循环，所以此时x＝6.答案：6第二节合情推理与演绎推理本节主要包括2个知识点：1.合情推理；2.演绎推理.突破点(一)合情推理基础联通抓主干知识的“源”与“流”类型定义特点归纳推理从个别事实中推演出一般性的结论的推理由部分到整体、由个别到一般类比推理由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推演出另一类对象也具有这些特征的推理由特殊到特殊考点贯通抓高考命题的“形”与“神”归纳推理运用归纳推理时的一般步骤(1)通过观察特例发现某些相似性(特例的共性或一般规律)；(2)把这种相似性推广到一个明确表述的一般命题(猜想)；(3)对所得出的一般性命题进行检验．类型(一)与数字有关的推理[例1]给出以下数对序列：(1,1)(1,2)(2,1)(1,3)(2,2)(3,1)(1,4)(2,3)(3,2)(4,1)……记第i行的第j个数对为aij，如a43＝(3,2)，则anm＝________.[解析]由前4行的特点，归纳可得：若anm＝(a，b)，则a＝m，b＝n－m＋1，∴anm＝(m，n－m＋1)．[答案](m，n－m＋1)[易错提醒]解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等．类型(二)与式子有关的推理[例2](2018·常熟中学模拟)已知coseq\f(π,3)＝eq\f(1,2)，coseq\f(π,5)coseq\f(2π,5)＝eq\f(1,4)，coseq\f(π,7)coseq\f(2π,7)coseq\f(3π,7)＝eq\f(1,8)，….(1)根据以上等式，可猜想出的一般结论是________；(2)若数列{an}中，a1＝coseq\f(π,3)，a2＝coseq\f(π,5)coseq\f(2π,5)，a3＝coseq\f(π,7)coseq\f(2π,7)coseq\f(3π,7)，…的前n项和Sn＝eq\f(1023,1024)，则n＝________.[解析](1)从题中所给的几个等式可知，第n个等式的左边应有n个余弦相乘，且分母均为2n＋1，分子分别为π，2π，…，nπ，右边应为eq\f(1,2n)，故可以猜想出结论为coseq\f(π,2n＋1)·coseq\f(2π,2n＋1)·…·coseq\f(nπ,2n＋1)＝eq\f(1,2n)(n∈N*)．(2)由(1)可知an＝eq\f(1,2n)，故Sn＝eq\f(\f(1,2)\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n)),1－\f(1,2))＝1－eq\f(1,2n)＝eq\f(2n－1,2n)＝eq\f(1023,1024)，解得n＝10.[答案](1)coseq\f(π,2n＋1)coseq\f(2π,2n＋1)·…·coseq\f(nπ,2n＋1)＝eq\f(1,2n)(n∈N*)(2)10[方法技巧]与式子有关的推理类型及解法(1)与等式有关的推理．观察每个等式的特点，找出等式左右两侧的规律及符号后可解．(2)与不等式有关的推理．观察每个不等式的特点，注意是纵向看，找到规律后可解．类型(三)与图形有关的推理[例3]某种树的分枝生长规律如图所示，第1年到第5年的分枝数分别为1,1,2,3,5，则预计第10年树的分枝数为________．[解析]因为2＝1＋1,3＝2＋1,5＝3＋2，即从第三项起每一项都等于前两项的和，所以第10年树的分枝数为21＋34＝55.[答案]55[方法技巧]与图形有关的推理的解法与图形变化相关的归纳推理，解决的关键是抓住相邻图形之间的关系，合理利用特殊图形，找到其中的变化规律，得出结论，可用赋值检验法验证其真伪性．类比推理1．类比推理的应用一般分为类比定义、类比性质和类比方法，常用技巧如下：类比定义在求解由某种熟悉的定义产生的类比推理型试题时，可以借助原定义来求解类比性质从一个特殊式子的性质、一个特殊图形的性质入手，提出类比推理型问题，求解时要认真分析两者之间的联系与区别，深入思考两者的转化过程是求解的关键类比方法有一些处理问题的方法具有类比性，我们可以把这种方法类比应用到其他问题的求解中，注意知识的迁移2．平面中常见的元素与空间中元素的类比：平面点线圆三角形角面积周长…空间线面球三棱锥二面角体积表面积…[例4]如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝a，CD＝b(a＞b)．若EF∥AB，EF到CD与AB的距离之比为m∶n，则可推算出：EF＝eq\f(ma＋nb,m＋n).用类比的方法，推想出下面问题的结果．在上面的梯形ABCD中，分别延长梯形的两腰AD和BC交于O点，设△OAB，△ODC的面积分别为S1，S2，则△OEF的面积S0与S1，S2的关系是________．[解析]在平面几何中类比几何性质时，一般是由平面几何中点的性质类比推理线的性质；由平面几何中线段的性质类比推理面积的性质．故由EF＝eq\f(ma＋nb,m＋n)类比到关于△OEF的面积S0与S1，S2的关系是eq\r(S0)＝eq\f(m\r(S1)＋n\r(S2),m＋n).[答案]eq\r(S0)＝eq\f(m\r(S1)＋n\r(S2),m＋n)[方法技巧]类比推理的步骤和方法(1)类比推理是由特殊到特殊的推理，其一般步骤为：①找出两类事物之间的相似性或一致性；②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)．(2)类比推理的关键是找到合适的类比对象．平面几何中的一些定理、公式、结论等，可以类比到立体几何中，得到类似的结论．能力练通抓应用体验的“得”与“失”1.eq\a\vs4\al([考点二])由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：①“mn＝nm”类比得到“a·b＝b·a”；②“(m＋n)t＝mt＋nt”类比得到“(a＋b)·c＝a·c＋b·c”；③“(m·n)t＝m(n·t)”类比得到“(a·b)·c＝a·(b·c)”；④“t≠0，mt＝xt⇒m＝x”类比得到“p≠0，a·p＝x·p⇒a＝x”；⑤“|m·n|＝|m|·|n|”类比得到“|a·b|＝|a|·|b|”；⑥“eq\f(ac,bc)＝eq\f(a,b)”类比得到“eq\f(a·c,b·c)＝eq\f(a,b)”．以上的式子中，类比得到的结论中正确的序号是________．答案：①②2.eq\a\vs4\al([考点二])在平面几何中有如下结论：正三角形ABC的内切圆面积为S1，外接圆面积为S2，则eq\f(S1,S2)＝eq\f(1,4)，推广到空间可以得到类似结论：已知正四面体P­ABC的内切球体积为V1，外接球体积为V2，则eq\f(V1,V2)＝________.解析：正四面体的内切球与外接球的半径之比为1∶3，故eq\f(V1,V2)＝eq\f(1,27).答案：eq\f(1,27)3．[考点一·类型(一)](2018·海门中学月考)有一个奇数组成的数阵排列如下：1371321…591523……111725………1927…………29……………则第30行从左到右第3个数是________．解析：先求第30行的第1个数，再求第30行的第3个数．观察每一行的第一个数，由归纳推理可得第30行的第1个数是1＋4＋6＋8＋10＋…＋60＝eq\f(30×2＋60,2)－1＝929.又第n行从左到右的第2个数比第1个数大2n，第3个数比第2个数大2n＋2，所以第30行从左到右的第2个数比第1个数大60，第3个数比第2个数大62，故第30行从左到右第3个数是929＋60＋62＝1051.答案：10514．[考点一·类型(二)]设n为正整数，f(n)＝1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,n)，计算得f(2)＝eq\f(3,2)，f(4)＞2，f(8)＞eq\f(5,2)，f(16)＞3，观察上述结果，可推测一般的结论为________．解析：∵f(21)＝eq\f(3,2)，f(22)＞2＝eq\f(4,2)，f(23)＞eq\f(5,2)，f(24)＞eq\f(6,2)，∴归纳得f(2n)≥eq\f(n＋2,2)(n∈N*)．答案：f(2n)≥eq\f(n＋2,2)(n∈N*)5．[考点一·类型(三)]蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图．其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以f(n)表示第n个图的蜂巢总数．则f(4)＝________，f(n)＝________.解析：因为f(1)＝1，f(2)＝7＝1＋6，f(3)＝19＝1＋6＋12，所以f(4)＝1＋6＋12＋18＝37，所以f(n)＝1＋6＋12＋18＋…＋6(n－1)＝3n2－3n＋1.答案：373n2－3n＋1突破点(二)演绎推理基础联通抓主干知识的“源”与“流”(1)定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．(2)模式：“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：①大前提——已知的一般性的原理；②小前提——所研究的特殊对象；③结论——根据一般原理，对特殊对象做出的判断．(3)特点：演绎推理是由一般到特殊的推理．考点贯通抓高考命题的“形”与“神”演绎推理[典例]数列{an}的前n项和记为Sn，已知a1＝1，an＋1＝eq\f(n＋2,n)Sn(n∈N*)．证明：(1)数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))是等比数列；(2)Sn＋1＝4an.[证明](1)∵an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝eq\f(n＋2,n)Sn，∴(n＋2)Sn＝n(Sn＋1－Sn)，即nSn＋1＝2(n＋1)Sn.故eq\f(Sn＋1,n＋1)＝2·eq\f(Sn,n)，(小前提)故eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))是以2为公比，1为首项的等比数列．(结论)(大前提是等比数列的定义)(2)由(1)可知数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))是等比数列，(大前提)所以eq\f(Sn＋1,n＋1)＝4·eq\f(Sn－1,n－1)(n≥2)，即Sn＋1＝4(n＋1)·eq\f(Sn－1,n－1)＝4·eq\f(n－1＋2,n－1)·Sn－1＝4an(n≥2)．又a2＝3S1＝3，S2＝a1＋a2＝1＋3＝4＝4a1所以对于任意正整数n，都有Sn＋1＝4an.(结论)[方法技巧]演绎推理的推证规则(1)演绎推理是从一般到特殊的推理，其一般形式是三段论，应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，如果前提是显然的，则可以省略，本例中，等比数列的定义在解题中是大前提，由于它是显然的，因此省略不写．(2)在推理论证过程中，一些稍复杂一点的证明题常常要由几个三段论才能完成．能力练通抓应用体验的“得”与“失”1．已知函数f(x)＝－eq\f(\r(a),ax＋\r(a))(a＞0，且a≠1)．(1)证明：函数y＝f(x)的图象关于点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－\f(1,2)))对称；(2)求f(－2)＋f(－1)＋f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)的值．解：(1)证明：函数f(x)的定义域为全体实数，任取一点(x，y)，它关于点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－\f(1,2)))对称的点的坐标为(1－x，－1－y)．(大前提)由已知y＝－eq\f(\r(a),ax＋\r(a))，则－1－y＝－1＋eq\f(\r(a),ax＋\r(a))＝－eq\f(ax,ax＋\r(a))，f(1－x)＝－eq\f(\r(a),a1－x＋\r(a))＝－eq\f(\r(a),\f(a,ax)＋\r(a))＝－eq\f(\r(a)·ax,a＋\r(a)·ax)＝－eq\f(ax,ax＋\r(a))，(小前提)∴－1－y＝f(1－x)，即函数y＝f(x)的图象关于点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－\f(1,2)))对称．(结论)(2)由(1)知－1－f(x)＝f(1－x)，即f(x)＋f(1－x)＝－1.∴f(－2)＋f(3)＝－1，f(－1)＋f(2)＝－1，f(0)＋f(1)＝－1.故f(－2)＋f(－1)＋f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝－3.2．已知函数y＝f(x)满足：对任意a，b∈R，a≠b，都有af(a)＋bf(b)＞af(b)＋bf(a)，试证明：f(x)为R上的单调增函数．证明：设任意x1，x2∈R，取x1＜x2，则由题意得x1f(x1)＋x2f(x2)＞x1f(x2)＋x2f所以x1[f(x1)－f(x2)]＋x2[f(x2)－f(x1)]＞0，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)＞0，因为x1＜x2，即x2－x1＞0，所以f(x2)－f(x1)＞0，即f(x2)＞f(x1)．(小前提)所以y＝f(x)为R上的单调增函数．(结论)[课时达标检测]重点保分课时——一练小题夯双基，二练题点过高考[练基础小题——强化运算能力]1．(1)已知a是三角形一边的长，h是该边上的高，则三角形的面积是eq\f(1,2)ah，如果把扇形的弧长l，半径r分别看成三角形的底边长和高，可得到扇形的面积为eq\f(1,2)lr；(2)由1＝12,1＋3＝22,1＋3＋5＝32，可得到1＋3＋5＋…＋2n－1＝n2，则(1)(2)两个推理过程分别属于________推理．解析：(1)由三角形的性质得到扇形的性质有相似之处，此种推理为类比推理；(2)由特殊到一般，此种推理为归纳推理．答案：类比，归纳2．“因为指数函数y＝ax是增函数(大前提)，而y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x是指数函数(小前提)，所以y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x是增函数(结论)”，上面推理的错误在于________错而导致结论错．解析：y＝ax是增函数这个大前提是错误的，从而导致结论错误．答案：大前提3．(2018·如东高级中学模拟)观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cosx)′＝－sinx，由归纳推理得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)＝________.解析：由已知得函数的导函数为奇函数，故g(－x)＝－g(x)．答案：－g(x)4．下面图形由小正方形组成，请观察图①至图④的规律，并依此规律，写出第n个图形中小正方形的个数是________．解析：由题图知第1个图形的小正方形个数为1，第2个图形的小正方形个数为1＋2，第3个图形的小正方形个数为1＋2＋3，第4个图形的小正方形个数为1＋2＋3＋4，…，则第n个图形的小正方形个数为1＋2＋3＋…＋n＝eq\f(nn＋1,2).答案：eq\f(nn＋1,2)5．在平面几何中：△ABC中∠C的角平分线CE分AB所成线段的比为eq\f(AC,BC)＝eq\f(AE,BE).把这个结论类比到空间：在三棱锥A­BCD中(如图)，DEC平分二面角A­CD­B且与AB相交于E，则得到类比的结论是_____________________．解析：由平面中线段的比转化为空间中面积的比可得eq\f(AE,EB)＝eq\f(S△ACD,S△BCD).答案：eq\f(AE,EB)＝eq\f(S△ACD,S△BCD)[练常考题点——检验高考能力]一、填空题1．已知圆：x2＋y2＝r2上任意一点(x0，y0)处的切线方程为x0x＋y0y＝r2，类比以上结论有：双曲线：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1上任意一点(x0，y0)处的切线方程为________________．解析：设圆上任一点为(x0，y0)，把圆的方程中的x2，y2替换为x0x，y0y，则得到圆的切线方程；类比这种方式，设双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1上任一点为(x0，y0)，则有切线方程为eq\f(x0x,a2)－eq\f(y0y,b2)＝1.答案：eq\f(x0x,a2)－eq\f(y0y,b2)＝12．已知“整数对”按如下规律排成一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，…，则第60个“整数对”是________．解析：依题意，把“整数对”的和相同的分为一组，不难得知第n组中每个“整数对”的和均为n＋1，且第n组共有n个“整数对”，这样的前n组一共有eq\f(nn＋1,2)个“整数对”，注意到eq\f(10×10＋1,2)＜60＜eq\f(11×11＋1,2)，因此第60个“整数对”处于第11组(每个“整数对”的和为12的组)的第5个位置，结合题意可知每个“整数对”的和为12的组中的各对数依次为：(1,11)，(2,10)，(3,9)，(4,8)，(5,7)，…，因此第60个“整数对”是(5,7)．答案：(5,7)3．(2018·常州模拟)观察下列各式：55＝3125,56＝15625，57＝78125,58＝390625，59＝1953125，……，则52019的末四位数字为________．解析：55＝3125,56＝15625,57＝78125,58＝390625，59＝1953125，……，可得59与55的后四位数字相同，由此可归纳出5m＋4k与5m(k∈N*，m＝5,6,7,8)的后四位数字相同，又2019＝4×503＋7，所以52019与5答案：81254．若数列{an}是等差数列，则数列{bn}eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(bn＝\f(a1＋a2＋…＋an,n)))也为等差数列．类比这一性质可知，若正项数列{cn}是等比数列，且{dn}也是等比数列，则dn的表达式应为________．解析：若{an}是等差数列，则a1＋a2＋…＋an＝na1＋eq\f(nn－1,2)d，∴bn＝a1＋eq\f(n－1,2)d＝eq\f(d,2)n＋a1－eq\f(d,2)，即{bn}为等差数列；若{cn}是等比数列，则c1·c2·…·cn＝ceq\o\al(n,1)·q1＋2＋…＋(n－1)＝ceq\o\al(n,1)·qeq\f(nn－1,2)，∴dn＝eq\r(n,c1·c2·…·cn)＝c1·qeq\f(n－1,2)，即{dn}为等比数列．答案：dn＝eq\r(n,c1·c2·…·cn)5．(2017·全国卷Ⅱ改编)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，下列说法正确的序号是________．①乙可以知道四人的成绩；②丁可以知道四人的成绩；③乙、丁可以知道对方的成绩；④乙、丁可以知道自己的成绩．解析：依题意，四人中有2位优秀，2位良好，由于甲知道乙、丙的成绩，但还是不知道自己的成绩，则乙、丙必有1位优秀，1位良好，甲、丁必有1位优秀，1位良好，因此，乙知道丙的成绩后，必然知道自己的成绩；丁知道甲的成绩后，必然知道自己的成绩，故④正确．答案：④6．某市为了缓解交通压力，实行机动车辆限行政策，每辆机动车每周一到周五都要限行一天，周末(周六和周日)不限行．某公司有A，B，C，D，E五辆车，保证每天至少有四辆车可以上路行驶．已知E车周四限行，B车昨天限行，从今天算起，A，C两车连续四天都能上路行驶，E车明天可以上路，由此可知下列推测一定正确的是________．(填序号)①今天是周六；②今天是周四；③A车周三限行；④C车周五限行．解析：因为每天至少有四辆车可以上路行驶，E车明天可以上路，E车周四限行，所以今天不是周三；因为B车昨天限行，所以今天不是周一，也不是周日；因为A，C两车连续四天都能上路行驶，所以今天不是周五，周二和周六，所以今天是周四．答案：②7．对于实数x，[x]表示不超过x的最大整数，观察下列等式：[eq\r(1)]＋[eq\r(2)]＋[eq\r(3)]＝3，[eq\r(4)]＋[eq\r(5)]＋[eq\r(6)]＋[eq\r(7)]＋[eq\r(8)]＝10，[eq\r(9)]＋[eq\r(10)]＋[eq\r(11)]＋[eq\r(12)]＋[eq\r(13)]＋[eq\r(14)]＋[eq\r(15)]＝21，……按照此规律第n个等式的等号右边的结果为________．解析：因为[eq\r(1)]＋[eq\r(2)]＋[eq\r(3)]＝1×3，[eq\r(4)]＋[eq\r(5)]＋[eq\r(6)]＋[eq\r(7)]＋[eq\r(8)]＝2×5，[eq\r(9)]＋[eq\r(10)]＋[eq\r(11)]＋[eq\r(12)]＋[eq\r(13)]＋[eq\r(14)]＋[eq\r(15)]＝3×7，……，以此类推，第n个等式的等号右边的结果为n(2n＋1)，即2n2＋n.答案：2n2＋n8．(2018·江苏省通州高级中学高三月考)如果函数f(x)在区间D上是凸函数，那么对于区间D内的任意x1，x2，…，xn，都有eq\f(fx1＋fx2＋…＋fxn,n)≤feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2＋…＋xn,n))).若y＝sinx在区间(0，π)上是凸函数，那么在△ABC中，sinA＋sinB＋sinC的最大值是________．解析：由题意知，凸函数满足eq\f(fx1＋fx2＋…＋fxn,n)≤feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2＋…＋xn,n)))，又y＝sinx在区间(0，π)上是凸函数，则sinA＋sinB＋sinC≤3sineq\f(A＋B＋C,3)＝3sineq\f(π,3)＝eq\f(3\r(3),2).答案：eq\f(3\r(3),2)9．观察下列事实：|x|＋|y|＝1的不同整数解(x，y)的个数为4，|x|＋|y|＝2的不同整数解(x，y)的个数为8，|x|＋|y|＝3的不同整数解(x，y)的个数为12，…，则|x|＋|y|＝20的不同整数解(x，y)的个数为________．解析：由|x|＋|y|＝1的不同整数解的个数为4，|x|＋|y|＝2的不同整数解的个数为8，|x|＋|y|＝3的不同整数解的个数为12，归纳推理得|x|＋|y|＝n的不同整数解的个数为4n，故|x|＋|y|＝20的不同整数解的个数为80.答案：8010.如图，将平面直角坐标系中的格点(横、纵坐标均为整数的点)按如下规则标上数字标签：原点处标0，点(1,0)处标1，点(1，－1)处标2，点(0，－1)处标3，点(－1，－1)处标4，点(－1,0)处标5，点(－1,1)处标6，点(0,1)处标7，依此类推，则标签为20172的格点的坐标为________．解析：因为点(1,0)处标1＝12，点(2,1)处标9＝32，点(3,2)处标25＝52，点(4,3)处标49＝72，依此类推得点(1009，1008)处标20172.答案：(1009,1008)二、解答题11．在Rt△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC于D，求证：eq\f(1,AD2)＝eq\f(1,AB2)＋eq\f(1,AC2).在四面体ABCD中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想？并说明理由．解：如图所示，由射影定理AD2＝BD·DC，AB2＝BD·BC，AC2＝BC·DC，∴eq\f(1,AD2)＝eq\f(1,BD·DC)＝eq\f(BC2,BD·BC·DC·BC)＝eq\f(BC2,AB2·AC2).又BC2＝AB2＋AC2，∴eq\f(1,AD2)＝eq\f(AB2＋AC2,AB2·AC2)＝eq\f(1,AB2)＋eq\f(1,AC2).猜想，在四面体ABCD中，AB、AC、AD两两垂直，AE⊥平面BCD，则eq\f(1,AE2)＝eq\f(1,AB2)＋eq\f(1,AC2)＋eq\f(1,AD2).证明：如图，连结BE并延长交CD于F，连结AF.∵AB⊥AC，AB⊥AD，AC∩AD＝A，∴AB⊥平面ACD.∵AF⊂平面ACD，∴AB⊥AF.在Rt△ABF中，AE⊥BF，∴eq\f(1,AE2)＝eq\f(1,AB2)＋eq\f(1,AF2).∵AB⊥平面ACD，∴AB⊥CD.∵AE⊥平面BCD，∴AE⊥CD.又AB∩AE＝A，∴CD⊥平面ABF，∴CD⊥AF.∴在Rt△ACD中eq\f(1,AF2)＝eq\f(1,AC2)＋eq\f(1,AD2)，∴eq\f(1,AE2)＝eq\f(1,AB2)＋eq\f(1,AC2)＋eq\f(1,AD2).12．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：①sin213°＋cos217°－sin13°cos17°；②sin215°＋cos215°－sin15°cos15°；③sin218°＋cos212°－sin18°cos12°；④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos48°；⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos55°.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．解：(1)选择②式，计算如下：sin215°＋cos215°－sin15°cos15°＝1－eq\f(1,2)sin30°＝1－eq\f(1,4)＝eq\f(3,4).(2)三角恒等式为sin2α＋cos2(30°－α)－sinα·cos(30°－α)＝eq\f(3,4).证明如下：sin2α＋cos2(30°－α)－sinα·cos(30°－α)＝sin2α＋(cos30°cosα＋sin30°sinα)2－sinα·(cos30°cosα＋sin30°sinα)＝sin2α＋eq\f(3,4)cos2α＋eq\f(\r(3),2)sinαcosα＋eq\f(1,4)sin2α－eq\f(\r(3),2)sinαcosα－eq\f(1,2)sin2α＝eq\f(3,4)sin2α＋eq\f(3,4)cos2α＝eq\f(3,4).第三节直接证明与间接证明本节主要包括2个知识点：1.直接证明；2.间接证明.突破点(一)直接证明基础联通抓主干知识的“源”与“流”内容综合法分析法定义利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止思维过程由因导果执果索因框图表示eq\x(P已知⇒Q1)→eq\x(Q1⇒Q2)→…→eq\x(Qn⇒Q结论)eq\x(Q结论⇐P1)→eq\x(P1⇐P2)→…→eq\x(\a\al(得到一个明显,成立的条件))书写格式因为…，所以…或由…，得…要证…，只需证…，即证…考点贯通抓高考命题的“形”与“神”综合法综合法是从已知条件出发，逐步推向结论，综合法的适用范围是：(1)定义明确的问题，如证明函数的单调性、奇偶性，求证无条件的等式或不等式；(2)已知条件明确，并且容易通过分析和应用条件逐步逼近结论的题型．[例1](2018·武汉模拟)已知函数f(x)＝(λx＋1)lnx－x＋1.(1)若λ＝0，求f(x)的最大值；(2)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与直线x＋y＋1＝0垂直，证明：eq\f(fx,x－1)＞0.[解](1)f(x)的定义域为(0，＋∞)．当λ＝0时，f(x)＝lnx－x＋1.则f′(x)＝eq\f(1,x)－1，令f′(x)＝0，解得x＝1.当0＜x＜1时，f′(x)＞0，故f(x)在(0,1)上是增函数；当x＞1时，f′(x)＜0，故f(x)在(1，＋∞)上是减函数．故f(x)在x＝1处取得最大值f(1)＝0.(2)证明：由题可得，f′(x)＝λlnx＋eq\f(λx＋1,x)－1.由题设条件，得f′(1)＝1，即λ＝1.∴f(x)＝(x＋1)lnx－x＋1.由(1)知，lnx－x＋1＜0(x＞0，且x≠1)．当0＜x＜1时，x－1＜0，f(x)＝(x＋1)lnx－x＋1＝xlnx＋(lnx－x＋1)＜0，∴eq\f(fx,x－1)＞0.当x＞1时，x－1＞0，且0＜eq\f(1,x)＜1，f(x)＝(x＋1)lnx－x＋1＝lnx＋(xlnx－x＋1)＝lnx－xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ln\f(1,x)－\f(1,x)＋1))＞0，∴eq\f(fx,x－1)＞0.综上可知，eq\f(fx,x－1)＞0.[方法技巧]综合法证题的思路分析法分析法是逆向思维，当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接，或证明过程中需要用到的知识不太明确、具体时，往往采用分析法，特别是含有根号、绝对值的等式或不等式，从正面不易推导时，常考虑用分析法．[例2]已知a＞0，证明eq\r(a2＋\f(1,a2))－eq\r(2)≥a＋eq\f(1,a)－2.[证明]要证eq\r(a2＋\f(1,a2))－eq\r(2)≥a＋eq\f(1,a)－2，只需证eq\r(a2＋\f(1,a2))≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,a)))－(2－eq\r(2))．因为a＞0，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,a)))－(2－eq\r(2))＞0，所以只需证eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al(\r(a2＋\f(1,a2)))))2≥eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,a)))－2－\r(2)))2，即2(2－eq\r(2))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,a)))≥8－4eq\r(2)，只需证a＋eq\f(1,a)≥2.因为a＞0，a＋eq\f(1,a)≥2显然成立当且仅当a＝eq\f(1,a)＝1时，等号成立，所以要证的不等式成立．[方法技巧]分析法证题的思路(1)逆向思考是用分析法证题的主要思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件．正确把握转化方向是使问题顺利获解的关键．(2)证明较复杂的问题时，可以采用两头凑的办法，即通过分析法找出某个与结论等价(或充分)的中间结论，然后通过综合法证明这个中间结论，从而使原命题得证．能力练通抓应用体验的“得”与“失”1.eq\a\vs4\al([考点一])在数列{an}中，已知a1＝eq\f(1,4)，eq\f(an＋1,an)＝eq\f(1,4)，bn＋2＝3logan(n∈N*)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)求证：数列{bn}是等差数列．解：(1)因为a1＝eq\f(1,4)，eq\f(an＋1,an)＝eq\f(1,4)，所以数列{an}是首项为eq\f(1,4)，公比为eq\f(1,4)的等比数列，所以an＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))n(n∈N*)．(2)证明：因为bn＋2＝3logan，所以bn＝3logeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))n－2＝3n－2＝1＋3(n－1)．所以b1＝1，公差d＝3，所以数列{bn}是首项b1＝1，公差d＝3的等差数列．2.eq\a\vs4\al([考点二])已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a3＝5，S8＝64.(1)求数列{an}的通项公式；(2)求证：eq\f(1,Sn－1)＋eq\f(1,Sn＋1)＞eq\f(2,Sn)(n≥2，n∈N*)．解：(1)设等差数列{an}的公差为d，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a3＝a1＋2d＝5，,S8＝8a1＋28d＝64，))解得a1＝1，d＝2.故所求的通项公式为an＝2n－1.(2)证明：由(1)可知Sn＝n2，要证原不等式成立，只需证eq\f(1,n－12)＋eq\f(1,n＋12)＞eq\f(2,n2)，只需证[(n＋1)2＋(n－1)2]n2＞2(n2－1)2.只需证(n2＋1)n2＞(n2－1)2.只需证3n2＞1.而3n2＞1在n≥1时恒成立，从而不等式eq\f(1,Sn－1)＋eq\f(1,Sn＋1)＞eq\f(2,Sn)(n≥2，n∈N*)恒成立．3.eq\a\vs4\al([考点一])已知实数a1，a2，…，a2017满足a1＋a2＋a3＋…＋a2017＝0，且|a1－2a2|＝|a2－2a3|＝…＝|a2017－2a1|，证明：a1＝a2＝a3＝…＝a2017＝0.证明：根据条件知：(a1－2a2)＋(a2－2a3)＋(a3－2a4)＋…＋(a2017－2a1)＝－(a1＋a2＋a3＋…＋另一方面，令|a1－2a2|＝|a2－2a3|＝|a3－2a4|＝…＝|a2017－2a则a1－2a2，a2－2a3，a3－2a4，…，a2017－2a1中每个数或为设其中有k个m，(2017－k)个－m，则(a1－2a2)＋(a2－2a3)＋(a3－2a4)＋…＋(a2017－2a1)＝k×m＋(2017－k)×(－m)＝(2k由①②知：(2k－2017)m＝0.③而2k－2017为奇数，不可能为0，所以m＝0.于是知：a1＝2a2，a2＝2a3，a3＝2a4，…，a2016＝2a2017，a2017＝2a1.所以a1＝22017·a从而a1＝a2＝a3＝…＝a2017＝0.命题得证．4.eq\a\vs4\al([考点二])已知m＞0，a，b∈R，求证：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋mb,1＋m)))2≤eq\f(a2＋mb2,1＋m).证明：因为m＞0，所以1＋m＞0.所以要证原不等式成立，只需证(a＋mb)2≤(1＋m)·(a2＋mb2)，即证m(a2－2ab＋b2)≥0，即证m(a－b)2≥0，即证(a－b)2≥0，而(a－b)2≥0显然成立，故原不等式得证．突破点(二)间接证明基础联通抓主干知识的“源”与“流”1．反证法假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．2．用反证法证明问题的一般步骤第一步分清命题“p⇒q”的条件和结论第二步作出命题结论q相反的假设綈q第三步由p和綈q出发，应用正确的推理方法，推出矛盾结果第四步断定产生矛盾结果的原因在于开始所作的假设綈q不真，于是结论q成立，从而间接地证明了命题p⇒q为真3．常见的结论和反设词原结论词反设词原结论词反设词至少有一个一个都没有对任意x成立存在某个x不成立至多有一个至少有两个对任意x不成立存在某个x成立至少有n个至多有(n－1)个p或q綈p且綈q至多有n个至少有(n＋1)个p且q綈p或綈q都是不都是不都是都是考点贯通抓高考命题的“形”与“神”证明否定性命题[例1]已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋Sn＝2.(1)求数列{an}的通项公式；(2)求证：数列{an}中任意三项不可能按原来顺序成等差数列．[解](1)当n＝1时，a1＋S1＝2a1＝2，则a1又an＋Sn＝2，所以an＋1＋Sn＋1＝2，两式相减得an＋1＝eq\f(1,2)an，所以{an}是首项为1，公比为eq\f(1,2)的等比数列，所以an＝eq\f(1,2n－1).(2)证明：假设存在三项按原来顺序成等差数列，记为ap＋1，aq＋1，ar＋1(p＜q＜r，且p，q，r∈N*)，则2·eq\f(1,2q)＝eq\f(1,2p)＋eq\f(1,2r)，所以2·2r－q＝2r－p＋1.(*)又因为p＜q＜r，所以r－q，r－p∈N*.所以(*)式左边是偶数，右边是奇数，等式不成立．所以假设不成立，原命题得证.证明存在性问题[例2]若f(x)的定义域为[a，b]，值域为[a，b](a＜b)，则称函数f(x)是[a，b]上的“四维光军”函数．(1)设g(x)＝eq\f(1,2)x2－x＋eq\f(3,2)是[1，b]上的“四维光军”函数，求常数b的值；(2)是否存在常数a，b(a＞－2)，使函数h(x)＝eq\f(1,x＋2)是区间[a，b]上的“四维光军”函数？若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由．[解](1)由已知得g(x)＝eq\f(1,2)(x－1)2＋1，其图象的对称轴为x＝1，区间[1，b]在对称轴的右边，所以函数在区间[1，b]上单调递增．由“四维光军”函数的定义可知，g(1)＝1，g(b)＝b，即eq\f(1,2)b2－b＋eq\f(3,2)＝b，解得b＝1或b＝3.因为b＞1，所以b＝3.(2)假设函数h(x)＝eq\f(1,x＋2)在区间[a，b](a＞－2)上是“四维光军”函数，因为h(x)＝eq\f(1,x＋2)在区间(－2，＋∞)上单调递减，所以有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ha＝b，,hb＝a，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,a＋2)＝b，,\