人教版高中数学《函数与方程》导学案

课题函数与方程

课型复习课授课人执教时间

课程标准学业要求

1、结合学过的函数图象，了【数学抽象】

解函数的零点与方程解的关1、能够从函数的观点认识方程和不等式.

系.

2、结合具体连续函数及其图【数学建模、数学运算和逻辑推理】

象的特点，了解函数零点存在2、能够从函数的观点认识方程，并运用函数的性质求方程的近似解；能

定理，探索用二分法求方程近够从函数观点认识不等式，并运用函数的性质解不等式.

似解的思路并会画程序框图，3、以基本初等函数为依托，考查函数与方程的关系、函数零点存在性定

能借助计算工具用二分法求理

方程近似解，了解用二分法求4、利用转化思想求解函数零点问题.

方程近似解具有一般性.

教学过程:

【必备知识】自主学习、知识任务化

1.函数的零点

(1)函数零点的定义：对于函数y=«r),把使/U)=0的实数x叫做函数y="x)的零点.

(2)三个等价关系：方程4x)=0有实数根分函数y=/(x)的图象与x轴有交点台函数v=/U)有零点.

2.函数零点的判定

如果函数y=/(x)在区间［小6］上的图象是连续不断的一条曲线，并且有位/)次。)<0,那么函数y=/(x)在区

间(“，方内有零点,即存在cC(a,b),使得山、)=0,这个c也就是1x)=0的根.我们把这一结论称为函

数零点存在性定理.

3.二次函数>=0^+版+c(a>0)的图象与零点的关系

「」J>0/=0J<0

y\升

二次函数丁=加+加:+(;\/

(a>0)的图象一

V0|%l=*2XX

与X轴的交点3，0）,（必0）(X1，0)无交点

零点个数两个一个零个

【关键能力】问题情景化、思维可视化

题型一、函数零点所在区间的判断(自主练透)

1.设人x)=lnx+x-2,则函数式》)的零点所在的区间为()

A.(0,1)B.(1,2)

C.(2,3)D.(3,4)

2.若a<h<c,则函数7(x)=(x—〃)(x—b)+(x—〃)(x—c)+(x—c)(x—〃)的两个零点分别位于区间()

A.(mb)和(Z?,c)内B.(—°°,a)和(a,/?)内

C.(b,c)和(c,+8)内D.(—8,〃)和(0,十8)内

3.若均是方程的解，则XO属于区间()

A・修1)B.&1)

C.Q，D.(0,|)

4.(一题多解)设函数人幻=%一Inx,则函数y=/(工)()

A.在区间(%1),(1,e)内均有零点

B.在区间6，1),(1,e)内均无零点

C.在区间6,1)内有零点，在区间(1,e)内无零点

D.在区间Q,1)内无零点，在区间(1,e)内有零点

题型二、函数零点的个数(师生共研)

例1、(1)设函数式x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，兀v)=e，+x-3,则兀v)的零点个数为()

A.1B.2

C.3D.4

f+兀—2,

(2)(一题多解)函数7(x)=',,'二的零点个数为()

—1+lnx,x>0

A.3B.2

C.7D.0

变式训练1：

1、(一题多解)已知/(x)是定义在R上的奇函数，当时，火龙)=«—3M则函数g(x)=4r)—x+3的零点

的集合为()

A.{1,3}B.{-3,—1,1,3}

C.{2一市,1,3}D.{-2一市,1,3}

2、偶函数7U)满足./U—l)=/u+1),且当［0,1］时,y(x)=—x+1,则关于无的方程/U)=lga+1)在光£［0,

9］上解的个数是()

A.7B.8

C.9D.10

题型三、函数零点的应用(多维探究)

角度1、根据函数零点个数求参数

例2、（1）函数汽用=/一以+1在区间（；，3）上有零点，则实数”的取值范围是（）

A.(2,+°0)B.[2,+8)

C.2,|)D.[2,y)

⑵（2018・高考全国卷I）已知函数y（x）=''二g（x）=/U）+x+a.若g（x）存在2个零点，则a的取值范

[Inx,x>0,

围是（）

A.[-1,0)B.[0,+8)

C.[-1,+8)D.[1,+8)

角度2、根据函数零点的范围求参数

2

例3、（1）函数|%）=2'—最一。的一个零点在区间（1,2）内，则实数〃的取值范围是（）

A.（1,3）B.（1,2）

C.（0,3）D.（0,2）

（2）设函数/U）=log2（2"+1）,g（K）=log2（21—1）,若关于X的函数F（x）=g（x）—/（幻一加在[1,2]上有零点，则

m的取值范围为.

变式训练2：

1、已知M是函数/U）=|2x—3|-8sinnx（x^R）的所有零点之和，则M的值为（）

A.3B.6

C.9D.12

QX_a无<0

c'（aGR）,若函数人x）在R上有两个零点，则实数a的取值范围是（）

{2xafx>0

A.（0,1]B.[1,+8）

C.（0,1）D.（-8,1]

【素养提升】素养情景化、情景真实化。

利用转化思想求解函数零点问题

'W—l,X<1,

例4、（1）已知函数段）=}og|X,若关于x的方程式》）=人有三个不同的实根，则实数火的取值范

、2

围是.

(2)若关于x的方程2Z'+2L+a+l=0有实根，则实数a的取值范围为

变式训练3：