高中数学选择性必修三课件：7 3 1 第2课时 离散型随机变量的均值的综合应用(人教A版)

第2课时离散型随机变量的均值的综合应用第七章7.3.1离散型随机变量的均值1.掌握离散型随机变量的均值的性质.2.会利用离散型随机变量的均值反映离散型随机变量的取值水平，

解决一些相关的实际问题.学习目标上节课我们研究了离散型随机变量的均值，这节课我们来看看用离散型随机变量的均值能够解决哪些问题.导语随堂演练课时对点练内容索引一、均值的性质二、均值的实际应用三、决策问题一、均值的性质问题若X，η都是一离散型随机变量，且η＝aX＋b(其中a，b是常数)，那么E(η)与E(X)有怎样的关系？提示

X，η的分布列为Xx1x2…xi…xnηax1＋bax2＋b…axi＋b…axn＋bPp1p2…pi…pn则E(η)＝(ax1＋b)p1＋(ax2＋b)p2＋…＋(axi＋b)pi＋…＋(axn＋b)pn＝a(x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn)＋b(p1＋p2＋…＋pi＋…＋pn)＝aE(X)＋b.知识梳理离散型随机变量的均值的性质若Y＝aX＋b，其中a，b均是常数(X是随机变量)，则Y也是随机变量，且E(aX＋b)＝

.aE(X)＋b例1已知随机变量X的分布列为若Y＝－2X，则E(Y)＝________.解析由分布列的性质，得由Y＝－2X，得E(Y)＝－2E(X)，解析由分布列的性质，得由Y＝－2X，得E(Y)＝－2E(X)，延伸探究1.本例条件不变，若Y＝2X－3，求E(Y).则E(Y)＝E(2X－3)＝2E(X)－3则E(Y)＝E(aX＋3)＝aE(X)＋3所以a＝15.反思感悟求线性关系的随机变量η＝aξ＋b的均值的方法(1)定义法：先列出η的分布列，再求均值.(2)性质法：直接套用公式，E(η)＝E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b，求解即可.跟踪训练1

(1)设ξ的分布列为又设η＝2ξ＋5，则E(η)等于√(2)已知随机变量ξ和η，其中η＝12ξ＋7，且E(η)＝34，若ξ的分布列如表所示，则m的值为√(2)已知随机变量ξ和η，其中η＝12ξ＋7，且E(η)＝34，若ξ的分布列如表所示，则m的值为√解析因为η＝12ξ＋7，E(η)＝34，则E(η)＝12E(ξ)＋7，二、均值的实际应用例2受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关，某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年，现从该厂已售出的两种品牌轿车中随机抽取50辆，统计数据如表所示：品牌甲乙首次出现故障时间x(年)0<x≤11<x≤2x>20<x≤2x>2轿车数量(辆)2345545每辆利润(万元)1231.82.9将频率视为概率，解答下列问题：(1)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求其首次出现故障发生在保修期内的概率；(2)若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆甲品牌轿车的利润为X1，生产一辆乙品牌轿车的利润为X2，分别求X1，X2的分布列；解依题意得，X1的分布列为X2的分布列为(3)该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌轿车，若从经济效益的角度考虑，你认为应该生产哪种品牌的轿车？说明理由.∵E(X1)>E(X2)，∴应生产甲品牌轿车.反思感悟解答概率模型的三个步骤(1)建模：即把实际问题概率模型化.(2)解模：确定分布列，计算随机变量的均值.(3)回归：利用所得数据，对实际问题作出判断.跟踪训练2某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数X的分布列为X12345P0.40.20.20.10.1商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元.Y表示经销一件该商品的利润.(1)求事件A“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率P(A)；(2)求Y的分布列及均值E(Y).X12345P0.40.20.20.10.1解Y的可能取值为200元，250元，300元.P(Y＝200)＝P(X＝1)＝0.4，P(Y＝250)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝0.2＋0.2＝0.4，P(Y＝300)＝P(X＝4)＋P(X＝5)＝0.1＋0.1＝0.2，因此Y的分布列为Y200250300P0.40.40.2E(Y)＝200×0.4＋250×0.4＋300×0.2＝240(元).三、决策问题例3甲、乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司的底薪80元，每单抽成4元；乙公司无底薪，40单以内(含40单)的部分每单抽成6元，超出40单的部分每单抽成7元，假设同一公司送餐员一天的送餐单数相同，现从两家公司各随机抽取一名送餐员，并分别记录其50天的送餐单数，得到如下频数表：甲公司送餐员送餐单数频数表：送餐单数3839404142天数101510105乙公司送餐员送餐单数频数表：送餐单数3839404142天数51010205若将频率视为概率，回答下列两个问题：(1)记乙公司送餐员日工资为X(单位：元)，求X的分布列和均值；解设乙公司送餐员送餐单数为a，故X的所有可能取值为228,234,240,247,254，故X的分布列为＝241.8(元).(2)小王打算到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日工资的角度考虑，请利用所学的统计学知识为小王作出选择，并说明理由.解甲公司送餐员日平均送餐单数为38×0.2＋39×0.3＋40×0.2＋41×0.2＋42×0.1＝39.7，则甲公司送餐员日平均工资为80＋4×39.7＝238.8(元)，因为乙公司送餐员日平均工资为241.8元，238.8<241.8，所以推荐小王去乙公司应聘.反思感悟

(1)求分布列的关键是根据题意确定随机变量的所有可能取值和取每一个值时的概率，然后列成表格的形式即可.(2)根据统计数据做出决策时，可根据实际情况从均值的大小关系作出比较后得到结论.跟踪训练3某地盛产脐橙，该地销售脐橙按照等级分为四类：珍品、特级、优级和一级(每箱重量为5kg)，某采购商打算在该地采购一批脐橙销往外地，并从采购的这批脐橙中随机抽取50箱，利用脐橙的等级分类标准得到的数据如表：等级珍品特级优级一级箱数10151510(1)用分层随机抽样的方法从这50箱脐橙中抽取10箱，再从抽取的10箱中随机抽取3箱，ξ表示随机抽取的3箱中是特级的箱数，求ξ的分布列及均值E(ξ)；非特级品的箱数为10－3＝7，ξ的取值为0,1,2,3.则ξ的分布列为(2)利用样本估计总体，该地提出两种购销方案供采购商参考：方案一：不分等级卖出，价格为20元/kg；方案二：分等级卖出，分等级的脐橙价格如表：从采购商节约资金的角度考虑，应该采用哪种方案？等级珍品特级优级一级售价(元/kg)25201510解方案一的单价为20元/kg，设方案二的单价为η，则η的均值为因为17.5<20，所以从采购商节约资金的角度考虑，应该采用方案二.1.知识清单：(1)离散型随机变量的均值的性质.(2)离散型随机变量的均值的实际应用.2.方法归纳：建模思想.3.常见误区：不会应用均值对实际问题作出正确分析.课堂小结随堂演练1234√1.若p为非负实数，随机变量X的分布列为则E(X)的最小值为1234√1234解析试验次数X的可能取值为1,2,3，所以X的分布列为1234212344.利用下列盈利表中的数据进行决策，自然状况方案盈利(万元)概率A1A2A3A4S10.255070－2098S20.3065265282S30.45261678－10应选择的方案是______.A31234解析A1的均值为50×0.25＋65×0.30＋26×0.45＝43.7；A2的均值为70×0.25＋26×0.30＋16×0.45＝32.5；A3的均值为－20×0.25＋52×0.30＋78×0.45＝45.7；A4的均值为98×0.25＋82×0.30－10×0.45＝44.6，因为A3的均值最大，所以应选择的方案是A3.课时对点练则E(2X＋1)等于基础巩固12345678910111213141516√1.已知离散型随机变量X的分布列为12345678910111213141516若E(X)＝7.5，则a等于A.5B.6C.7D.82.已知随机变量X的分布列为12345678910111213141516√X4a910P0.30.1b0.23.今有两台独立工作在两地的雷达，每台雷达发现飞行目标的概率分别为0.9和0.85，设发现目标的雷达数为ξ，则E(ξ)的值为A.0.765 B.1.75

C.1.765 D.0.2212345678910111213141516√解析当ξ＝0时，P(ξ＝0)＝(1－0.9)×(1－0.85)＝0.015；当ξ＝1时，P(ξ＝1)＝0.9×(1－0.85)＋0.1×0.85＝0.22；当ξ＝2时，P(ξ＝2)＝0.9×0.85＝0.765.所以E(ξ)＝0×0.015＋1×0.22＋2×0.765＝1.75.12345678910111213141516A.E(ξ)增大 B.E(ξ)减小C.E(ξ)先增后减 D.E(ξ)先减后增12345678910111213141516√12345678910111213141516所以当a增大时，ξ的均值E(ξ)减小.12345678910111213141516√12345678910111213141516A.a＝7 B.b＝0.4C.E(aX)＝44.1 D.E(bX＋a)＝2.62123456789101112131415166.(多选)已知某一随机变量X的分布列如表所示，且E(X)＝6.3，则√X4a9P0.50.1b√√12345678910111213141516解析由题意和分布列的性质得0.5＋0.1＋b＝1，

①且E(X)＝4×0.5＋0.1a＋9b＝6.3，

②由①②，解得b＝0.4，a＝7.∴E(aX)＝aE(X)＝7×6.3＝44.1，E(bX＋a)＝bE(X)＋a＝0.4×6.3＋7＝9.52.123456789101112131415167.已知E(Y)＝6，Y＝4X－2，则E(X)＝_____.解析∵Y＝4X－2，E(Y)＝4E(X)－2，∴4E(X)－2＝6，即E(X)＝2.2123456789101112131415168.某公司有5万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获利12%；如果失败，一年后将丧失全部资金的50%.下表是过去200例类似项目开发的实施结果：4760元投资成功投资失败192例8例则该公司一年后估计可获收益的均值是________.12345678910111213141516解析由题意知，一年后获利6000元的概率为0.96，获利－25000元的概率为0.04，故该公司一年后收益的均值是6000×0.96＋(－25000)×0.04＝4760(元).123456789101112131415169.若n是一个三位正整数，且n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”(如137,359,567等).在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次.得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得－1分；若能被10整除，得1分.(1)写出所有个位数字是5的“三位递增数”；解个位数是5的“三位递增数”有125,135,145,235,245,345.12345678910111213141516(2)若甲参加活动，求甲得分X的分布列和均值E(X).所以X的分布列为1234567891011121314151610.甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，射击次数相同，已知两名运动员击中的环数X稳定在7环，8环，9环，10环，他们比赛成绩的统计结果如表：环数击中频率选手78910甲0.20.150.3

乙0.2

0.20.3512345678910111213141516请你根据上述信息，解决下列问题：(1)估计甲、乙两名射击运动员击中的环数都不少于9环的概率；12345678910111213141516解记“甲运动员击中n环”为事件An，“乙运动员击中n环”为事件Bn(n＝7,8,9,10)，甲运动员击中的环数不少于9环为事件A9∪A10，乙运动员击中的环数不少于9环为事件B9∪B10.由题意可知事件A9与事件A10互斥，事件B9与事件B10互斥，事件A9∪A10与事件B9∪B10独立.∴P(A9∪A10)＝P(A9)＋P(A10)＝1－0.2－0.15＝0.65，P(B9∪B10)＝P(B9)＋P(B10)＝0.2＋0.35＝0.55.∴甲、乙两名射击运动员击中的环数都不少于9环的概率等于0.65×0.55＝0.3575.12345678910111213141516(2)若从甲、乙射击运动员中只能任选一名参加某大型比赛，请你从随机变量均值意义的角度，谈谈让谁参加比较合适？12345678910111213141516解设甲、乙两名射击运动员击中的环数分别为随机变量X，Y，由题意知X，Y的可能取值为7,8,9,10.甲运动员射击环数X的分布列为X78910P0.20.150.30.35甲运动员射击环数X的均值E(X)＝7×0.2＋8×0.15＋9×0.3＋10×0.35＝8.8.12345678910111213141516乙运动员射击环数Y的分布列为乙运动员射击环数Y的均值E(Y)＝7×0.2＋8×0.25＋9×0.2＋10×0.35＝8.7.∵E(X)>E(Y)，∴从随机变量均值意义的角度看，选甲去比较合适.Y78910P0.20.250.20.35综合运用1234567891011121314151611.已知随机变量ξ的分布列为√12345678910111213141516又因为ξ＝－1,0,1，所以事件A表示ξ＝±1，随机变量ξ2的取值为0,1，其对应的概率为123456789101112131415161234567891011121314151612.若X是一个随机变量，则E(X－E(X))的值为A.无法确定 B.0C.E(X) D.2E(X)√解析∵E(aX＋b)＝aE(X)＋b，而E(X)为常数，∴E(X－E(X))＝E(X)－E(X)＝0.12345678910111213141516√12345678910111213141516解析依题意知，ξ的所有可能值为2,4,6，设每两局比赛为一轮，若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响.1234567891011121314151614.某项游戏活动的奖励分成一、二、三等奖且相应获奖概率是以a1为首项，以2为公比的等比数列，相应资金是以700元为首项，以－140元为公差的等差数列，则参与该游戏获得资金的均值为________元.50012345678910111213141516解析由分布列的性质可得a1＋2a1＋4a1＝1，因此获得资金X的分布列为拓广探究1234567891011121314151615.李老师从课本上抄录一个随机变量ξ的分布列如表：请小王同学计算ξ的均值，尽管“？”处完全无法看清，且两个“！”处字迹模糊，但能断定这两个“！”处的数值相同.据此，小王给出了正确答案E(ξ)＝____.2解析设！＝x，？＝y，则2x＋y＝1，E(ξ)＝4x＋2y＝2(2x＋y)＝2.1234567891011121314151616.某高校设计了一个实验学科的实验考查方案：考生从6道备选题中一次性随机抽取3题，按照题目要求独立完成全部实验操作.规定至少正确完成其中2题的便可提交通过.已知6