初中数学竞赛函数强化练习3

初中数学竞赛函数强化练习3

学校:__________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

L11988

yl(a-2)(\a\-\)+J(〃-2)(1-同)+5〃+1

1.在实数范围内，设彳=1+-L1〜,则X的个位数

1八

1U」

字是（）.

A.1B.2C.4D.6

2.设Rt^ABC的三个顶点A,B,C均在抛物线y=x?上，并且斜边A3平行于X

轴，若斜边上的高为〃，则（）

A.h<\B.h=\C.1</2<2D.h>2

3.设〃水为正整数，A=&〃+3)("-1)+4,4=,("+5)4+4,A=J(=+7)4+4,

A,=J(〃+9)A+4,…,A,=《+2Z+1)AT+4,…，已知Aoo=2005,贝Ijn的值为

().

A.1806B.2005C.3612D.4100

4.若山b,化简—a—结果为().

A.\[a—y[bB.-y[a—y[bC.y/^a+y/^bD.0

5.若x>0,y>0,且6(«+4)=34(五+5亦)，则代数式2：：鸾:：二的值

为()

A.1B.2C.3D.4

6.设M=3」口+43;6+…Z,OM'则100M最接近哪个整数()

3—124—10ZU13—4-ZUID

A.10B.11C.12D.13

7.已知实数〃，b满足(。-3)伍-3"0,则^/^工+2-5/^邓勺最小值为()

A.0B.1C.2D.3

8.已知Jf-4+j2x+y=0，则X-N的值为().

A.2B.6C.2或一2D.6或-6

二、填空题

9.已知为抛物线y=(x-c)(x—c-d)-2与x轴交点的横坐标，a<b,则

l"c|+|c-勿的值为

10.已知a,b是正数，并且二次函数y=x2+ar+28和y=x?+2以+a的图象都与X

轴相交，则合+/的最小值是.

11.不论机取任何实数，抛物线＞=/+2〃a+加2+机-1的顶点都在一条直线上，则这

条直线的解析式是.

12.一次函数y=6+匕的图象4关于直线〉=一了轴对称的图象4的函数解析式是

13.函数y=|x+l|+|x+2|+|x+3],当》=时，y有最小值，最小值等于

14.二次函数尸加+6x+c的图象如图所示，则直线'=法+。不经过第象限.

15.函数y=J?TT+J(4-x)2+4的最小值是.

16.已知二次函数y=x?+2(相+2〃+l)x+(M+4〃2+50)的图象在x轴的上方，则满足

条件的正整数对(加,〃)的个数为.

三、解答题

17.某林场安排了7天的植树工作，从第二天起每天都比前一天增加5个植树的人，

但从第二天起每人每天都比前一天少植5棵树，且同一天植树的人，植相同数量的

树.若7天共植树9947棵，则植树最多的那天共植了多少棵？植树最少的那天，有多

少人在植树？

18.函数＞=/+(2"1)彳+公的图象与x轴的两个交点是否都在直线》=1的右侧，若

是，请说明理由；若不一定，请求出两个交点在直线x=l的右侧时，左的取值范围.

19.设4＞0,“力为任意实数，满足条件：(1)3必=4+1,(2)

d1=a2-6ab+9h2.求d的最小值及相应的。力值.

20.某学生为了描点作出函数)，=以2+灰+。(“H0)的图象，取了自变量7个值：

%＜工2＜…〈5且工2-%=三一》2f..=七一%,分别计算了＞的值列出下表:

X为巧几4

y51107185285407549717

但由于粗心算错了其中一个y值，请指出算错的是哪一个值?正确值是多少?并说明理

由.

21.已知一次函数y=2x,二次函数必=/+1,是否存在二次函数为=⑪2+法+。，

其图象经过点(-5,2),且对任意实数，这三个函数对应的函数值如必，力，都有

%4%4y2成立？若存在，求出函数力的解析式；若不存在，请说明理由.

22.对于5=1,2,3,,有I占1<1且有|%1+|々1+…+1%|=

2009+1内+&+…+4|.求正整数n的最小值.

参考答案:

I.D

【解析】

【分析】

【详解】

解：要使》有意义，必须且只需

5-2)(同-1)20,

3-2)(1-同)20,(a-2)刎-1)=0,

1-"0,N<Q/1,=>a

1+—!-^0a#2

i-a

0,5x(—1)+"

所以(口下E)=(-2)I988=(-2)4X497=16497

1H--

2

故x的个位数字为6,

故选：D.

2.B

【解析】

【分析】

【详解】

解设A的坐标为（a,/）,点C的坐标为（c,c2）（|c|<|a|）,则B点的坐标为（-。,"）.由勾

股定理可得AC?=(a-c)2+(/y2)2,

BC2=(c+a)2+(a2-c2

则AC2+BC2=AB2=(2a)2=4/,

于是2（a，+c2）+2R2-c2）~=4“2,

即,2卷）2=/i2.

由于/>/,所以a?-c2=l，即斜边上的高人=（A的纵坐标）一（C的纵坐标）

-a2-c2=1.

注：（1）如图仅画出了0<c<a的情形，在其他情形下，计算是完全相同的.

（2）设A（X,，M）,8（孙必），利用勾股定理可得计算A与B的距离的公式为

答案第1页，共10页

AB?=(”办)2+也-/.

3.A

【解析】

【分析】

【详解】

A=7[(«+l)+2][(n+l)-2]+4=7(M+D2-22+4=Js+lf=n+[,

A,=J[(〃+3)+2][(〃+3)-2]+4=7(«+3)2-22+4=&n+3)2=”+3,

A=jK〃+5)+2][(〃+5)-2]+4=7(»+5)2-22+4=J("+5>=n+5,

同理A,=〃+7，A=〃+9,…，A0G="+2x100-1="+199=2005n“=2005-199=1806.

故选：A

4.C

【解析】

【分析】

【详解】

依题意。40旌0,所以力2箍-a-b=«G+口）2=&+口.

故选：C.

5.B

【解析】

【分析】

【详解】

己知等式可化为x—2后—15>=0,即(«+36)(4-5j7)=°，所以x=25y,于是

2x+y/xy+3y_50y+小25)，+3y_58y_?

x+4xy-y25y+J25y2_y29y-

答案第2页，共10页

6.B

【解析】

【分析】

【详解】

_、、]_]_]_j_r__i_________1____

因为，k3-4k~jt-(Ar2-4)-(k-2)-k-(k+2)~4'[(A:-2)-/:-k-(k+2)_

…1「111111

以M=--------1----------------------F•••H-----------------------------------------------------

4[_1-33-52-44-62013-20152015-2017_

1「1111一

=——+...----------------------

411.32-42014-20162015-2017_

111「11一

=----------------------------1------------

964[2014-20162015-2017_

因为，^100=11.46

96

所以，100M最接近整数11.

7.B

【解析】

【分析】

【详解】

因为b—4之0,3>0,所以“23,yja—2>1,所以令。=3,£»=8)得到最小值为1.

8.D

【解析】

【分析】

【详解】

解：因为Jx2-4>0,^2x+y>0,且Jx?-4+J2x+y=0,所以因?-4=0,/2x+y=0,

g|Jx=±2,y=-2x,于是x-y=x-(-2x)=3x=6或-6.

故选：D.

9.b-a

【解析】

【分析】

【详解】

答案第3页，共10页

依题意，该抛物线开口向上，又当x=”或。时，y=0.当x=c时，y=-2<0,所以

a<c<h,^,\a-c\+\c-b[^c-a+b-c=b-a.

故答案为：b-a.

10.20

【解析】

【分析】

【详解】

解因两条抛物线都与x轴相交，故其判别式7=/-助及5=(2切2一碗都不小于零，即

a'—8b20,28i>,

2a+8b

4b2-4a>0b2>a

因a力都是正数，所以

a4>(8/?)2>64a=>a3>64=>tz>4,及及WaN4=bN2,

所以/+6242+22=20,即/+片的最小值为20.故应填20.

注：本题中求最值的方法叫做放缩法，即根据题目条件，将各变量的值适当放缩为一个常

数，从而求出其最值.

11.y=-x-l

【解析】

【分析】

【详解】

、[x=-m,

二次函数化为y=(x+m)2+机-1,得顶点坐标为，消去加得y=-x-l.

[y=zn-l,

故答案为：y=-x-\.

12.y=—x+—

aa

【解析】

【分析】

【详解】

因为点(x,y)与(-弘_幻关于直线>=一%对称，故(的解析式为(-x)=a(-y)+8,即

答案第4页，共10页

故答案为：y=-x+—.

aa

13.-22

【解析】

【分析】

【详解】

解当xW-3时，

y=-(x+l)-(x+2)-(x+3)=-3(x+2)；

当-3<x4-2时，

y=—(x+1)—(x+2)+(x+3)———x；

当—2<xW—1时，

y=-(x+l)+(x+2)+(x+3)=x+4；

当x>-l时，

y=(x+l)+(x+2)+(x+3)=3(x+2).

故y=|x+l|+|x+2|+|x+3|在(-8,-2］上递减，在［-2,内)上递增，当x=-2时，y取最小

值2.故应填-2,2(如图).

注：①一般说来，对于含绝对值的一次函数，应分区间将绝对值符号去掉变成折线函数，

再根据函数的增减性(一次项系数为正时递增，为负时递减)就不难得出所求函数的最大

(或最小)值.如果作出其图象，那么其结果是一目了然的.

②本题的一种简单解法是利用差的绝对值的几何意义来求解：因为lx-“l表示数轴上坐标

为x的点尸到坐标为。的点A的距离，故y=U+”+|x+2|+|x+3|表示数轴上坐标为x的

点尸到坐标分别为-L-2,-3的点43,C的距离之和.显然当P与8重合时，即x=-2时，

这个距离之和为最小，其最小值为线段AC的长度I(T)-(-3)|=2.

又如，若要求y=|x-9|+|x-8|+|x-3|+|x+l|+|x+5|+|x+6|的最小值，则它等价于求

数轴上坐标为x的点P,分别到坐标为9,8,3,-1,-5,-6的各点A,B,C,E,尸的距离之和的

最小值.

答案第5页，共10页

显然当P在线段co上，即当-1VXV3时，这个距离之和取最小值，并且最小值

=AF+BE+CD=|9-(-6)|+|8-(-5)|+|3-(-l)|=32.

CBA

AA1，一

-3-2-10

FEDCBA

-6-5-4-3-2-10123456789x

14.二

【解析】

【分析】

【详解】

从二次函数图象可得“<0,-=>0,c<0,即6>0,c<0,故直线y="+c不经过第二象

限.

故答案为：二.

15.5

【解析】

【分析】

【详解】

解如图所示，AB=4,AC±AB,DB±AB,AC=],HD：=2.设。4=%,则

2

OB=4-x,OC=\Jx+\>OD=J(4-X)2+4.故问题等价于在线段48上求一点O,使

y=OC+OD最小(显然当)，取最小值时，。应在A与B之间).

设E为C关于A8的对称点，则y=OC+OD=OE+OD,故当且仅当。、0、E三点共线时

y=OE+。。取最小值，最小值等于DE=J4)+(2+=5.故应填5.

注：①当)，取最小值时，0£=|DE=|,这时x=Jm-F=g,即当x=g时，),取最小

值5.

②本题将一个代数最值问题转化为一个几何上求折线长最短的问题，并用§3例6中用过的

答案第6页，共10页

作对称点的方法，使问题得到了巧妙的解决.

16.16

【解析】

【分析】

【详解】

因为二次函数的图象在x轴的上方，所以AMpOx+ZA+DfTW+W+soko,整理得

4,加7+2机+4〃<49,BP(w+l)(2n+l)<y.因为“，,为正整数，所以

(机+1)(2〃+1)<25.

25

又〃7+122,所以2〃+1<一,故〃工5.

2

757?

当〃=1时，，"+”不，故加工可，符合条件的正整数对(〃2,〃)有8个；

当〃=2时，相+1K5,故mW4,符合条件的正整数对(根,同有4个；

251Q

当〃=3时，m+\<y,故〃”亍，符合条件的正整数对(",”)有2个；

2517

当〃=4时，w+l<y,^m<—,符合条件的正整数对(加,〃)有1个；

当”=5时，m+\<^,故〃/第，符合条件的正整数对(小，〃)有1个.

综合可知：符合条件的正整数对(，〃,〃)有8+4+2+1+1=16个.

17.植树最少的那天有54人或24人植树.

【解析】

【分析】

【详解】

设第4天有机人植树，每人植树〃棵，则第4天共植树机〃棵；第3天有m-5人植树，每

人植〃+5棵，则第3天共植树(〃?-5)(〃+5)棵.

同理，第2天共植树(加-10)5+10)棵；第1天共植树(利-15)(〃+15)棵；第5天共植树

(加+5)(〃-5)棵;第6天共植树(祖+10)(〃-10)棵；第7天共植树(加+15)(〃-15)棵.

由七天共植树9947棵得(，"-15)(〃+15)+(利一1O)(〃+1O)+(HZ-5)(«+5)+mn+(m+5)(/?-5)

+(，〃+10)(〃-10)+(〃?+15)(〃-15)=9947.化简得7〃加一700=9947,/m=1521.

因1521=3?X132.又每天都有人植树，所以m>15,”>15,故w="=39.

因为第4天植树棵数为39x39=1521,其他各天植树棵数为(39-〃)(39+4)=1521-标

答案第7页，共10页

(。=5,10或15),所以第4天植树最多，这一天共植树1521棵.

当。=15时，392-储的植树棵数最少.

又当4=15时，植树人数为39+15=54或39-15=24,所以植树最少的那天有54人或24

人植树.

18.不一定，k<-2

【解析】

【分析】

【详解】

解不一定，例如，当女=0时，函数化为y=它的图象与x轴的交点为(0,0)和

(1,0),不都在直线x=l的右侧.

2

设函数图象与x轴交点的横坐标为演和々，则％+W=-(2k-Y),xxx2=k.

A>0,

当且仅当满足条件・(%-1)+(迎-1)>0,时，抛物线与x轴的交点都在直线x=l的右侧.

(x,-l)(x2-l)>0

—=—

而(西—1)+(%21)(2^—1)—2=-2^—1,

22

((X,-l)(x2-1)=%,%2-(x,+^2)+1=^+(2A:-1)+1=k+2k,

(21)2-4公>0,

，17C

故上述条件可写为-2%-1>0,=<k<——,ok<-2,

2

k-+2k>Q双_2减％)

所以当出<-2时，抛物线与x轴的交点都在直线x=l的右侧.

19.当4=匕=土与时，d取最小值正.

【解析】

【分析】

【详解】

由(2)知土"=。一3",即4=初土d,代入(1)式有助2=(3b土d>+l,

整理得的±6"6+屋+]=0,①

因6是实数，所以A=(±6")2-4x6x(42+1)20,解得420或14一夜(舍去).

答案第8页，共10页

当d=时,代入①得6/?2±6>/^/?+3=0,BP(V2Z?±I)2=0,所以Z?=干―

A/22

再由d=。-3b得。=干——.

2

所以当a=b=±乎时，d取最小值正.

20.549是被算错)'的值，应该是551,理由见解析

【解析】

【分析】

【详解】

解设*2-％=七一占=…=七一々="，升对应的函数值为%(，=1,2,…,7),

则

△,=加一%=(电1+如M+C)-(or：+如+c)

=a[(x,+dy_*；]+8[(毛+</)-%]

2

=2adxt+(ad-\-bd),

故4+i-A,-=[2〃办注]+(〃/+bd-卜。々.+(。屋+bd)]

2

=lad(x.+1-x,)=2ad(常数).

而由给出的数据可得下表：

51107185285407549717

△，5678100122142168

△i+「42222222026

可见勾=142被算错，故”=549是被算错y的值，应该是549+(22-20)=551.

141

21.存在%=§/+§工+§，