【寒假自学课】苏教版2024年高一数学寒假第10讲两角和与差的三角函数(原卷版+解析)

第10讲两角和与差的三角函数【学习目标】1、能够推导两角差的余弦公式。2、能够利用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦公式、两角和的正、余弦公式。3、能够运用两角和的正、余弦公式进行化简、求值、证明。【考点目录】考点一：两角和与差的正（余）弦公式考点二：两角和与差的正切公式考点三：给角求值考点四：给值求值考点五：给值求角考点六：利用两角和与差的余弦进行证明【基础知识】知识点一：两角和的余弦函数两角和的余弦公式：知识点诠释：（1）公式中的都是任意角；（2）和差角的余弦公式不能按分配律展开，即；（3）公式使用时不仅要会正用，还要能够逆用，在很多时候，逆用更能简捷地处理问题．（4）记忆：公式右端的两部分为同名三角函数积，连接符号与等号左边角的连接符号相反．知识点二：两角和与差的正弦函数两角和正弦函数在公式中用代替，就得到：两角差的正弦函数知识点诠释：（1）公式中的都是任意角；（2）与和差角的余弦公式一样，公式对分配律不成立，即；（3）和差公式是诱导公式的推广，诱导公式是和差公式的特例．如当或中有一个角是的整数倍时，通常使用诱导公式较为方便；（4）使用公式时，不仅要会正用，还要能够逆用公式，如化简时，不要将和展开，而应采用整体思想，进行如下变形：这也体现了数学中的整体原则．（5）记忆时要与两角和与差的余弦公式区别开来，两角和与差的余弦公式的等号右端的两部分为同名三角函数积，连接符号与等号左边角的连接符号相反；两角和与差的正弦公式的等号右端的两部分为异名三角函数积，连接符号与等号左边角的连接符号相同．知识点三：两角和与差的正切函数知识点诠释：（1）公式成立的条件是：，或，其中；（2）公式的变形：（3）两角和与差的正切公式不仅可以正用，也可以逆用、变形用，逆用和变形用都是化简三角恒等式的重要手段，如就可以解决诸如的求值问题．所以在处理问题时要注意观察式子的特点，巧妙运用公式或其变形，使变换过程简单明了．（4）公式对分配律不成立，即．知识点四：理解并运用和角公式、差角公式需注意的几个问题1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式之间的内在联系（1）掌握好表中公式的内在联系及其推导线索，能帮助学生理解和记忆公式，是学好本部分的关键．（2）诱导公式是两角和、差的三角函数公式的特殊情况．，中若有为的整数倍的角时，使用诱导公式更灵活、简便，不需要再用两角和、差公式展开．2、重视角的变换三角变换是三角函数的灵魂与核心，在三角变换中，角的变换是最基本的变换，在历年的高考试题中多次出现，必须引起足够的重视．常见的角的变换有：；；；等，常见的三角变换有：切化弦、等．【考点剖析】考点一：两角和与差的正（余）弦公式例1．(2023·浙江省杭州第九中学高一期末）（

）A． B． C． D．例2．(2023·江西九江·高一期末）已知，则（

）A． B． C． D．例3．(2023·山东临沂·高一期末）（

）A． B． C． D．考点二：两角和与差的正切公式例4．(2023·甘肃兰州·高一期末）（

）A． B．1 C． D．例5．(2023·吉林·东北师大附中高一阶段练习）的值为（

）A． B． C． D．考点三：给角求值例6．(2023·全国·高一课时练习）的值为（

）A．0 B． C． D．例7．(2023·全国·高一课时练习）计算：（

）A． B． C． D．考点四：给值求值例8．(2023·全国·高一课时练习）已知，则等于（

）A． B． C． D．例9．(2023·全国·高一课时练习）已知，，且，，则（

）A．1 B．0 C．-1 D．考点五：给值求角例10．(2023·北京市第五中学高一阶段练习）若，，且，是方程的两个根，则（

）A． B． C．或 D．或例11．(2023·江苏·金沙中学高一期末）已知，，，则（

）A． B． C． D．考点六：利用两角和与差的余弦进行证明例12．(2023·上海·高一课时练习）阅读材料:根据两角和与差的正弦公式，有:，，由得，令,,有，，代入得.(1)利用上述结论，试求的值；(2)类比上述推证方法，根据两角和与差的余弦公式，证明:.【真题演练】1．(2023·全国·高考真题）若，则（

）A． B．C． D．2．(2023·北京市第五中学高一阶段练习）若，，且，是方程的两个根，则（

）A． B． C．或 D．或3．(2023·江西九江·高一期末）已知，则（

）A． B． C． D．4．(2023·上海·华东师范大学第三附属中学高一阶段练习）已知，则________．5．(2023·湖北·郧阳中学高一阶段练习）若为偶函数，则__________.6．(2023·上海市金山中学高一期末）已知角终边上一点，则值为_____．7．(2023·上海市七宝中学附属鑫都实验中学高一期末）已知、，，，则______．8．(2023·安徽合肥·高一期末）求解下列问题：(1)已知，为第二象限角，求和的值；(2)已知，，，为锐角，求的值.9．(2023·江苏·滨海县五汛中学高一阶段练习）已知，.(1)求；(2)若角的终边落在点，求的值.10．(2023·上海·格致中学高一期中）已知，，且．(1)求的值；(2)求的值．【过关检测】一、单选题1．(2023·全国·高一课时练习）已知，，则（

）A．1 B．-1 C． D．2．(2023·全国·高一课时练习）已知是关于x的一元二次方程的两个实数根，则（

）A． B．1 C． D．23．(2023·全国·高一课时练习）锐角满足，那么（

）A． B． C． D．4．(2023·全国·高一课时练习）若，则（

）A． B．0 C．1 D．5．(2023·全国·高一课时练习）（

）A． B． C． D．6．(2023·内蒙古·满洲里市第一中学高一期末）已知，，则的值为（

）A． B． C． D．7．(2023·全国·高一课时练习）已知，，，则的值为（

）A．或0 B．0 C． D．8．(2023·四川成都·高一期末（文））已知都是锐角，若，，则（

）A． B． C． D．二、多选题9．(2023·江苏·沛县教师发展中心高一阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，角、的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它们的终边分别与单位圆相交于、两点，若点、的坐标分别为和，则以下结论正确的是（

）A． B．C． D．10．(2023·辽宁·高一期中）若，则的值可能为（

）A． B． C． D．11．(2023·江苏·星海实验中学高一期中）已知、、，且，则（

）A．若，则B．若，则C．、可能是方程的两根D．12．(2023·江西省万载中学高一阶段练习）已知为第一象限角，为第三象限角，且，，则可以为（

）A． B． C． D．三、填空题13．(2023·天津南开·高一期末）的值是_____.14．(2023·全国·高一课时练习）已知，则_______________．15．(2023·全国·高一课时练习）已知，，，，则_______.16．(2023·全国·高一课时练习）=_________.四、解答题17．(2023·江苏·滨海县五汛中学高一阶段练习）（1）已知都是锐角，，求；（2）已知，求.18．(2023·四川内江·高一期末（文））已知，，且，，求：(1)；(2).19．(2023·全国·高一课时练习）已知是一元二次方程的两个根，且．(1)求的值；(2)求的值．20．(2023·全国·高一课时练习）已知，求的值.21．(2023·四川·遂宁中学高一期末）如图，在平面直角坐标系中，顶点在坐标原点，以轴非负半轴为始边的锐角与钝角的终边与单位圆O分别交于A，B两点，轴的非负半轴与单位圆O交于点M，已知点B的横坐标是.(1)求的值；(2)求的值.第10讲两角和与差的三角函数【学习目标】1、能够推导两角差的余弦公式。2、能够利用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦公式、两角和的正、余弦公式。3、能够运用两角和的正、余弦公式进行化简、求值、证明。【考点目录】考点一：两角和与差的正（余）弦公式考点二：两角和与差的正切公式考点三：给角求值考点四：给值求值考点五：给值求角考点六：利用两角和与差的余弦进行证明【基础知识】知识点一：两角和的余弦函数两角和的余弦公式：知识点诠释：（1）公式中的都是任意角；（2）和差角的余弦公式不能按分配律展开，即；（3）公式使用时不仅要会正用，还要能够逆用，在很多时候，逆用更能简捷地处理问题．（4）记忆：公式右端的两部分为同名三角函数积，连接符号与等号左边角的连接符号相反．知识点二：两角和与差的正弦函数两角和正弦函数在公式中用代替，就得到：两角差的正弦函数知识点诠释：（1）公式中的都是任意角；（2）与和差角的余弦公式一样，公式对分配律不成立，即；（3）和差公式是诱导公式的推广，诱导公式是和差公式的特例．如当或中有一个角是的整数倍时，通常使用诱导公式较为方便；（4）使用公式时，不仅要会正用，还要能够逆用公式，如化简时，不要将和展开，而应采用整体思想，进行如下变形：这也体现了数学中的整体原则．（5）记忆时要与两角和与差的余弦公式区别开来，两角和与差的余弦公式的等号右端的两部分为同名三角函数积，连接符号与等号左边角的连接符号相反；两角和与差的正弦公式的等号右端的两部分为异名三角函数积，连接符号与等号左边角的连接符号相同．知识点三：两角和与差的正切函数知识点诠释：（1）公式成立的条件是：，或，其中；（2）公式的变形：（3）两角和与差的正切公式不仅可以正用，也可以逆用、变形用，逆用和变形用都是化简三角恒等式的重要手段，如就可以解决诸如的求值问题．所以在处理问题时要注意观察式子的特点，巧妙运用公式或其变形，使变换过程简单明了．（4）公式对分配律不成立，即．知识点四：理解并运用和角公式、差角公式需注意的几个问题1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式之间的内在联系（1）掌握好表中公式的内在联系及其推导线索，能帮助学生理解和记忆公式，是学好本部分的关键．（2）诱导公式是两角和、差的三角函数公式的特殊情况．，中若有为的整数倍的角时，使用诱导公式更灵活、简便，不需要再用两角和、差公式展开．2、重视角的变换三角变换是三角函数的灵魂与核心，在三角变换中，角的变换是最基本的变换，在历年的高考试题中多次出现，必须引起足够的重视．常见的角的变换有：；；；等，常见的三角变换有：切化弦、等．【考点剖析】考点一：两角和与差的正（余）弦公式例1．(2023·浙江省杭州第九中学高一期末）（

）A． B． C． D．答案：C【解析】.故选：C例2．(2023·江西九江·高一期末）已知，则（

）A． B． C． D．答案：A【解析】因为，所以（1），因为，所以（2），（1）+（2）得，∴.故选：A．例3．(2023·山东临沂·高一期末）（

）A． B． C． D．答案：C【解析】；；原式.故选：C考点二：两角和与差的正切公式例4．(2023·甘肃兰州·高一期末）（

）A． B．1 C． D．答案：C【解析】.故选：C.例5．(2023·吉林·东北师大附中高一阶段练习）的值为（

）A． B． C． D．答案：B【解析】，，.故选：B.考点三：给角求值例6．(2023·全国·高一课时练习）的值为（

）A．0 B． C． D．答案：D【解析】①②得：．故选：D例7．(2023·全国·高一课时练习）计算：（

）A． B． C． D．答案：C【解析】原式.故选：C.考点四：给值求值例8．(2023·全国·高一课时练习）已知，则等于（

）A． B． C． D．答案：B【解析】因为，所以，于是，从而．故选：B例9．(2023·全国·高一课时练习）已知，，且，，则（

）A．1 B．0 C．-1 D．答案：B【解析】因为，,所以，,因为，所以,因为，所以,所以,故选：B考点五：给值求角例10．(2023·北京市第五中学高一阶段练习）若，，且，是方程的两个根，则（

）A． B． C．或 D．或答案：B【解析】、是方程的两个根，，，，，即、,，则，则，故选：B．例11．(2023·江苏·金沙中学高一期末）已知，，，则（

）A． B． C． D．答案：D【解析】因为，，而，，所以，，，，所以．故选：D．考点六：利用两角和与差的余弦进行证明例12．(2023·上海·高一课时练习）阅读材料:根据两角和与差的正弦公式，有:，，由得，令,,有，，代入得.(1)利用上述结论，试求的值；(2)类比上述推证方法，根据两角和与差的余弦公式，证明:.【解析】（1）；（2）因为……①，……②，由①②得……③，令，，有，，代入③得.【真题演练】1．(2023·全国·高考真题）若，则（

）A． B．C． D．答案：C【解析】[方法一]：直接法由已知得：,即：，即：所以故选：C[方法二]：特殊值排除法解法一:设β=0则sinα+cosα=0，取，排除A,B；再取α=0则sinβ+cosβ=2sinβ，取β，排除D；选C.[方法三]：三角恒等变换所以即故选：C.2．(2023·北京市第五中学高一阶段练习）若，，且，是方程的两个根，则（

）A． B． C．或 D．或答案：B【解析】、是方程的两个根，，，，，即、,，则，则，故选：B．3．(2023·江西九江·高一期末）已知，则（

）A． B． C． D．答案：A【解析】因为，所以（1），因为，所以（2），（1）+（2）得，∴.故选：A．4．(2023·上海·华东师范大学第三附属中学高一阶段练习）已知，则________．答案：【解析】，即，所以.故答案为：5．(2023·湖北·郧阳中学高一阶段练习）若为偶函数，则__________.答案：【解析】，只要就为偶函数，，又，故.故答案为：.6．(2023·上海市金山中学高一期末）已知角终边上一点，则值为_____．答案：【解析】因为角终边上一点，所以，所以.故答案为：.7．(2023·上海市七宝中学附属鑫都实验中学高一期末）已知、，，，则______．答案：【解析】、，，，则，故答案为：.8．(2023·安徽合肥·高一期末）求解下列问题：(1)已知，为第二象限角，求和的值；(2)已知，，，为锐角，求的值.【解析】（1）由于，为第二象限角，所以，所以.（2）由于，为锐角，所以，由于，，所以，所以.9．(2023·江苏·滨海县五汛中学高一阶段练习）已知，.(1)求；(2)若角的终边落在点，求的值.【解析】（1），，且，，，则，，．，.（2）角的终边落在点，则则.10．(2023·上海·格致中学高一期中）已知，，且．(1)求的值；(2)求的值．【解析】（1）因为，所以．（2）因为，所以，又因为，所以，，所以，又，所以由，解得，所以，又，，故，所以．【过关检测】一、单选题1．(2023·全国·高一课时练习）已知，，则（

）A．1 B．-1 C． D．答案：A【解析】因为，，所以.故选：A.2．(2023·全国·高一课时练习）已知是关于x的一元二次方程的两个实数根，则（

）A． B．1 C． D．2答案：C【解析】∵是关于x的一元二次方程的两个实数根，∴．则．故选：C．3．(2023·全国·高一课时练习）锐角满足，那么（

）A． B． C． D．答案：C【解析】∵锐角满足，∴，则．∵，∴，∴，故选：C4．(2023·全国·高一课时练习）若，则（

）A． B．0 C．1 D．答案：B【解析】∵，∴或，∴，，∴．故选：B5．(2023·全国·高一课时练习）（

）A． B． C． D．答案：B【解析】由，原式．故选：B6．(2023·内蒙古·满洲里市第一中学高一期末）已知，，则的值为（

）A． B． C． D．答案：B【解析】因为，，所以.故选：B7．(2023·全国·高一课时练习）已知，，，则的值为（

）A．或0 B．0 C． D．答案：D【解析】∵，∴，∵，，∴，.则或0.∵，∴.故选：D8．(2023·四川成都·高一期末（文））已知都是锐角，若，，则（

）A． B． C． D．答案：B【解析】因为为锐角，，所以，因为都是锐角，所以，因为，所以，所以，故选：B二、多选题9．(2023·江苏·沛县教师发展中心高一阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，角、的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它们的终边分别与单位圆相交于、两点，若点、的坐标分别为和，则以下结论正确的是（

）A． B．C． D．答案：AD【解析】由三角函数定义可得，，，，A对B错；，，C错D对.故选：AD.10．(2023·辽宁·高一期中）若，则的值可能为（

）A． B． C． D．答案：AC【解析】由题意得，所以，所以的值可能为，．故选：AC11．(2023·江苏·星海实验中学高一期中）已知、、，且，则（

）A．若，则B．若，则C．、可能是方程的两根D．答案：AD【解析】对于A选项，由已知可得，解得，则，A对；对于B选项，因为，则，所以，，B错；对于C选项，对于方程，，若、可能是方程的两根，由韦达定理可得，，所以，，因为、、，则，从而，与题设矛盾，C错；对于D选项，因为，所以，，由B选项可知，所以，，D对.故选：AD.12．(2023·江西省万载中学高一阶段练习）已知为第一象限角，为第三象限角，且，，则可以为（

）A． B． C． D．答案：CD【解析】因为为第一象限角，所以，，因为，所以，所以是第二象