西安交大西工大 考研备考期末复习 线性代数复习

践性代数复习

一、矩阵（向盘）的运算及性质

1.数殂的矩阵表示：

必=，内+a12x2+…+q〃巧

为=。2内+。22巧+••.+%/

若右战性变换T：

[%二〃,〃内+册2%2+...+%〃/〃

%2°a\n

a2\a22,"a2n

—你为mxn的矩阵.

记y=一称为k7饰夕!向依或HZX1的列矩阵，X=一称为〃州列向量或nx1的列拉阵，A=

a

41金2•"mn,

«的T.y=Ax,-^y=T(x)—Ax.7—A(一一对应)

71=30

乃

a

%=a2x22x2

=Ax.这里.

特别地，苏布T:•y和X—都为n锦列向妣,y

旧二%/

010、

。21

A=

称为〃阶对角唯y=T(x)=Ax若〃j=l,，=1,2,・一,〃.记/!=£"〃=/称为n阶单位阵,

1°1°

T<^En.称r为恒等变换：

2短阵的向盘表示：设A=（aij）,nxn=•A的种分块短阵，

'匹'

d1,•••,日〃爱A的〃个例维列向量孤于是»=AJ=（R]ccn):=/。]+•—I-xn(xn粽向附y是a[,,,,,a”的城性姐合.

〃/

‘硝-T1

记B：—(ailai2

ain）i=1,2,…,"z,则A=:灰,…,现是A的机个〃维行向盘组.于是

力工、

y=Ax=:x=

（一般地，把行向瞅写成列向值的HW>

吃

冏I

⑻

日.)=肉

.-.A=(a।a2是A=（。状）/wxw的两种特姝形式的分块矩阵.

3.矩阵（或向地）的线性运算及乘枳运算：

加减：若A=(tz-)/WXH.B=(b-)ZHXM.MA+B=(%4-b-)mxn.两矩料M加减必须具有相同行和列.

数乘：kA=网气)mxn=(kcig)tnxn,矩阵数来必须每个元素都数来，

n

乘积=若A=(%)〃jx"•B=(by)nxf.A3能相乘必须要求A的列数=B的行数。此时，AB=(g)mxf.其中,Cg=Z。欣%

k=\

在相乖条件下有分配律：A(B4-C)=AB+AC,结合彻A{BC)=(AB)C=ABC.淡说来.ABw84.即交换律不-定成立.

k+Ik

但是.若A=(劭)〃x〃A为〃阶方阵，2,0为正整数,称A”是A的左次品阵.于是力A”•A=A.(A")'=A".若A=0称A为k次修零阵，.

a八

芥a—-B'=(仇…〃“)・

<an

血々…a也八

T：(仇…包)=T

则⑴a•b=©=(与)筋广n阶方阵,由此R(C)<min(S,b)<1.若Cj：至少有个为非零.则

a他

\n)(a…anbn)

R(C)=1、

⑵针・G=(bi…b

n=(〃/]+612b2+•••+a也)ixi=+a2b2+•••+anhn.一阶方阵为数.称数

TT

+a2b2T—a,h是向量a,b的内积(或数量积)，线性代数中记为[a,b]=b.a.高数中记为2•B.此时，由乘积结合律

k[T

(a•B，)卜=a・(B•a)~•b=(。向+-・+。也广(〃.£丁)

，b

4.转置运姒设A=(%)wxn,则称B=A=(%)小m，ija：j为A的转置地阵,4,中第z行第j列元素怡为A的第i钝第j行元藏运篁现律：(A7)7=A.

(A+B)T=AT+BT.(AA)T=AAT.(AB)T=BTAT^ATBT

5,分块矩阵的战性运算，乘积月算和矩阵类似;

设A=(%)林〃,B=(%)a-C=AB=Sj)mx『

此时,C=AB=A(bxb2…”)=(A仇Ab2…Ab,)-这是C的一种分块,Ab(i=1,2,…,2是。的列向量组.

H、G：B、

C=AB=B=一这是C的另种分块.

a；Bi=1,2,••♦,〃z足C的行向团组.

若C=G…),MIJCj=Abji=l,2,…，2

由短阵的分块运算,若a1,a2,ct,„足同推向量机(分量个数相同),则a],a?，a〃？的一个找性组合为，

6氏+攵2%+…+匕〃区〃=6…匕)-arcx，2»(xm为列向微组：

k]al4-k2o^2-----kmam=(5j•••afn):&”a2,&,〃为行向做织.

mk

(20]

00

例：设A=—1=1]J,求(ABp

-12'

\/

(242、/、

解：•.AB=—1—30.BA=\.于是.

(AB)i°°=A(BA)"3=A

'-3-11、

1l)=-2"-6-22

、—9-33,

a\hn

•••.这里+—Faflbn

a.b,1

初等变换和初等方阵

i.初等行(或列)变换：记4«->/：(或c-<->c")—交换第i行(或列)和第j行(或列)对陶元素.krt(或kci)—第i行(或列)对应元索乘人借.5+krj(或cf+kc,)——第j行(城列)匕元素的

k倍加到第i行侬列)上的对应元武

斤“。为xkn+krj

2.初等方普：对n阶单位附进行•次初等变换得到的矩阵称为初等方阵.E,?E„(iJ).E„->E“(i(k)ME“—E(i,j(k))

(或qc(?j)(或q")(或q+g)n

(i>初等先降En(i,j),En(i(ky)(ZwO).E“(i,/(A))都是可逆阵.并且

1

巴(i,j))-=E„(i,/).(£“"(&))『=£„(i(1)).(£„(i,/(4))『=En).

⑵对A=(ciy)ntxn施行一次初等行(或列)变帙得到的拉阵相当于在A的左方(或右方)乘卜一个相应的m阶(或n阶)初等方阵.即

rfjq+kCj

A~A=A=&(i,/)A.A~A2<=>A2=AEn(ija))

(行变换一左乘初等方阵，列变换一右乘初等方阵〉

-1

'010、’010、'100、

=©(1,2)尸=/(1,2),乂

解r由于100=£3(1,2)....100010=心(3,2(2))

a。"

1001J、021,

-1

'100、q00)

010=(&(3,2(2))广=当(3,2(—2))=010•于是,

<021,*-21>

‘1-43](20-n’20-f

20-1E3(3,2(-2))=1-433(3,2(—2))=1-411

J-2oj11-2

ojU—24j

aa%3、aafO10A(10O'

\\\2'21a2223

aaa

例2：选抹器,设A二~2\2223B=a\2413<=100/2=010.wm<).(A)

a+

aa33^13/1。。U。1J

/313233j【。3】+。11a32+a【2

APP=B,<B)<C)

}2AP2P1P}P2A=B,^P2P}A=B

料由PP故选

x=£3(1,2),2=E3(3,1(1)),(C,

■,利用行列式的性质计算低阶和〃阶行列式的侦

1.行列式的初等变换性质（以行变换为例/

D—D].Q]是£）作乙•—。后的行列式：

俨1

D=—D,.Dx是D作x&,（2工0）后的行列或

伏M）k

ri+kri

D=D].D]见£）作乙+后的行列式.

推心⑴⑼=kn\A\w愀4|•其中A=(附)〃x〃♦行列式数乘和矩阵数乘法则是不相同的,（着若行列式Q的：行（戒：列）的应元素成比例,则£）=0

a\\%2"1〃%1a\21"a\na\\a\2a\n

2Dbb瓦八•而

=Cli\+i\ai2+"i2…4力+a?ai\ai2­••ain+i\坛

an\an2…明〃an2,••annan\a〃2

•,•%”+瓦、

a11+如a\2+々2

C=

Si+21%2+%,…ann+b,m)

即行列式的加法与矩阵的加法运算法则是不相同的，此时.|c||A|+1B|

方阵A=）〃x〃的行列式性质r⑴

I4=|A[.4=(a-)〃xM⑵网=卜

⑶B=（%）〃x〃.则I=〔A悯=[BA],但是AB不一定等于5A

4.行列式的laplace展开法刖；

＜网j=i

4H=I（%）L则七为4"=.其中Ajj杜djj的代数余子式.

0j^i

5.范德蒙行列式:

11

巧

2==/＞勺-项)=(/f)-依-X,)(X3-X2)-(X„-X2)...(X„

-＜九(〃一1)

其办(〃-1)+(〃-2)+.一+2+1=-----个因子.

2

1111

4-375

例；DA—=(-3-4)(7-4)(5-4)(7+3)(5+3)(5-7)=3360

41694925

64-27343125

6.对角阵和反块对角洋的行列式r

7]O'yb，'Ao、

若a••,A],•••,为方阵.

A=•..RIJ|A|=[…：苕3=.,忸|=(一1)=力…2飞A=

、°an)e0,、0%

川川=A…A,

7.n阶行列式计算技巧：

<i）利用各行（或列）元索之和为常数或某行（或列）元索都相同来计第.

a・

1+a{2••明

a1+。2,a

\一n

例】.求Dn=

.各行元素之和为后数1+。］H----------Fan

・・〃

a\〃2.1+4

133333

323333

333333

一第3行（或列）元素都为3,解:

例乙求=333433

33333n

133303000

3233-13000

2=3111101000

33330300〃一3

-2

-10

=31=6(/?-3)!

2

o.•・

〃一3

012­••n-2n-\

a\\a\2a\n101­••n-3n-2

a2\a22a2n210n-4〃一3

例&求。〃=zl（tz-）,a-=,一•即求n阶对称行列式Dn=一之仇.

an\an\%〃n-2n-3n-4…01

n-1n-2n-3…10

111…11

101•・•n-3n-2

乙+G210…n-4n-3

解：由।Dn的第行和第n行对应元素相加后.毋个元素都为n—1.Dn(n—1)

n-2n-3n-4…01

n-1n-2n-3•••10

乂筑：行到第n行中相邻：项之差为±1,故

100•••00-11­•-11

Cn~Cn-\1-11…11-1-1…11

D。-]c"一1

=（〃1）2-1-1・・•--11=(«-1)..................................

C2-Cl.................................-1-1…-11

n—}—1—1…--1-1—1—1…—1—1（，1）阶

-100­••00

C2+G-1-20•••00

C3+G

-1-2-2・・•00=（_］严2吁2（〃_1）

c,i+q

-1-2-2…-2-2（〃—i）阶

,1-10)

例4.求实对称眸A=-12-1的特征根，

<0-11J

九—110

MM-A=1X-21.,/—川的每一行元素之和都为九.故

01X-1

111111

乙+々+〃

M-A|1X-21J0X-30=九(九—1)(X—3)=0

01X-1:01X-1

X）=0.X2=1a3=3为实时称阵A的所有特征根,

x-2x-1x—2x-3

2x-22x-l2x-22x-3

例5：设f（X）=,求f（x）=0的根，跖

3x-33x-24x-53x-5

4x4x-35x-74x-3

x—2x—\x-2x-311000

22321232-101

J\x)r2-2勺=x

3x-33x-24尢一53x—53x-33x-24x-53x-5。4f|3x-3x—2-2

4x4x-35x-74x-34x4x-35x—74x-34x-3x—7-3

-10-100

=尤x—2-2x—2-1=5x(x—1)=0,X]—0；%2=1.

-3x-1-3-3x-7-6

1+x1111111111

1-X111-X110\-x1122

例6：求DD=+-xy

11i+y111心0i+y1

11।1一＞11il-y011l-y

bd

aa+ba+b+cla+b+c+d

例7：米£）二

a2a+b3a+2b+c4。+3。+2c+d

a3a+b6。+3b+c10a+60+3c+d

abdabd

0a+ha+h+c0a+ha+h+c“4

0a2a+b3a+2b+c00a2a+b

03a+b6。+3/?+c003a+b

某行（或列）有很多毒的Laplace展开,

0010a0•-00

000()00a•-00

rt+1

例1.求Dn=按第•行展开；Dtl=a+(-l).按第一列展开r

00a00a5-1)阶000•-0a

10a100•-00

（〃一i）阶

a0

tt22

4="'+(—1严(—1)”a~(a-1)

0

(〃—2)阶

x-1000

0x-100

例2.求Dn=：相

000x-1

%•a2x+4

0-10­••00

0X-1•••00

:+/+…+x”r,?I

U八—，其中f（九）=x"+tZ|X+…+Cln_^X+dn.于是

000•••X-1

/（X）*_1an_2■■-a2x+q

-10000

x-1000

2=(T)〃+"3......................=尢〃+…+%_]X+%

000-10

1000x

7（〃-1）阶

⑶建“递推公式和利用数学归纳法计!?：

解；按第一行

ab

adDbCD\\

=nn2n-2-nn2n-2=（〃/〃一。£？）。2〃-2〃=2,3,…0=。同一瓦C].

4

"02"-2—（。14一5G）…一1。”-1）,则D2fl—（a〃d〃一bn）D2_2="（q4—）•

n/=i

1+a]1・・・1

11+。21••1

例

2.设…400求Dn解1由行列式的加法.

11…1+%

a,0•••00

1+a11…11+ax1…0r.-r,

0a2…00

11+。2••••11+%­­•0

D“=+

00…a.0

11­••100…％n

11­••11

aDaa

+„n-}=\2•••«»-1+a，，0，i，〃=2,3,-•••••aa2•••凡工0.

a

=1+%,I）2=a、+a[Z）|=67|u，2（----1------h1）=q。2…n-\（X—+D则

a\a2,=1%

〃1

D〃=。陷2…%T+%。时1=q〃2…%(Z—+1)

见

四.求逆降的四种方法：aA=（。g）“x”.

i.7SAB=E.«A-'=BIB''=A

Ai4i

求伴的如阵A*=A2，其中.Ajj是dg的代数余子式.

A

c〃ny

r是,对于所有方阵A.都有A4*=\A\E此时,若同工（）,则方阵A为可逆阵，且47«|A|=0.A4*=0,则方萍A为不可逆阵

或奇弁阵，

ab

特别地，当A=

L|A|=ad-w0时，则A为可逆阵，ILA।

dI矶-caJ

fl4>1..।“2—4、f20}...ifl0^1

解"=[_]2\|A|=6x()…ARiJ"1]J，忸|=2"则3=最12J较

X=A

3.河川M帘什变捺sltw停列变盘，

A)(E)

„初等行变换r...初等列变换)...

(A!E)------------------->(E

E)

初等行变换

1B)>(£|A-'B).

swAX=B.A为可迎即财X=AB(A

，A、

初等列变换

若解XA=BA为可逆阵.WJX=BA~l—

◎

4.分块对角方阵的逆阵:

「A0、

A2^

若人=..Ajz=1,2,•••,5郎是方阵.

、04,

AJ0

WJA可逆=Aji=1,2,…,s都是可逆阵，并且4一,

0

(2

0000、

05-200

可逆.并求A1

例i.试证A=02100

00083

1°005

0

5-283A

u£：|A|=2

=—1260.：.A为可逆阵A=A2.A=(2).

2151°

51283、1-3

,A