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文档简介
初中数学竞赛函数强化练习3
学校:__________姓名:___________班级:___________考号:___________
一、单选题
L11988
yl(a-2)(\a\-\)+J(〃-2)(1-同)+5〃+1
1.在实数范围内,设彳=1+-L1〜,则X的个位数
1八
1U」
字是().
A.1B.2C.4D.6
2.设Rt^ABC的三个顶点A,B,C均在抛物线y=x?上,并且斜边A3平行于X
轴,若斜边上的高为〃,则()
A.h<\B.h=\C.1</2<2D.h>2
3.设〃水为正整数,A=&〃+3)("-1)+4,4=,("+5)4+4,A=J(=+7)4+4,
A,=J(〃+9)A+4,…,A,=《+2Z+1)AT+4,…,已知Aoo=2005,贝Ijn的值为
().
A.1806B.2005C.3612D.4100
4.若山b,化简—a—结果为().
A.\[a—y[bB.-y[a—y[bC.y/^a+y/^bD.0
5.若x>0,y>0,且6(«+4)=34(五+5亦),则代数式2::鸾::二的值
为()
A.1B.2C.3D.4
6.设M=3」口+43;6+…Z,OM'则100M最接近哪个整数()
3—124—10ZU13—4-ZUID
A.10B.11C.12D.13
7.已知实数〃,b满足(。-3)伍-3"0,则^/^工+2-5/^邓勺最小值为()
A.0B.1C.2D.3
8.已知Jf-4+j2x+y=0,则X-N的值为().
A.2B.6C.2或一2D.6或-6
二、填空题
9.已知为抛物线y=(x-c)(x—c-d)-2与x轴交点的横坐标,a<b,则
l"c|+|c-勿的值为
10.已知a,b是正数,并且二次函数y=x2+ar+28和y=x?+2以+a的图象都与X
轴相交,则合+/的最小值是.
11.不论机取任何实数,抛物线>=/+2〃a+加2+机-1的顶点都在一条直线上,则这
条直线的解析式是.
12.一次函数y=6+匕的图象4关于直线〉=一了轴对称的图象4的函数解析式是
13.函数y=|x+l|+|x+2|+|x+3],当》=时,y有最小值,最小值等于
14.二次函数尸加+6x+c的图象如图所示,则直线'=法+。不经过第象限.
15.函数y=J?TT+J(4-x)2+4的最小值是.
16.已知二次函数y=x?+2(相+2〃+l)x+(M+4〃2+50)的图象在x轴的上方,则满足
条件的正整数对(加,〃)的个数为.
三、解答题
17.某林场安排了7天的植树工作,从第二天起每天都比前一天增加5个植树的人,
但从第二天起每人每天都比前一天少植5棵树,且同一天植树的人,植相同数量的
树.若7天共植树9947棵,则植树最多的那天共植了多少棵?植树最少的那天,有多
少人在植树?
18.函数>=/+(2"1)彳+公的图象与x轴的两个交点是否都在直线》=1的右侧,若
是,请说明理由;若不一定,请求出两个交点在直线x=l的右侧时,左的取值范围.
19.设4>0,“力为任意实数,满足条件:(1)3必=4+1,(2)
d1=a2-6ab+9h2.求d的最小值及相应的。力值.
20.某学生为了描点作出函数),=以2+灰+。(“H0)的图象,取了自变量7个值:
%<工2<…〈5且工2-%=三一》2f..=七一%,分别计算了>的值列出下表:
X为巧几4
y51107185285407549717
但由于粗心算错了其中一个y值,请指出算错的是哪一个值?正确值是多少?并说明理
由.
21.已知一次函数y=2x,二次函数必=/+1,是否存在二次函数为=⑪2+法+。,
其图象经过点(-5,2),且对任意实数,这三个函数对应的函数值如必,力,都有
%4%4y2成立?若存在,求出函数力的解析式;若不存在,请说明理由.
22.对于5=1,2,3,,有I占1<1且有|%1+|々1+…+1%|=
2009+1内+&+…+4|.求正整数n的最小值.
参考答案:
I.D
【解析】
【分析】
【详解】
解:要使》有意义,必须且只需
5-2)(同-1)20,
3-2)(1-同)20,(a-2)刎-1)=0,
1-"0,N<Q/1,=>a
1+—!-^0a#2
i-a
0,5x(—1)+"
所以(口下E)=(-2)I988=(-2)4X497=16497
1H--
2
故x的个位数字为6,
故选:D.
2.B
【解析】
【分析】
【详解】
解设A的坐标为(a,/),点C的坐标为(c,c2)(|c|<|a|),则B点的坐标为(-。,").由勾
股定理可得AC?=(a-c)2+(/y2)2,
BC2=(c+a)2+(a2-c2
则AC2+BC2=AB2=(2a)2=4/,
于是2(a,+c2)+2R2-c2)~=4“2,
即,2卷)2=/i2.
由于/>/,所以a?-c2=l,即斜边上的高人=(A的纵坐标)一(C的纵坐标)
-a2-c2=1.
注:(1)如图仅画出了0<c<a的情形,在其他情形下,计算是完全相同的.
(2)设A(X,,M),8(孙必),利用勾股定理可得计算A与B的距离的公式为
答案第1页,共10页
AB?=(”办)2+也-/.
3.A
【解析】
【分析】
【详解】
A=7[(«+l)+2][(n+l)-2]+4=7(M+D2-22+4=Js+lf=n+[,
A,=J[(〃+3)+2][(〃+3)-2]+4=7(«+3)2-22+4=&n+3)2=”+3,
A=jK〃+5)+2][(〃+5)-2]+4=7(»+5)2-22+4=J("+5>=n+5,
同理A,=〃+7,A=〃+9,…,A0G="+2x100-1="+199=2005n“=2005-199=1806.
故选:A
4.C
【解析】
【分析】
【详解】
依题意。40旌0,所以力2箍-a-b=«G+口)2=&+口.
故选:C.
5.B
【解析】
【分析】
【详解】
己知等式可化为x—2后—15>=0,即(«+36)(4-5j7)=°,所以x=25y,于是
2x+y/xy+3y_50y+小25),+3y_58y_?
x+4xy-y25y+J25y2_y29y-
答案第2页,共10页
6.B
【解析】
【分析】
【详解】
_、、]_]_]_j_r__i_________1____
因为,k3-4k~jt-(Ar2-4)-(k-2)-k-(k+2)~4'[(A:-2)-/:-k-(k+2)_
…1「111111
以M=--------1----------------------F•••H-----------------------------------------------------
4[_1-33-52-44-62013-20152015-2017_
1「1111一
=——+...----------------------
411.32-42014-20162015-2017_
111「11一
=----------------------------1------------
964[2014-20162015-2017_
因为,^100=11.46
96
所以,100M最接近整数11.
7.B
【解析】
【分析】
【详解】
因为b—4之0,3>0,所以“23,yja—2>1,所以令。=3,£»=8)得到最小值为1.
8.D
【解析】
【分析】
【详解】
解:因为Jx2-4>0,^2x+y>0,且Jx?-4+J2x+y=0,所以因?-4=0,/2x+y=0,
g|Jx=±2,y=-2x,于是x-y=x-(-2x)=3x=6或-6.
故选:D.
9.b-a
【解析】
【分析】
【详解】
答案第3页,共10页
依题意,该抛物线开口向上,又当x=”或。时,y=0.当x=c时,y=-2<0,所以
a<c<h,^,\a-c\+\c-b[^c-a+b-c=b-a.
故答案为:b-a.
10.20
【解析】
【分析】
【详解】
解因两条抛物线都与x轴相交,故其判别式7=/-助及5=(2切2一碗都不小于零,即
a'—8b20,28i>,
2a+8b
4b2-4a>0b2>a
因a力都是正数,所以
a4>(8/?)2>64a=>a3>64=>tz>4,及及WaN4=bN2,
所以/+6242+22=20,即/+片的最小值为20.故应填20.
注:本题中求最值的方法叫做放缩法,即根据题目条件,将各变量的值适当放缩为一个常
数,从而求出其最值.
11.y=-x-l
【解析】
【分析】
【详解】
、[x=-m,
二次函数化为y=(x+m)2+机-1,得顶点坐标为,消去加得y=-x-l.
[y=zn-l,
故答案为:y=-x-\.
12.y=—x+—
aa
【解析】
【分析】
【详解】
因为点(x,y)与(-弘_幻关于直线>=一%对称,故(的解析式为(-x)=a(-y)+8,即
答案第4页,共10页
故答案为:y=-x+—.
aa
13.-22
【解析】
【分析】
【详解】
解当xW-3时,
y=-(x+l)-(x+2)-(x+3)=-3(x+2);
当-3<x4-2时,
y=—(x+1)—(x+2)+(x+3)———x;
当—2<xW—1时,
y=-(x+l)+(x+2)+(x+3)=x+4;
当x>-l时,
y=(x+l)+(x+2)+(x+3)=3(x+2).
故y=|x+l|+|x+2|+|x+3|在(-8,-2]上递减,在[-2,内)上递增,当x=-2时,y取最小
值2.故应填-2,2(如图).
注:①一般说来,对于含绝对值的一次函数,应分区间将绝对值符号去掉变成折线函数,
再根据函数的增减性(一次项系数为正时递增,为负时递减)就不难得出所求函数的最大
(或最小)值.如果作出其图象,那么其结果是一目了然的.
②本题的一种简单解法是利用差的绝对值的几何意义来求解:因为lx-“l表示数轴上坐标
为x的点尸到坐标为。的点A的距离,故y=U+”+|x+2|+|x+3|表示数轴上坐标为x的
点尸到坐标分别为-L-2,-3的点43,C的距离之和.显然当P与8重合时,即x=-2时,
这个距离之和为最小,其最小值为线段AC的长度I(T)-(-3)|=2.
又如,若要求y=|x-9|+|x-8|+|x-3|+|x+l|+|x+5|+|x+6|的最小值,则它等价于求
数轴上坐标为x的点P,分别到坐标为9,8,3,-1,-5,-6的各点A,B,C,E,尸的距离之和的
最小值.
答案第5页,共10页
显然当P在线段co上,即当-1VXV3时,这个距离之和取最小值,并且最小值
=AF+BE+CD=|9-(-6)|+|8-(-5)|+|3-(-l)|=32.
CBA
AA1,一
-3-2-10
FEDCBA
-6-5-4-3-2-10123456789x
14.二
【解析】
【分析】
【详解】
从二次函数图象可得“<0,-=>0,c<0,即6>0,c<0,故直线y="+c不经过第二象
限.
故答案为:二.
15.5
【解析】
【分析】
【详解】
解如图所示,AB=4,AC±AB,DB±AB,AC=],HD:=2.设。4=%,则
2
OB=4-x,OC=\Jx+\>OD=J(4-X)2+4.故问题等价于在线段48上求一点O,使
y=OC+OD最小(显然当),取最小值时,。应在A与B之间).
设E为C关于A8的对称点,则y=OC+OD=OE+OD,故当且仅当。、0、E三点共线时
y=OE+。。取最小值,最小值等于DE=J4)+(2+=5.故应填5.
注:①当),取最小值时,0£=|DE=|,这时x=Jm-F=g,即当x=g时,),取最小
值5.
②本题将一个代数最值问题转化为一个几何上求折线长最短的问题,并用§3例6中用过的
答案第6页,共10页
作对称点的方法,使问题得到了巧妙的解决.
16.16
【解析】
【分析】
【详解】
因为二次函数的图象在x轴的上方,所以AMpOx+ZA+DfTW+W+soko,整理得
4,加7+2机+4〃<49,BP(w+l)(2n+l)<y.因为“,,为正整数,所以
(机+1)(2〃+1)<25.
25
又〃7+122,所以2〃+1<一,故〃工5.
2
757?
当〃=1时,,"+”不,故加工可,符合条件的正整数对(〃2,〃)有8个;
当〃=2时,相+1K5,故mW4,符合条件的正整数对(根,同有4个;
251Q
当〃=3时,m+\<y,故〃”亍,符合条件的正整数对(",”)有2个;
2517
当〃=4时,w+l<y,^m<—,符合条件的正整数对(加,〃)有1个;
当”=5时,m+\<^,故〃/第,符合条件的正整数对(小,〃)有1个.
综合可知:符合条件的正整数对(,〃,〃)有8+4+2+1+1=16个.
17.植树最少的那天有54人或24人植树.
【解析】
【分析】
【详解】
设第4天有机人植树,每人植树〃棵,则第4天共植树机〃棵;第3天有m-5人植树,每
人植〃+5棵,则第3天共植树(〃?-5)(〃+5)棵.
同理,第2天共植树(加-10)5+10)棵;第1天共植树(利-15)(〃+15)棵;第5天共植树
(加+5)(〃-5)棵;第6天共植树(祖+10)(〃-10)棵;第7天共植树(加+15)(〃-15)棵.
由七天共植树9947棵得(,"-15)(〃+15)+(利一1O)(〃+1O)+(HZ-5)(«+5)+mn+(m+5)(/?-5)
+(,〃+10)(〃-10)+(〃?+15)(〃-15)=9947.化简得7〃加一700=9947,/m=1521.
因1521=3?X132.又每天都有人植树,所以m>15,”>15,故w="=39.
因为第4天植树棵数为39x39=1521,其他各天植树棵数为(39-〃)(39+4)=1521-标
答案第7页,共10页
(。=5,10或15),所以第4天植树最多,这一天共植树1521棵.
当。=15时,392-储的植树棵数最少.
又当4=15时,植树人数为39+15=54或39-15=24,所以植树最少的那天有54人或24
人植树.
18.不一定,k<-2
【解析】
【分析】
【详解】
解不一定,例如,当女=0时,函数化为y=它的图象与x轴的交点为(0,0)和
(1,0),不都在直线x=l的右侧.
2
设函数图象与x轴交点的横坐标为演和々,则%+W=-(2k-Y),xxx2=k.
A>0,
当且仅当满足条件・(%-1)+(迎-1)>0,时,抛物线与x轴的交点都在直线x=l的右侧.
(x,-l)(x2-l)>0
—=—
而(西—1)+(%21)(2^—1)—2=-2^—1,
22
((X,-l)(x2-1)=%,%2-(x,+^2)+1=^+(2A:-1)+1=k+2k,
(21)2-4公>0,
,17C
故上述条件可写为-2%-1>0,=<k<——,ok<-2,
2
k-+2k>Q双_2减%)
所以当出<-2时,抛物线与x轴的交点都在直线x=l的右侧.
19.当4=匕=土与时,d取最小值正.
【解析】
【分析】
【详解】
由(2)知土"=。一3",即4=初土d,代入(1)式有助2=(3b土d>+l,
整理得的±6"6+屋+]=0,①
因6是实数,所以A=(±6")2-4x6x(42+1)20,解得420或14一夜(舍去).
答案第8页,共10页
当d=时,代入①得6/?2±6>/^/?+3=0,BP(V2Z?±I)2=0,所以Z?=干―
A/22
再由d=。-3b得。=干——.
2
所以当a=b=±乎时,d取最小值正.
20.549是被算错)'的值,应该是551,理由见解析
【解析】
【分析】
【详解】
解设*2-%=七一占=…=七一々=",升对应的函数值为%(,=1,2,…,7),
则
△,=加一%=(电1+如M+C)-(or:+如+c)
=a[(x,+dy_*;]+8[(毛+</)-%]
2
=2adxt+(ad-\-bd),
故4+i-A,-=[2〃办注]+(〃/+bd-卜。々.+(。屋+bd)]
2
=lad(x.+1-x,)=2ad(常数).
而由给出的数据可得下表:
51107185285407549717
△,5678100122142168
△i+「42222222026
可见勾=142被算错,故”=549是被算错y的值,应该是549+(22-20)=551.
141
21.存在%=§/+§工+§,
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