人教A版高一数学上学期期中期末必考题型归纳及过关测试专题16三角函数的概念及诱导公式(原卷版+解析)

专题16三角函数的概念及诱导公式【考点预测】1、任意角（1）角的概念（2）正角、负角、零角（3）象限角（4）终边相同的角2、弧度制（1）弧度的概念长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角．在半径为的圆中，弧长为的弧所对的圆心角为，那么．正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0．（2）弧度与角度的换算（3）关于扇形的几个公式设扇形的圆心角为（），半径为，弧长为，则有=1\*GB3①；=2\*GB3②；=3\*GB3③．3、三角函数的概念（1）三角函数的定义一般地，任意给定一个角，它的终边与单位圆相交于点．把点的纵坐标叫做的正弦函数，记作，即；把点的横坐标叫做的余弦函数，记作，即；把点的纵坐标与横坐标的比值叫做的正切函数，记作，即（）．正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数，通常将它们记为：正弦函数，；余弦函数，；正切函数，（）．设是一个任意角，它的终边上任意一点（不与原点重合）的坐标为，点与原点的距离为．可以证明：；；．（2）几个特殊角的三角函数值，，，的三角函数值如下表所示：函数不存在不存在（3）三角函数值的符号（4）诱导公式（一）终边相同的角的同一三角函数值相等．，，，其中．4、同角三角函数间的基本关系（1）平方关系．（2）商数关系．作用：（1）已知的某一个三角函数值，求其余的两个三角函数值；（2）化简三角函数式；（3）证明三角函数恒等式．5、诱导公式（1）公式二，，．（2）公式三，，．（3）公式四，，．小结：（1）（），，，的三角函数，等于的同名函数，前面加上把看成锐角时原三角函数值的符号．（2）利用公式一∼公式四，可以把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，一般可按下面步骤进行：（4）公式五，．（5）公式六，．小结：，的正弦（余弦），等于的余弦（正弦），前面加上把看成锐角时原三角函数值的符号．【典型例题】例1．(2023·湖北宜昌·高一期中）某地政府部门欲做一个“践行核心价值观”的宣传牌，该宣传牌形状是如图所示的扇形环面(由扇形挖去扇形后构成的)．已知米，米，线段、线段与弧、弧的长度之和为米，圆心角为弧度．(1)求关于的函数解析式；(2)记该宣传牌的面积为，试问取何值时，的值最大?并求出最大值．例2．(2023·黑龙江·哈尔滨市第一六二中学校高一期末）已知，且.(1)求的值；(2)求的值.例3．(2023·广东深圳·高一期末）如图，动点P，Q从点出发，沿圆周运动，点P按逆时针方向每秒钟转弧度，点Q按顺时针方向每秒钟转弧度，求P，Q第一次相遇时所用的时间､相遇点的坐标及P，Q点各自走过的弧长.例4．(2023·宁夏·银川二中高一期末）（1）已知，求的值；（2）已知，且，求的值.例5．(2023·广西·桂林市临桂区五通中学高一期中）(1)化简：；(2)已知角的终边经过点，求，的值；例6．(2023·江西省万载中学高一期中）（1）化简：（2）已知（n∈Z），求＋＋＋…＋的值.【过关测试】一、单选题1．(2023·山东东营·高一期中）若是锐角，则，是（

）A．第一象限角 B．第三象限角C．第一象限角或第三象限角 D．第二象限角或第四象限角2．(2023·浙江·杭州高级中学高一期末）如果2弧度的圆心角所对的弦长为4，那么这个圆心角所对的弧长为（

）A． B． C． D．3．(2023·上海·华师大二附中高一期中）设角属于第二象限，且，则角属于（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限4．(2023·黑龙江大庆·高一期末）已知，则（

）A． B． C． D．5．(2023·北京·北二外附属中学高一期中）（

）A． B． C． D．6．(2023·河南南阳·高一期中）已知角，且，则（

）A． B． C． D．7．(2023·广西南宁·高一期末）化简：（

）A． B． C． D．8．(2023·福建厦门·高一期末）如图，一质点在半径为1的圆O上以点为起点，按顺时针方向做匀速圆周运动，角速度为，5s时到达点，则（

）A．-1 B． C． D．二、多选题9．(2023·山东东营·高一期中）在平面直角坐标系中，角的始边为的正半轴，终边经过点，则下列式子正确的是（

）A． B．C． D．若为钝角，则10．(2023·辽宁·东北育才学校高一期中）下列四个选项，正确的有（

）A．在第三象限，则是第二象限角B．已知扇形OAB的面积为4，周长为10，则扇形的圆心角（正角）的弧度数为C．若角的终边经过点，则D．11．(2023·山东济宁·高一期末）（多选）已知，，则（

）A． B．C． D．12．(2023·黑龙江·大庆实验中学高一期中）下列计算或化简结果正确的是（

）A．若， B．若，则C．若，则 D．若为第二象限角，则三、填空题13．(2023·重庆八中高一期末）如图所示，弧田是由圆弧和其所对弦围成的图形，若弧田的弧长为，弧所在的圆的半径为4，则弧田的面积是___________.14．(2023·湖北宜昌·高一期中）已知角，则_______________________．15．(2023·安徽·砀山中学高一期中）已知，则______．16．(2023·辽宁·东北育才学校高一期中）若，，且，则的最大值为______．四、解答题17．(2023·广西梧州·高一期中）已知扇形的周长为30．(1)若该扇形的半径为10，求该扇形的圆心角，弧长及面积;(2)求该扇形面积的最大值及此时扇形的半径.18．(2023·新疆喀什·高一期末）已知，且为第二象限角(1)求的值；(2)求的值.19．(2023·山东东营·高一期中）已知角满足(1)若角是第三象限角，求的值;(2)若，求的值.20．(2023·上海市光明中学高一期中）（1）是否存在实数，使，使，，且是第二象限角？若存在，请求出实数；若不存在，情说明理由.（2）若，，求的值.21．(2023·陕西·榆林市第一中学高一期中（理））已知，．(1)求的值；(2)求的值．22．(2023·北京顺义·高一期末）在平面直角坐标系中，角（）和角（）的顶点均与坐标原点重合，始边均为轴的非负半轴，终边分别与单位圆交于两点，两点的纵坐标分别为，.(1)求，的值；(2)求的值.专题16三角函数的概念及诱导公式【考点预测】1、任意角（1）角的概念（2）正角、负角、零角（3）象限角（4）终边相同的角2、弧度制（1）弧度的概念长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角．在半径为的圆中，弧长为的弧所对的圆心角为，那么．正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0．（2）弧度与角度的换算（3）关于扇形的几个公式设扇形的圆心角为（），半径为，弧长为，则有=1\*GB3①；=2\*GB3②；=3\*GB3③．3、三角函数的概念（1）三角函数的定义一般地，任意给定一个角，它的终边与单位圆相交于点．把点的纵坐标叫做的正弦函数，记作，即；把点的横坐标叫做的余弦函数，记作，即；把点的纵坐标与横坐标的比值叫做的正切函数，记作，即（）．正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数，通常将它们记为：正弦函数，；余弦函数，；正切函数，（）．设是一个任意角，它的终边上任意一点（不与原点重合）的坐标为，点与原点的距离为．可以证明：；；．（2）几个特殊角的三角函数值，，，的三角函数值如下表所示：函数不存在不存在（3）三角函数值的符号（4）诱导公式（一）终边相同的角的同一三角函数值相等．，，，其中．4、同角三角函数间的基本关系（1）平方关系．（2）商数关系．作用：（1）已知的某一个三角函数值，求其余的两个三角函数值；（2）化简三角函数式；（3）证明三角函数恒等式．5、诱导公式（1）公式二，，．（2）公式三，，．（3）公式四，，．小结：（1）（），，，的三角函数，等于的同名函数，前面加上把看成锐角时原三角函数值的符号．（2）利用公式一∼公式四，可以把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，一般可按下面步骤进行：（4）公式五，．（5）公式六，．小结：，的正弦（余弦），等于的余弦（正弦），前面加上把看成锐角时原三角函数值的符号．【典型例题】例1．(2023·湖北宜昌·高一期中）某地政府部门欲做一个“践行核心价值观”的宣传牌，该宣传牌形状是如图所示的扇形环面(由扇形挖去扇形后构成的)．已知米，米，线段、线段与弧、弧的长度之和为米，圆心角为弧度．(1)求关于的函数解析式；(2)记该宣传牌的面积为，试问取何值时，的值最大?并求出最大值．【解析】(1)根据题意，弧的长度为米，弧的长度米，，．(2)依据题意，可知，化简得：，，当，．∴当时，y的值最大，且最大值为．例2．(2023·黑龙江·哈尔滨市第一六二中学校高一期末）已知，且.(1)求的值；(2)求的值.【解析】(1)因为，且，则为第三象限角，故，因此，.(2)原式.例3．(2023·广东深圳·高一期末）如图，动点P，Q从点出发，沿圆周运动，点P按逆时针方向每秒钟转弧度，点Q按顺时针方向每秒钟转弧度，求P，Q第一次相遇时所用的时间､相遇点的坐标及P，Q点各自走过的弧长.【解析】设、第一次相遇时所用的时间是秒，则．（秒，即第一次相遇的时间为4秒；设第一次相遇点为，第一次相遇时点已运动到终边在的位置，则，．点的坐标为，点走过的弧长为，点走过的弧长为．例4．(2023·宁夏·银川二中高一期末）（1）已知，求的值；（2）已知，且，求的值.【解析】（1）由知

原式=（2）

又

原式===例5．(2023·广西·桂林市临桂区五通中学高一期中）(1)化简：；(2)已知角的终边经过点，求，的值；【解析】（1）.（2）因为角的终边经过点，所以，所以，.例6．(2023·江西省万载中学高一期中）（1）化简：（2）已知（n∈Z），求＋＋＋…＋的值.【解析】（1）原式；（2）因为，所以函数的周期为6，，，，，，；由于，所以＋＋＋…＋.【过关测试】一、单选题1．(2023·山东东营·高一期中）若是锐角，则，是（

）A．第一象限角 B．第三象限角C．第一象限角或第三象限角 D．第二象限角或第四象限角答案：C【解析】是锐角，，，当k为奇数时，为第三象限角；当k为偶数时，为第一象限角.所以为第一象限角或第三象限角.故选:C.2．(2023·浙江·杭州高级中学高一期末）如果2弧度的圆心角所对的弦长为4，那么这个圆心角所对的弧长为（

）A． B． C． D．答案：A【解析】设半径为，所以．所以，所以弧长．故选：A．3．(2023·上海·华师大二附中高一期中）设角属于第二象限，且，则角属于（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限答案：C【解析】为第二象限角，，；当时，为第一象限角；当时，为第三象限角；为第一或第三象限角；，，为第三象限角.故选：C.4．(2023·黑龙江大庆·高一期末）已知，则（

）A． B． C． D．答案：A【解析】因为，且，所以，所以，故选：A5．(2023·北京·北二外附属中学高一期中）（

）A． B． C． D．答案：B【解析】故选：B6．(2023·河南南阳·高一期中）已知角，且，则（

）A． B． C． D．答案：A【解析】因为，所以，因为，所以且，所以，即，所以，所以；故选：A7．(2023·广西南宁·高一期末）化简：（

）A． B． C． D．答案：D【解析】,故选：D8．(2023·福建厦门·高一期末）如图，一质点在半径为1的圆O上以点为起点，按顺时针方向做匀速圆周运动，角速度为，5s时到达点，则（

）A．-1 B． C． D．答案：C【解析】设单位圆与轴正半轴的交点为，则，所以，，故.故选：C二、多选题9．(2023·山东东营·高一期中）在平面直角坐标系中，角的始边为的正半轴，终边经过点，则下列式子正确的是（

）A． B．C． D．若为钝角，则答案：CD【解析】因为角终边经过点，则对于：，故错误；对于：，故错误；对于：，故正确；对于：因为当，单调递减，而，即，所以，故正确.故选：CD.10．(2023·辽宁·东北育才学校高一期中）下列四个选项，正确的有（

）A．在第三象限，则是第二象限角B．已知扇形OAB的面积为4，周长为10，则扇形的圆心角（正角）的弧度数为C．若角的终边经过点，则D．答案：ABD【解析】对A：由题可得，则属于第二或者第四象限；，则属于第二或者第三象限或角度终边落在轴的负半轴上；故属于第二象限，A正确；对B：设扇形的圆心角为，半径为，圆心角对的弧长为，则，，解得，又，即，解得，B正确；对C：根据题意可得，故C错误；对D：因为，，故，故，D正确.故选：ABD.11．(2023·山东济宁·高一期末）（多选）已知，，则（

）A． B．C． D．答案：ABD【解析】因为①，所以，所以．又，所以，所以，即，故A正确．，所以②，故D正确．由①②，得，，故B正确．，故C错误．故选：ABD．12．(2023·黑龙江·大庆实验中学高一期中）下列计算或化简结果正确的是（

）A．若， B．若，则C．若，则 D．若为第二象限角，则答案：AB【解析】对于A选项：，，故A正确；对于B选项：，则，故B正确；对于C选项：∵范围不确定，∴的符号不确定，故C错误；对于D选项：为第二象限角，,,故D错误.故选：AB.三、填空题13．(2023·重庆八中高一期末）如图所示，弧田是由圆弧和其所对弦围成的图形，若弧田的弧长为，弧所在的圆的半径为4，则弧田的面积是___________.答案：【解析】根据题意，只需计算图中阴影部分的面积，设，因为弧田的弧长为，弧所在的圆的半径为4，所以，所以阴影部分的面积为所以弧田的面积是.故答案为：14．(2023·湖北宜昌·高一期中）已知角，则_______________________．答案：【解析】由题意得：，故角是第三象限角，则，故，故答案为：15．(2023·安徽·砀山中学高一期中）已知，则______．答案：【解析】因为，所以，故答案为：16．(2023·辽宁·东北育才学校高一期中）若，，且，则的最大值为______．答案：【解析】由，得，因为，所以，则，当且仅当，即时，取等号，所以的最大值为.故答案为：.四、解答题17．(2023·广西梧州·高一期中）已知扇形的周长为30．(1)若该扇形的半径为10，求该扇形的圆心角，弧长及面积;(2)求该扇形面积的最大值及此时扇形的半径.【解析】（1）由题知扇形的半径，扇形的周长为30，∴，∴，，.（2）设扇形的圆心角