人教A版2019-2020学年天津某中学高一第一学期期末数学试卷 含解析

2019-2020学年高一（上）期末数学试卷

一、选择题（本题共10小题）

1.函数尸（x）=In（A+1）-Z的零点所在的大致区间是（)

X

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

2.设a=3°\Z>=log32,c=cosA兀，则()

3

A.c<b<aB.c<a<bC.a<b<cD.b<c<a

nTT1

3.若--],cos29=-—则sin0=()

428

V74

A.—3C.D.

4

TT

4.下列函数中,以-不为最小正周期的偶函数是（)

A.y=sin2A+cos2xB.y=sin2^cos2x

兀

C.y=cos(4A+-^-)D.y=s\n2x-cos22x

5.在△48。中，满足tan小tan^>1,则这个三角形是（）

A.正三角形B.等腰三角形C.锐角三角形D.钝角三角形

o兀

6.已知tan(a+B)=—,tan(B----)-则tan(Q+--)的值等于（）

5444

13C.13

B，22D

1822-i

7.将函数y=V3cosx+sinx（x€R）的图象向左平移m（m>0）个单位长度后，所得到的

图象关于V轴对称，则加的最小值是（）

2EcC兀

A-TD

•616

8.函数y=4sin（3/0）在一个周期内的图象如图，此函数的解析式（）

兀

B.j<=2sin(2A+--)

3

TTTT

C.y=2sin(-------)D.y=2sin(2x-------)

233

9.对于函数A(x)=sin(2A+—)的图象，①关于直线x-茶■称；②关于点(器,

61212

TT

0)对称；③可看作是把y=sin2x的图象向左平移---Q单位而得到；④可看作是把y=

6

JT1

sin(A+—)的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的二倍而得到.以上叙

62

述正确的个数是()

A.1个B.2个C.3个D.4个

2lA

10.已知函数f(x)=sin-'n-+-1-sinwx-(o)>0),xGR,若尸(x)在区间(TT,2

n)内没有零点，则3的取值范围是()

A.(0,B.(0,-^]U1)

C.(0,D.(0,U掾]

8848

二.填空题(共6小题)

4

11.已知点P(x,3)是角。终边上一点，且cose=-『，则x的值为______.

5

12.已知-VaVn,且cos(a—)=——,则cosQ的值为.

265-----------

13,已知一个扇形的弧长为Tic叫其圆心角为卫则这扇形的面积为cm.

4

14.已知函数f(x)=as\nx^btanx-1(a,6£R),若/(-2)=2018,则f(2)=.

15.定义在R上的奇函数f(x)满足：对于任意x£R有f(A+3)=-f(x).若tana=

2,则f(15sinacosa)的值为.

f7

—X4,2(X40)

16.己知函数f(x)=3,g(x)=J§sinA+cosA+4,若对任意±e[-3,

-X2+2X+3(X>0)

IT

3],总存在s€[0,—使得f(t)+aWg(s)(a>0)成立，则实数a的取值范

围为.

三、简答题(共4小题)

H4

17.已知0VaV--,sina=—.

25

(I)求tana的值;

(II)求cos(2a4^-)的值；

兀1

(川)若OVB且cos(a+3)=-—,求sinB的值.

TT1

18.已知-=-<x<0,sinx+cosx=-r.

25

(I)求sinx-cosx的值.

c・2xc.xx2x

(II)求3sinq-2sin万c。用~+fcosq的值.

tanx+cotx

兀兀

19.已知函数f(x)RtanxsinGT-xhosG^一丁)-炎；

c»O

(1)求/(x)的定义域与最小正周期；

ITJT

(2)求尸(x)在区间［号，亍］上的单调性与最值.

2

20.已知函数f(x)=m-—是定义在R上的奇函数，

2X+1

(1)求实数m的值；

(2)如果对任意xGR,不等式f(2a+cos2x)+f(4sinxS”T-7)<0恒成立，求实

数a的取值范围.

参考答案

一、选择题(共10小题)

1.函数r(x)=/〃(/1)-2的零点所在的大致区间是()

X

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

【分析】函数f(x)=/n(A+1)-2的零点所在区间需满足的条件是函数在区间端点

x

的函数值符号相反.

解：Vf(1)=/n(1+1)-2=/ril-2<0,

而f(2)=/n3-1>/ne-1=0,

二函数2(x)=In(A+1)-2的零点所在区间是(1,2),

X

故选：B.

2.设a=3°:6=log32,c=cos三兀，则()

3

A.c<b<aB.c<a<bC.a<b<cD.b<c<a

【分析】首先根据所给的三个数字，按照对数函数和指数函数的性质进行比较，第一个

数字第一个数字3°5>3°=1,第二个数字=log3lVlog32Vlog33=1,第三个数字求出结

果小于0,最后总结最后结果.

解：；在a=305,b=log_2,c=cos|■兀，三个数字中，

第一个数字3°">3°=1,

第二个数字0=log3lVlog32Vlog33=1

第三个数字cos2?L=--l<o

32

故选:A.

ITJT1

3.若-,——],cos28=-上则sin6=()

428

A.—B.—C.近D.冬

5445

【分析】根据余弦函数的倍角公式即可得到结论.

解：Vcos29=-4-=1-2sin2e,

8

故选：B.

4.下列函数中，以1-为最小正周期的偶函数是()

A.y=sin2A+cos2xB.y=sin2gos2x

兀

C.y=cos(4A+-^-)D.y=sin2x-cos22x

【分析】根据三角函数的奇偶性和周期性分别进行判断即可得到结论.

TTOJT

解：函数y=sin2A+cos2x=sin(2A+---)的周期为上——=n,且为非奇非偶函数;

42

1QTTJF

函数XsinZjrcosZxnAirvlx的周期为---=---,且为奇函数；

242

JT0TTTT

函数y=cos(4x+)=sin4x的周期为上——=,且为奇函数；

242

ojTJT

函数y=sin22x-cos22x=-cos4x的周期为上——=--,且为偶函数；

42

故选：D.

5.在△脑中，满足tan/。tan5>1,则这个三角形是()

A.正三角形B.等腰三角形C.锐角三角形D.钝角三角形

【分析】由条件可得4、8都是锐角，t2”>0,t2门5>0,再由tan(左8)=tanA+tanB

l-tanA*tanB

<0,可得出'8为钝角，C为锐角，由此得出结论.

解：*.,在△48C中，满足tan4・tan5>1,8都是锐角，tan/>0,tan5>0.

再由tan(伞8)=tanA+tanB0,可得出为钝角，故由三角形内角和公式可得C

l-tanA*tanB

为锐角.

综上可得这个三角形是锐角三角形.

故选：C.

9TT1K

6.已知tan(a+3)=—,tan(0-------)=—,则tan(a+-----)的值等于()

5444

A.B.Ac.也D.A

18222218

Jrjr

【分析】由于a+—1=(a+0)-(。——),利用两角差的正切即可求得答案.

44

解：•.、(！(a+B)=—,tan(B-——)=—,

544

7r_tan(Q+P)-tan(P-y)

tan(a+—)=tan[(a+0)-(P--)]=----------------------------=

44l+tan(a+B)tan(8^-)

2_J_

5~~T_3

W,

故选：B.

7.将函数y=V3cosx+sinx(x€R)的图象向左平移m(m>0)个单位长度后，所得到的

图象关于y轴对称，则加的最小值是()

【分析】函数解析式提取2变形后，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦

函数，利用平移规律得到平移后的解析式，根据所得的图象关于y轴对称，即可求出m

的最小值.

解:/=^/3COSA+Sinx=2(^^COSA+-^-Sinx)=2si/兀、

n(^+―),

O

_1T兀

・••图象向左平移加(m>0)个单位长度得到y=2sini[(/加+---]=2sin(A+m--),

33

・・•所得的图象关于V轴对称，

TT1T

:.*—=kn+—(keZ),

32

TT

由于m>0则m的最小值为——・

96

故选：4

8.函数y=4sin(3/6)在一个周期内的图象如图,此函数的解析式()

X

A.y=2sin(2肝乙、)B.y=JT

2sin(2A+---)

33

兀IT

C.y=2sin(Y-----)D.y=2sin(2x----)

233

【分析】由函数的最值求出A,由周期求出3,把点（-五，2）代入函数的解析式求

出。的值，从而求得此函数的解析式.

解：由函数的图象可得函数的最大值为2,最小值为-2,故有/=2.

再由函数的周期性可得/叮=/・彳=果_（喂），解得3=2.

把点（-*，2）代入函数的解析式可得2sin［2X（-*）+中］=2,：.2X（一★）

ITOJT

+0=2Zrn+---,kGz,解得。=2〃口+^—z.

23

故函数的解析式为y=2sin（2A+2ATT+23）,kGz,考查四个选项，/符合题意

O

故选：A.

9.对于函数A（x）=sin（2A+，L）的图象，①关于直线L-二］对称；②关于点（器,

61212

0）对称；③可看作是把尸sin2x的图象向左平移口^单位而得到；④可看作是把尸

sin（A?JT）的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的1小倍而得到.以上叙

62

述正确的个数是（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【分析】利用正弦函数的图象和性质，函数y=/1sin（3/。）的图象变换规律，得出

结论.

JTJT

解：对于函数f（x）=sin（2x+--）的图象，令X=-；M，求得f（x）=0,不是最

值，故①不正确；

令*=号，求得A（x）=0,可得/（x）的图象关于点（詈，0）对称，故②正确；

ITJT

把y=sin2x的图象向左平移;二个单位，得到y=sin（2/:二）的图象，故③不正确；

63

gy=sin（*■］j一r）的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的2I倍，

62

JT

得到函数F（x）=sin（2A+—）的图象，故④正确，

6

故选：B.

10.已知函数"x）=sin?号gsin3x-［（3＞。），xSR,若"x）在区间（n,2

n）内没有零点，则3的取值范围是（)

C.(0,3D.(0,A]u[1,

o4o

-

【分析】函数f(x)=^~sin(3x-^)，由〃(X)=。，可得sin(3x-^~)=。，

71

解得i兀气阵(n,2n),因此34得，卷)。得，"|")U(看，U•••=

-0

Q),即可得出.

.23x1.1-cos3x

解：函数f(x)=sin+-^-sin3x-11

2~1~2

由f(x)=0,可得sin(3x-7")=°，

解得x=k冗?庄(n,2n),

-W

‘3阵得’7)u得,7)u卷9)u…=e,7)u(pQ),

Vf(x)在区间(n,2n)内没有零点，

.•.3G(0,j]U[-j)

o3G

故选：D.

二.填空题(共6小题)

A

11.已知点。(x,3)是角e终边上一点，且cose=-等，则x的值为-4.

5

【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义，求得X的值.

X4

解：1•点。(x,3)是角。终边上一点，且cose=/0-----,.,.x=-4,

3+95

故答案为：-4.

12.已知？L<a<n,且cos(a—^-)=--,则cosa的值为,

265-10

【分析】根据同角的三角函数的关系结合两角和的余弦公式即可求出.

解：aVn,

■:cos(a—)=--,

65

兀?

，sin(Q——)=—,

bb

JIJI\IjLJIJI

.­.cosa=cos[(a-—)+—]=cos(a-—)cos--sin(a-—)sin—=-

666666

4yM31_-3-473

--zx-------AV,------------.

525210

故答案为：T-4遮.

10

jr

13.已知一个扇形的弧长为TTcm,其圆心角为一，则这扇形的面积为2ncm.

4

【分析】根据弧长公式求出对应的半径，然后根据扇形的面积公式求面积即可.

JT

解：二•弧长为TTC勿的弧所对的圆心角为——,

4

工半径r=n=4,

T

这条弧所在的扇形面积为5^—XnX4=2ncnf.

2

故答案为：2n.

14.已知函数，(x)=asinx+/rtanx-1(a,6GR),若A(-2)=2018,贝4f(2)=-

2020.

【分析】根据题意，求出2(-x)的解析式，进而可得f(.x)+f(-x)=-2,结合A

(2)的值，就是可得答案.

解：根据题意，函数f(x)=asinjr+/rtanx-1,则f(-x)=asin(-x)+/>tan(-x)

-1=-(asinx+Zrtanx)-1,

则有f(x)+f(-x)=-2;

又由/(-2)=2018,则2(2)=-2020;

故答案为：-2020.

15.定义在R上的奇函数f(x)满足：对于任意xER有，(A+3)=-A(x).若tana=

2,则f(15sinacosa)的值为0.

【分析】先求出函数的周期，然后根据同角三角函数关系求出15sinacosa的值，利用

周期性进行化简，最后根据奇函数的性质进行求解.

解：\•对于任意xGR有2(卢3)=-2(x).

Af(A+6)=f(x)即7=6

Vtana=2

•\15sinacosa=6f(15sinacosa)=f(6)=f(0)

・・•定义在R上的奇函数f(x)

/.f(0)=0f(15sinacosa)=f(6)=f(0)=0

故答案为0

’7

—x+3(x^O)-

16.己知函数f(x)=《3,g(%)=..y3sinA+cosA+4,若对任意士£[-3,

-X2+2X+3(X>0)

TT

3],总存在s€[0,—使得f(t)+aWg(s)(a>0)成立，则实数a的取值范

围为(0,2].

【分析】求出f(x)和g(x)的值域，根据存在性和恒成立问题，求出a的范围.

解：对于函数/(*),当后0时，f(x)=9x+3,由-3W后0,可得e[-4,

3],

当x>0时，f(x)=-X2+2A+3=-(x-1)，4,由0〈后3,可得f(x)G[0,4],

对任意tG[-3,3],f(t)e[-4,4],

TT

对于函数g(x)=\,,r3sinA+cosA+4=2sin(A+——)+4,

6

•.•XG[O,三，.2LG[2L,Zn],

2663

Jg(x)G[5,6],

一TT_

I.对于s£[0,,使得g(s)£[5,6],

TT

・・•对任意亡£[-3,3],总存在s£[0,—],使得尸(七)+&Wg(s)(a>0)成立，

:.a+4W6,

解得0V3W2,

故答案为：(0,2]

三、简答题(共4小题)

17*已知0VaV----,sina=-

25

(I)求tana的值；

(II)求cos(2a4*^-)的值；

兀1

(III)若0VBV-]_且cos(Q+B)=-右求sinB的值.

【分析】(I)根据同角的三角函数的关系即可求出,

(II)根据二倍角公式和两角差的余弦公式即可求出,

(II)根据同角的三角函数的关系结合两角差的正弦公式即可求出

解：(I):0VaV-----,sinQ=

25

.♦.cosa=71-sin2Cl=p

.„__sind._4

••t+annQ

cosa3F

.24.

(II)■:sin2a=2sinacosa=-----,cos2a=cos2a-si

2525

_24)__31点

••cos(2a=^-^-(cos2a-sin2a)(——

22252550

KK

(III)V0<a<—,0<3<—,

22

A0<a+P<n,

Vcos(a+B)=-

Asin(a+B)

2

sin0=sin[(a+0)-a]=sin(a+0)cosa-cos(a+B)sina=°

10

兀1

18.已知sinx+cosx=".

25

(I)求sinx-cosx的值.

c・2xc・xx,2x

(II)求Ssinq-Zsin万c。可+cos5的值.

tanx+cotx

TT

【分析】(I)由-7「VxV0可知x是第四象限角，从而sinxVO,cosx>0,由此可

知sinx-cosx<0.再利用平方关系式求解.(sinx-cosx)2=(sin/cosx)2

4sinxcosx.然后求解即可.

Q-2_x__.2_x.2x_

(II)利用二倍角公式以及切化弦，化简,sinq-Z0sin万co7+cos万，利用第一

tanx+cotx

问的结果，代入求值.

兀

解：(I),:——<x<0,1.sinxV。，cosx>0,则sinx-cosxVO,

又sinA+cosx=工，平方后得到1+sin2x=」-,

525

/.sin2x=-(sinx-cosx)2=1-sin2x=-^-

2525

又•.•sinx-cosx<0,

・

..si.nx-cosx=----7-.

5

.2x.x

(II)3Qsin--2sm-co

tanx+cotx

2sin2'1-1-2sinx+2

]

sinxcosx

=(-cosx-sinA+2)sinxcosx

=(2+(易

_108

125

jljf

19.已知函数f(x)RtanxsintHy-x)cos(x^—)-^3:

/o

(1)求2(x)的定义域与最小正周期；

ITIT

（2）求，（x）在区间［号，亍］上的单调性与最值.

【分析】（1）根据tanx有意义得出定义域；利用三角恒等变换化简尸（x）,得出f（公

的周期；

(2)根据正弦函数的单调性求出f(x)的单调区间，根据单调性计算最值.

解：(1)由tanx有意义得,kGZ.

JT

Af(x)的定义域是｛x|x卉k兀丁，k€Z),

7rTT

"x)=4tarurcosj«)os(x-------)-%”=4sin^cos(x----)一万=2siIIACOSA+2y；3sinx

33

兀

=sin2A+J§(1-cos2x)-J§=sin2x-J§cos2x=2sin(2x-------).

3

/.f(x)的最小正周期r=w^-=n.

(2)令-W2x-兀+2Zrn,解得-，工+々n'匹keZ.

2321212

鼻型解得巫〃后

4^——^2/rnW2x-9n,dnW幸A