高考数学大题精做专题06立体几何中折叠问题(第三篇)(原卷版+解析)

备战2020年高考数学大题精做之解答题题型全覆盖高端精品第三篇立体几何专题06立体几何中折叠问题类型对应典例折叠问题中的点线面位置关系典例1折叠问题中的体积典例2折叠问题中的线面角典例3折叠问题中的二面角典例4【典例1】【新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市第四中学2020届月考】如图，在直角梯形中，，，，，，点在上，且，将沿折起，使得平面平面（如图）.为中点.（1）求证:平面；（2）求四棱锥的体积；（3）在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.【典例2】【福建省罗源市第一中学2020届月考】如图1,在正方形中，是的中点，点在线段上,且.若将分别沿折起，使两点重合于点,如图2.图1图2(1)求证:平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值.【典例3】【河南南阳一中2020届月考】如图1，已知菱形的对角线交于点，点为线段的中点，，，将三角形沿线段折起到的位置，，如图2所示．（Ⅰ）证明：平面平面；（Ⅱ）求三棱锥的体积．【典例4】【河北省唐山市2019届高三下学期第一次模拟考试】如图，中，，，分别为，边的中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且．（1）证明：平面；（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．【针对训练】1.【湖南省湖南师范大学附属中学、岳阳市第一中等六校2019届高三下学期联考】在中，，．已知，分别是，的中点．将沿折起，使到的位置且二面角的大小是．连接，，如图：（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）求平面与平面所成二面角的大小．2．【广东省化州市2019届高三上学期第一次模拟考试】已知长方形中，，，现将长方形沿对角线折起，使，得到一个四面体，如图所示.（1）试问：在折叠的过程中，异面直线与能否垂直？若能垂直，求出相应的的值；若不垂直，请说明理由；（2）当四面体体积最大时，求二面角的余弦值.3．【新疆石河子二中2020届月考】如图，在平行四边形中，，，以为折痕将△折起，使点到达点的位置，且．（1）证明：平面平面；（2）为线段上一点，为线段上一点，且，求三棱锥的体积．4．【广东中山市2020届高三期末考试】如图1，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E是CD的中点，将△ADE沿AE折起，得到如图2所示的四棱锥D1—ABCE，其中平面D1AE⊥平面ABCE.(1)证明：BE⊥平面D1AE；(2)设F为CD1的中点，在线段AB上是否存在一点M，使得MF∥平面D1AE，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．5．【2020届重庆八中高三月考】如图，在边长为的菱形中，，点，分别是边，的中点，．沿将△翻折到△，连接，得到如图的五棱锥，且．（1）求证：平面；（2）求四棱锥的体积．6．【湖南省长沙市2019届上学期高三统一检测】已知三棱锥（如图一）的平面展开图（如图二）中，四边形为边长等于的正方形，和均为正三角形，在三棱锥中：（I）证明：平面平面；（Ⅱ）若点在棱上运动，当直线与平面所成的角最大时，求二面角的余弦值.图一图二备战2020年高考数学大题精做之解答题题型全覆盖高端精品第三篇立体几何专题06立体几何中折叠问题类型对应典例折叠问题中的点线面位置关系典例1折叠问题中的体积典例2折叠问题中的线面角典例3折叠问题中的二面角典例4【典例1】【新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市第四中学2020届月考】如图，在直角梯形中，，，，，，点在上，且，将沿折起，使得平面平面（如图）.为中点.（1）求证:平面；（2）求四棱锥的体积；（3）在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.【思路引导】（1）证明，再根据面面垂直的性质得出平面；（2）分别计算和梯形的面积，即可得出棱锥的体积；（3）过点C作交于点，过点作交于点，连接，可证平面平面，故平面，根据计算的值.【详解】（1）证明：因为为中点，，所以.因为平面平面，平面平面，平面，所以平面．（2）在直角三角形中，易求,则．所以四棱锥的体积为．（3）过点C作交于点，则．过点作交于点，连接,则．又因为，平面平面,所以平面．同理平面．又因为，所以平面平面．因为平面，所以平面．所以在上存在点，使得平面，且.【典例2】【福建省罗源市第一中学2020届月考】如图1,在正方形中，是的中点，点在线段上,且.若将分别沿折起，使两点重合于点,如图2.图1图2(1)求证:平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值.【思路引导】（1）设正方形的边长为，由，可得，结合，利用线面垂直的判定定理，即可得到平面.（2）建立空间直角坐标系，过点作，垂足为，求出向量和平面的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求解.【详解】（1）证明：设正方形的边长为4，由图1知,,,,,,即由题意知，在图2中，,,平面,平面,且,平面,平面,.又平面,平面,且,平面（2）由（1）知平面，则建立如图所示空间直角坐标系，过点作，垂足为，在中，,,从而,,,,,.设平面的一个法向量为，则，令，则，，.设直线与平面所成角为,则,.直线与平面所成角的正弦值为.【典例3】【河南南阳一中2020届月考】如图1，已知菱形的对角线交于点，点为线段的中点，，，将三角形沿线段折起到的位置，，如图2所示．（Ⅰ）证明：平面平面；（Ⅱ）求三棱锥的体积．【思路引导】（Ⅰ）折叠前，AC⊥DE；，从而折叠后，DE⊥PF，DE⊥CF，由此能证明DE⊥平面PCF．再由DC∥AE，DC＝AE能得到DC∥EB，DC＝EB．说明四边形DEBC为平行四边形．可得CB∥DE．由此能证明平面PBC⊥平面PCF．（Ⅱ）由题意根据勾股定理运算得到，又由（Ⅰ）的结论得到，可得平面，再利用等体积转化有，计算结果.【详解】（Ⅰ）折叠前，因为四边形为菱形，所以；所以折叠后，，,又，平面，所以平面因为四边形为菱形，所以．又点为线段的中点，所以．所以四边形为平行四边形．所以．又平面，所以平面．因为平面，所以平面平面．（Ⅱ）图1中，由已知得，，所以图2中，，又所以，所以又平面，所以又，平面，所以平面，所以．所以三棱锥的体积为．【典例4】【河北省唐山市2019届高三下学期第一次模拟考试】如图，中，，，分别为，边的中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且．（1）证明：平面；（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．【思路引导】（1）由，分别为，边的中点，可得，由已知结合线面垂直的判定可得平面，从而得到平面；（2）取的中点，连接，由已知证明平面，过作交于，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得平面与平面所成锐二面角的余弦值．【详解】（1）因为分别为，边的中点，所以，因为，所以，，又因为，所以平面，所以平面．（2）取的中点，连接，由（1）知平面，平面，所以平面平面，因为，所以，又因为平面，平面平面，所以平面，过作交于，分别以，，所在直线为轴建立空间直角坐标系，则，，．，，设平面的法向量为，则即则，易知为平面的一个法向量，，所以平面与平面所成锐二面角的余弦值．【针对训练】1.【湖南省湖南师范大学附属中学、岳阳市第一中等六校2019届高三下学期联考】在中，，．已知，分别是，的中点．将沿折起，使到的位置且二面角的大小是．连接，，如图：（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）求平面与平面所成二面角的大小．【思路引导】（Ⅰ）法一：由．设的中点为，连接．设的中点为，连接，．而即为二面角的平面角．，推导出．由，，从而平面．由，得平面，从而，即．进而平面．推导出四边形为平行四边形．从而，平面，由此能证明平面平面．法二：以为原点，在平面中过作的垂线为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明平面平面．（Ⅱ）以为原点，在平面中过.作的垂线为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面与平面所成二面角大小．【详解】（Ⅰ）证法一：是的中点，．设的中点为，连接．设的中点为，连接，．由题意得，，即为二面角的平面角．，为的中点．，为等边三角形，．，，，平面．，平面，，即．，平面．，分别为，的中点．，四边形为平行四边形．，平面，又平面．平面平面．法二：如图，以为原点，为轴，在平面中过作的垂线为轴，为轴，建立空间直角坐标系，设．则，，，，．设平面的法向量为，，，，令，则，设平面的法向量为，，，，取，得．，平面平面．解：（Ⅱ）如图，以为原点，为轴，在平面中过作的垂线为轴，为轴，建立空间直角坐标系，设．则，，，，．平面的法向量设平面的法向量为，，，，取，得．设平面与平面所成的二面角的平面角为，由图形观察可知，平面与平面所成的二面角的平面角为锐角．平面与平面所成二面角大小为．2．【广东省化州市2019届高三上学期第一次模拟考试】已知长方形中，，，现将长方形沿对角线折起，使，得到一个四面体，如图所示.（1）试问：在折叠的过程中，异面直线与能否垂直？若能垂直，求出相应的的值；若不垂直，请说明理由；（2）当四面体体积最大时，求二面角的余弦值.【思路引导】（1）若AB⊥CD，得AB⊥面ACD，由于AB⊥AC.,所以AB2＋a2＝BC,解得a2=1，成立;（2）四面体A﹣BCD体积最大时面ABD⊥面BCD，以A为原点，在平面ACD中过O作BD的垂线为x轴，OD为y轴，OA为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A﹣CD﹣B的余弦值．【详解】(1)若AB⊥CD，因为AB⊥AD，AD∩CD＝D，所以AB⊥面ACD⇒AB⊥AC.由于AB=1,AD=BC=,AC=,由于AB⊥AC.,所以AB2＋a2＝BC,所以12＋a2＝()2⇒a＝1,所以在折叠的过程中，异面直线AB与CD可以垂直,此时的值为1(2)要使四面体A－BCD体积最大，因为△BCD面积为定值，所以只需三棱锥A－BCD的高最大即可，此时面ABD⊥面BCD.过A作AO⊥BD于O，则AO⊥面BCD，以O为原点建立空间直角坐标系(如图)，则易知,显然，面BCD的法向量为,设面ACD的法向量为＝(x，y，z),因为所以，令y＝，得＝(1，，2)，故二面角A－CD－B的余弦值即为.3．【新疆石河子二中2020届月考】如图，在平行四边形中，，，以为折痕将△折起，使点到达点的位置，且．（1）证明：平面平面；（2）为线段上一点，为线段上一点，且，求三棱锥的体积．【思路引导】(1)首先根据题的条件，可以得到=90，即，再结合已知条件BA⊥AD，利用线面垂直的判定定理证得AB⊥平面ACD，又因为AB平面ABC，根据面面垂直的判定定理，证得平面ACD⊥平面ABC；(2)根据已知条件，求得相关的线段的长度，根据第一问的相关垂直的条件，求得三棱锥的高，之后借助于三棱锥的体积公式求得三棱锥的体积.详解：（1）由已知可得，=90°，．又BA⊥AD，且，所以AB⊥平面ACD．又AB平面ABC，所以平面ACD⊥平面ABC．（2）由已知可得，DC=CM=AB=3，DA=．又，所以．作QE⊥AC，垂足为E，则．由已知及（1）可得DC⊥平面ABC，所以QE⊥平面ABC，QE=1．因此，三棱锥的体积为．4．【广东中山市2020届高三期末考试】如图1，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E是CD的中点，将△ADE沿AE折起，得到如图2所示的四棱锥D1—ABCE，其中平面D1AE⊥平面ABCE.(1)证明：BE⊥平面D1AE；(2)设F为CD1的中点，在线段AB上是否存在一点M，使得MF∥平面D1AE，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．【思路引导】（1）先计算得BE⊥AE，再根据面面垂直性质定理得结果，（2）先分析确定点M位置，再取D1E的中点L，根据平几知识得AMFL为平行四边形，最后根据线面平行判定定理得结果.【详解】(1)证明连接BE，∵ABCD为矩形且AD＝DE＝EC＝BC＝2，∴∠AEB＝90°，即BE⊥AE，又平面D1AE⊥平面ABCE，平面D1AE∩平面ABCE＝AE，BE⊂平面ABCE，∴BE⊥平面D1AE.(2)解AM＝AB，取D1E的中点L，连接AL，FL，∵FL∥EC，EC∥AB，∴FL∥AB且FL＝AB，∴FL∥AM，FL=AM∴AMFL为平行四边形，∴MF∥AL，因为MF不在平面AD1E上，AL⊂平面AD1E，所以MF∥平面AD1E.故线段AB上存在满足题意的点M，且＝.5．【2020届重庆八中高三月考】如图，在边长为的菱形中，，点，分别是边，的中点，．沿将△翻折到△，连接，得到如图的五棱锥，且．（1）求证：平面；（2）求四棱锥的体积．【思路引导】（1）证明：∵点，分别是边，的中点，∴∥.∵菱形的对角线互相垂直，∴.∴.∴，.分∵平面，平面，，∴平面.∴平面.（2）解：设，连接，∵，∴△为等边三角形.∴，，，.在Rt△中，，在△中，，∴.∵，，平面，平面，∴平面.梯形的面积为，∴四棱锥的体积.6．【湖南省长沙市2019届上学期高三统一检测】已知三棱锥（如图一）的平面展开图（如图二）中，四边形为边长等于的正方形，和均为正三角形，在三棱锥中：（I）证明：平面平面；（Ⅱ）若点在棱上运动，当直线与平面所成的角最大时，求二面角的余弦值.图一图二【思路引导】(1)设AC的中点