高中数学选择性必修2课件：周练5 (范围：5 3 1～5 3 2)(人教A版)

第五章

周练5

(范围：5.3.1～5.3.2)一、基础达标1.已知函数y＝xf′(x)的图象如图所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，下面四个图象中，y＝f(x)的图象大致是(

)C解析由题图知，当－2<x<－1时，xf′(x)<0，∴f′(x)>0.∴当－2<x<－1时，函数y＝f(x)单调递增.当－1<x<0时，xf′(x)>0，∴f′(x)<0.∴当－1<x<0时，函数y＝f(x)单调递减.当0<x<1时，xf′(x)<0，∴f′(x)<0.∴当0<x<1时，函数y＝f(x)单调递减.当x>1时，xf′(x)>0，∴f′(x)>0.∴当x>1时，y＝f(x)的单调递增.故选C.2.对任意的x∈R，函数f(x)＝x3＋ax2＋7ax不存在极值点的充要条件是(

) A.0≤a≤21 B.a＝0或a＝7 C.a<0或a>21 D.a＝0或a＝21A解析

f′(x)＝3x2＋2ax＋7a，当Δ＝4a2－84a≤0，即0≤a≤21时，f′(x)≥0恒成立，函数f(x)不存在极值点.3.定义在R上的函数f(x)，若(x－1)·f′(x)<0，则下列各项正确的是(

) A.f(0)＋f(2)>2f(1) B.f(0)＋f(2)＝2f(1) C.f(0)＋f(2)<2f(1) D.f(0)＋f(2)与2f(1)大小不定C解析

∵(x－1)f′(x)<0，∴当x>1时，f′(x)<0；当x<1时，f′(x)>0，则f(x)在(1，＋∞)上单调递减，在(－∞，1)上单调递增，∴f(0)<f(1)，f(2)<f(1)，则f(0)＋f(2)<2f(1).C解析设底面边长为x，5.已知f(x)是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf′(x)＋f(x)≤0，对任意的正数a，b，若a<b，则必有(

) A.bf(b)≤af(a) B.bf(a)≤af(b) C.af(a)≤bf(b) D.af(b)≤bf(a)A解析

设g(x)＝xf(x)，x∈(0，＋∞)，则g′(x)＝xf′(x)＋f(x)≤0，∴g(x)在区间(0，＋∞)上单调递减或g(x)为常函数.∵a<b，∴g(a)≥g(b)，即af(a)≥bf(b)，故选A.6.函数f(x)＝2x3－6x2＋m(m为常数)在区间[－2，2]上有最大值3，则在区间[－2，2]上的最小值为________.－37解析f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)，由题意知，在区间[－2，2]上，x＝0是f(x)的最大值点，∴f(x)max＝f(0)＝m＝3.∵f(－2)＝－16－24＋3＝－37，f(2)＝16－24＋3＝－5，∴f(x)min＝－37.7.某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存诸费为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x＝________吨.207.某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存诸费为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x＝________吨.208.已知函数f(x)＝2xlnx，g(x)＝－x2＋ax－3对一切x∈(0，＋∞)，f(x)≥g(x)恒成立，则a的取值范围是___________.(－∞，4]解析

由2xlnx≥－x2＋ax－3，当x∈(0，1)时，h′(x)<0，h(x)单调递减，当x∈(1，＋∞)时，h′(x)>0，h(x)单调递增.∴h(x)min＝h(1)＝4.又f(x)≥g(x)恒成立，∴a≤4.令f′(x)>0，解得x>e－2，令f′(x)<0，解得0<x<e－2，所以f(x)在(0，e－2)上单调递减，在(e－2，＋∞)上单调递增.10.一艘轮船在航行中每小时的燃料费和它的速度的立方成正比.已知速度为每小时10海里时，燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，

问轮船的速度是多少时，航行1海里所需的费用总和最小？令q′＝0，解得v＝20.∴当v<20时，q′<0；当v>20时，q′>0，∴当v＝20时q取得极小值，也是最小值，即速度为20海里/时时，航行1海里所需费用总和最小.二、能力提升11.(多选题)已知函数f(x)＝xlnx＋x2，x0是函数f(x)的极值点，以下几个结论中正确的是(

)AD解析

函数f(x)＝xlnx＋x2(x>0)，∴f′(x)＝lnx＋1＋2x，易知f′(x)＝lnx＋1＋2x在(0，＋∞)上单调递增，∵x0是函数f(x)的极值点，∴f′(x0)＝0，二、能力提升11.(多选题)已知函数f(x)＝xlnx＋x2，x0是函数f(x)的极值点，以下几个结论中正确的是(

)AD解析

函数f(x)＝xlnx＋x2(x>0)，∴f′(x)＝lnx＋1＋2x，易知f′(x)＝lnx＋1＋2x在(0，＋∞)上单调递增，∵x0是函数f(x)的极值点，∴f′(x0)＝0，即lnx0＋1＋2x0＝0，C不正确.故答案为AD.12.直线y＝a与函数y＝x3－3x的图象有三个相异的交点，则a的取值范围是______________.(－2，2)解析

f′(x)＝3x2－3，令f′(x)＝0，得x＝1或x＝－1.因为当x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)时，f′(x)>0，当x∈(－1，1)时，f′(x)<0，所以f(x)极小值＝f(1)＝－2，f(x)极大值＝f(－1)＝2.函数y＝x3－3x的大致图象如图所示，所以－2<a<2.(2)求f(x)的单调区间；所以当a≤0时，f(x)的单调递增区间为(0，＋∞).三、创新拓展14.(多选题)已知函数f(x)＝sinx＋x3－ax，则下列结论正确的是(

) A.f(x)是奇函数 B.若f(x)是增函数，则a≤1 C.当a＝－3时，函数f(x)恰有两个零点 D.当a＝3时，函数f(x)恰有两个极值点ABD解析

对A，f(x)＝sinx＋x3－ax的定义域为R，且f(－x)＝sin(－x)＋(－x)3＋ax＝－(sinx＋x3－ax)＝－f(x).故A正确.对B，f′(x)＝cosx＋3x2－a，因为f(x)是增函数，故cosx＋3x2－a≥0恒成立.即a≤cosx＋3x2恒成立.令g(x)＝cosx＋3x2，则g′(x)＝6x－sinx，设h(x)＝6x－sinx，h′(x)＝6－cosx>0，故g′(x)＝6x－sinx单调递增，又g′(0)＝0，故当x<0时g′(x)<0，当x>0时g′(x)>0.故g(x)＝cosx＋3x2最小值为g(0)＝1.故a≤1.故B正确.对C，当a＝－3时由B选项知，f(x)是增函数，故不可能有两个零点，故C错误.对D，当a＝3时f(x)＝sinx＋x3－3x，f′(x)＝cosx＋3x2－3，令cosx＋3x2－3＝0则有cosx＝3－3x2.在同一坐标系中作出y＝cosx，y＝3－3x2的图象易得有两个交点，且交点左右的函数值大小不同.故函数f(x)恰有两个极值点.故D正确.故选ABD.备用工具&资料即a≤cosx＋3x2恒成立.令g(x)＝cosx＋3x2，则g′(x)＝6x－sinx，设h(x)＝6x－sinx，h′(x)＝6－cosx>0，故g′(x)＝6x－sinx单调递增，又g′(0)＝0，故当x<0时g′(x)<0，当x>0时g′(x)>0.故g(x)＝cosx＋3x2最小值为g(0)＝1.故a≤1.故B正确.对C，当a＝－3时由B选项知，f(x)是增函数，故不可能有两个零点，故C错误.12.直线y＝a与函数y＝x3－3x的图象有三个相异的交点，则a的取值范围是______________.(－2，2)解析

f′(x)＝3x2－3，令f′(x)＝0，得x＝1或x＝－1.因为当x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)时，f′(x)>0，当x∈(－1，1)时，f′(x)<0，所以f(x)极小值＝f(1)＝－2，f(x)极大值＝f(－1)＝2.函数y＝x3－3x的大致图象如图所示，所以－2<a<2.10.一艘轮船在航行中每小时的燃料费和它的速度的立方成正比.已知速度为每小时10海里时，燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，

问轮船的速度是多少时，航行1海里所需的费用总和最小？解析由题图知，当－2<x<－1时，xf′(x)<0，∴f′(x)>0.∴当－2<x<－1时，函数y＝f(x)单调递增.当－1<x<0时，xf