高中数学选择性必修三课件：6 2 3 第3课时 排列、组合的综合应用(人教A版)

第3课时排列、组合的综合应用第六章6.2.3组合1.掌握具有限制条件的排列、组合问题的解决方法.2.理解排列、组合中的多面手问题、分组分配等问题.学习目标随堂演练课时对点练一、有限制条件的排列、组合问题二、多面手问题三、分组、分配问题内容索引一、有限制条件的排列、组合问题例1课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各有一名队长，现从中选5人主持某项活动，依下列条件各有多少种选法？(1)至少有一名队长当选；(2)至多有两名女生当选；解至多有2名女生当选含有三类：有2名女生当选；只有1名女生当选；没有女生当选，(3)既要有队长，又要有女生当选.解分两类：所以共有495＋295＝790(种)选法.反思感悟有限制条件的抽(选)取问题，主要有两类(1)“含”与“不含”问题，其解法常用直接分步法，即“含”的先取出，“不含”的可把所指元素去掉再取，分步计数.(2)“至多”“至少”问题，其解法常有两种解决思路：一是直接分类法，但要注意分类要不重不漏；二是间接法，注意找准对立面，确保不重不漏.跟踪训练1

(1)某食堂每天中午准备4种不同的荤菜，7种不同的蔬菜，用餐者可以按下述方法之一搭配午餐：①任选两种荤菜、两种蔬菜和白米饭；②任选一种荤菜、两种蔬菜和蛋炒饭.则每天不同午餐的搭配方法共有A.210种 B.420种

C.56种 D.22种√解析由分类加法计数原理知，两类年餐的搭配方法之和即为所求，跟踪训练1

(1)某食堂每天中午准备4种不同的荤菜，7种不同的蔬菜，用餐者可以按下述方法之一搭配午餐：①任选两种荤菜、两种蔬菜和白米饭；②任选一种荤菜、两种蔬菜和蛋炒饭.则每天不同午餐的搭配方法共有A.210种 B.420种

C.56种 D.22种√解析由分类加法计数原理知，两类年餐的搭配方法之和即为所求，(2)为迎接某会，某校举办了“祖国，你好”诗歌朗诵比赛.该校高三年级准备从包括甲、乙、丙在内的7名学生中选派4名学生参加，要求甲、乙、丙这3名学生中至少有1人参加，且当这3名学生都参加时，甲和乙的朗诵顺序不能相邻，那么选派的4名学生不同的朗诵顺序的种数为A.720B.768C.810D.816√则甲、乙、丙这3名学生中至少有1人参加，朗诵顺序有840－24＝816(种)；则满足题意的朗诵顺序有816－48＝768(种).二、多面手问题例2某外语组有9人，每人至少会英语和日语中的一门，其中7人会英语，3人会日语，从中选出会英语和日语的各一人到边远地区支教，有多少种不同的选法？解由题意，知有1人既会英语又会日语，6人只会英语，2人只会日语.方法一

分两类.第一类：从只会英语的6人中选1人教英语，有6种选法，则教日语的有2＋1＝3(种)选法.此时共有6×3＝18(种)选法.第二类：从不只会英语的1人中选1人教英语，有1种选法，则选会日语的有2种选法，此时有1×2＝2(种)选法.所以由分类加法计数原理知，共有18＋2＝20(种)选法.方法二

设既会英语又会日语的人为甲，则甲有入选、不入选两类情形，入选后又要分两种：(1)教英语；(2)教日语.解由题意，知有1人既会英语又会日语，6人只会英语，2人只会日语.方法一

分两类.第一类：从只会英语的6人中选1人教英语，有6种选法，则教日语的有2＋1＝3(种)选法.此时共有6×3＝18(种)选法.第二类：从不只会英语的1人中选1人教英语，有1种选法，则选会日语的有2种选法，此时有1×2＝2(种)选法.所以由分类加法计数原理知，共有18＋2＝20(种)选法.方法二

设既会英语又会日语的人为甲，则甲有入选、不入选两类情形，入选后又要分两种：(1)教英语；(2)教日语.第一类：甲入选.(1)甲教英语，再从只会日语的2人中选1人，由分步乘法计数原理知，有1×2＝2(种)选法；(2)甲教日语，再从只会英语的6人中选1人，由分步乘法计数原理知，有1×6＝6(种)选法.故甲入选的不同选法共有2＋6＝8(种).第二类：甲不入选.可分两步.第一步，从只会英语的6人中选1人，有6种选法；第二步，从只会日语的2人中选1人，有2种选法.由分步乘法计数原理知，有6×2＝12(种)不同的选法.综上，共有8＋12＝20(种)不同的选法.反思感悟解决多面手问题时，依据多面手参加的人数和从事的工作进行分类，将问题细化为较小的问题后再处理.跟踪训练2现有8名青年，其中有5名能胜任英语翻译工作，有4名能胜任德语翻译工作(其中有1名青年两项工作都能胜任).现在要从中挑选5名青年承担一项任务，其中3名从事英语翻译工作，2名从事德语翻译工作，则有多少种不同的选法？解可以分三类：三、分组、分配问题问题将甲、乙两名同学分成两组，有多少种分法？将甲、乙两名同学分成两组，分别去参加上午、下午的活动，有多少种分法？提示1种，2种.角度1不同元素分组、分配问题例3

6本不同的书，分为3组，在下列条件下各有多少种不同的分配方法？(1)每组2本(平均分组)；(2)一组1本，一组2本，一组3本(不平均分组)；(3)一组4本，另外两组各1本(局部平均分组).反思感悟

“分组”与“分配”问题的解法(1)分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三种：①完全均匀分组，每组的元素个数均相等，均匀分成n组，最后必须除以n！；②部分均匀分组，应注意不要重复，有n组均匀，最后必须除以n！；③完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象.(2)分配问题属于“排列”问题，分配问题可以按要求逐个分配，也可以分组后再分配.角度2相同元素分配问题例4将6个相同的小球放入4个编号为1,2,3,4的盒子，求下列方法的种数.(1)每个盒子都不空；(2)恰有一个空盒子.第二步在小球之间5个空隙中任选2个空隙各插一块隔板，反思感悟相同元素分配问题的处理策略(1)隔板法：如果将放有小球的盒子紧挨着成一行放置，便可看作排成一行的小球的空隙中插入了若干隔板，相邻两块隔板形成一个“盒”.每一种插入隔板的方法对应着小球放入盒子的一种方法，此法称之为隔板法.隔板法专门解决相同元素的分配问题.跟踪训练3

(1)某同学有同样的画册2本、同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有A.4种B.10种C.18种

D.20种√∴共有6＋4＝10(种).(2)某社区服务站将5位志愿者分成3组，其中两组各2人，另一组1人，分别去三个不同的社区宣传肾脏日的主题：“尽快行动，尽快预防”，则不同的分配方案有________种(用数字作答).901.知识清单：(1)有限制条件的排列、组合问题.(2)多面手问题.(3)分组、分配问题.2.方法归纳：分类讨论、插空法、隔板法、均分法.3.常见误区：分类不当；平均分组理解不到位.课堂小结随堂演练1.登山运动员10人，平均分为两组，其中熟悉道路的有4人，每组都需要2人，那么不同的分配方法种数是A.30 B.60

C.120 D.2401234√2.空间中有10个点，其中有5个点在同一个平面内，其余点无三点共线，无四点共面，则以这些点为顶点，共可构成四面体的个数为A.205 B.110

C.204 D.20014√3214323.某大厦一层有A，B，C，D四部电梯，现有3人在一层乘坐电梯上楼，其中恰有2人乘坐同一部电梯，则不同的乘坐方式有____种.(用数字作答)364.某校从8名教师中选派4名去某个偏远地区支教，其中甲和乙不能都去，则不同的选派方案共有________种(用数字作答).143255解析由于“甲和乙不能都去”，故要分三类完成：课时对点练1.甲、乙两人计划从A，B，C三个景点中各选择两个游玩，则两人所选景点不全相同的选法共有A.3种B.6种C.9种D.12种基础巩固12345678910111213141516√2.假如某大学给我市某三所重点中学7个自主招生的推荐名额，则每所中学至少分到一个名额的方法数为A.30B.21C.10D.1512345678910111213141516√123456789101112131415163.若将9名会员分成三组讨论问题，每组3人，共有不同的分组方法种数有√123456789101112131415164.已知直线a，直线b，且a∥b，a上有5个点，b上有4个点，则以这九个点为顶点的三角形个数为√5.某龙舟队有9名队员，其中3人只会划左舷，4人只会划右舷，2人既会划左舷又会划右舷.现要选派划左舷的3人、右舷的3人共6人去参加比赛，则不同的选派方法共有A.56种B.68种C.74种D.92种12345678910111213141516√6.如图是由6个正方形拼成的矩形图案，从图中的12个顶点中任取3个点作为一组.其中可以构成三角形的组数为A.208 B.204C.200 D.19612345678910111213141516√7.某运动队有5对老搭档运动员，现抽派4个运动员参加比赛，则这4人都不是老搭档的抽派方法数为______.12345678910111213141516808.某地奥运火炬接力传递路线共分6段，传递活动分别由6名火炬手完成.如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方法共有_____种.(用数字作答)123456789101112131415169612345678910111213141516解5名学生分成3组，人数分别为2,2,1，9.甲、乙、丙三位教师指导五名学生a，b，c，d，e参加全国高中数学联赛，每位教师至少指导一名学生.(1)若每位教师至多指导两名学生，求共有多少种分配方案；12345678910111213141516(2)若教师甲只指导其中一名学生，求共有多少种分配方案.解从5名学生任选1名学生分配给甲教师指导，剩下4名学生分成2组，人数分别为2,2或3,1，1234567891011121314151610.有甲、乙、丙、丁、戊5名同学，求：(1)5名同学站成一排，有多少种不同的方法？12345678910111213141516(2)5名同学站成一排，要求甲、乙必须相邻，丙、丁不能相邻，有多少种不同的方法？12345678910111213141516(3)将5名同学分配到三个班，每班至少1人，共有多少种不同的分配方法？解按人数分配方式分类：故共有60＋90＝150(种)分配方法.综合运用1234567891011121314151611.若自然数n使得n＋(n＋1)＋(n＋2)不产生十进位现象，则称n为“良数”.例如：32是“良数”，因为32＋33＋34不产生十进位现象；23不是“良数”，因为23＋24＋25产生十进位现象.那么，小于1000的“良数”的个数为A.27B.36C.39D.48√12345678910111213141516解析如果n是良数，则n的个位数字只能是0,1,2，非个位数字只能是0,1,2,3(首位不为0)，而小于1000的数至多三位，一位数的良数有0,1,2，共3个；二位数的良数个位可取0,1,2，十位可取1,2,3，共有3×3＝9(个)；三位数的良数个位可取0,1,2，十位可取0,1,2,3，百位可取1,2,3，共有3×4×3＝36(个).综上，小于1000的“良数”的个数为3＋9＋36＝48.1234567891011121314151612.某企业有4个分厂，新培训了6名技术人员，将这6名技术人员分配到各分厂，要求每个分厂至少1人，则不同的分配方案种数为________.156012345678910111213141516解析先把6名技术人员分成4组，每组至少一人.若4个组的人数按3,1,1,1分配，若4个组的人数为2,2,1,1，1234567891011121314151613.用1,2,3,4这四个数字组成无重复数字的四位数，其中恰有一个偶数夹在两个奇数之间的四位数的个数为_____.814.已知不定方程x1＋x2＋x3＋x4＝12，则不定方程正整数解的组数为______个.12345678910111213141516165拓广探究1234567891011121314151615.北京《财富》全球论坛期间，某高校有14名志愿者参加接待工作，若每天早、中、晚三班，每班4人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为√123456789101112131415161234567891011121314151616.某市根据上级要求，在本市某人民医院要选出护理外科、心理治疗方面的专家4人与国家专家组一起参加两会医疗保健工作，该医院现有3名护理专家A1，A2，A3,5名外科专家B1，B2，B3，B4，B5,2名心理治疗专家C1，C2.(1)求4人中有1位外科专家，1位心理治疗专家的概率；12345678910111213141516设“选出的4人参加救助工作中有1位外科专家，1位心理治疗专家”为事件A，12345678910111213141516(2)求至少含有2位外科专家，且外科专家B1和护理专家A1不能同时被选的概率.12345678910111213141516解设“选出的4人参加救助