高中数学会考知识

高中数学会考知识（详细）

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第一章集合与简易逻辑

1、集合

（1）、定义：某些指定的对象集在一起叫集合；集合中的每个对象叫集合的元素。

集合中的元素具有确定性、互异性和无序性；表示一个集合要用｛晨

（2）、集合的表示法：列举法（）、描述法（）、图示法（）；

（3）、集合的分类：有限集、无限集和空集（记作，是任何集合的子集，是任何

非空集合的真子集）；

（4）、元素a和集合A之间的关系：aGA,或aA；

（5）、常用数集：自然数集：N；正整数集：N；整数集：Z；整数：Z；有理数集：

Q；实数集：R.

2、子集

（1）、定义：A中的任何元素都属于B,则A叫B的子集；记作：AB,

注意：AB时，A有两种情况：A=@与AW6

（2）、性质：①、AA,A；②、若AB,BC,则AC：③、若AB,BA则

A=B；

3、真子集

（1）、定义：A是B的子集，且B中至少有一个元素不属于A；记作：AB；

（2）、性质：①、A,A；②、若AB,BC,则AC；

4、补集

①、定义：记作：CUA｛x!xU,且xA｝；（CUA）A；②、性质：ACUA,

ACUAU,CU

5、交集与并集

(1)、交集：AB{x|xA且xB)

性质：①、AAA,A②、若ABB,则BA

(2)、并集：AB{x|xA或xB)

性质：①、AAA,AA②、若ABB,则AB

6、一元二次不等式的解法：(二次函数、二次方程、二次不等式三者之间的关系)

1AB

不等式解集的边界值是相应方程的解

含参数的不等式ax+bx+c>0恒成立问题含参不等式ax+bx+c>0的解集是R；其

解答分a=0(验证bx+c>0是否恒成立)、a¥0(a<0且△〈())两种情况。7、绝对值不等

式的解法：(“>”取两边，取中间)

(1)、当a0时，|x|a的解集是{xxa,xa},|x|a的解集是{x|axa)

(2

)、当c0时，|axb|caxbc,axbc,|axbccaxbc

(3

)、含两个绝对值的不等式：零点分段讨论法：例：除3|12x128、简易逻

(1)命题：可以判断真假的语句；逻辑联结词：或、且、非；

简单命题：不含逻辑联结词的命题；复合命题：由简单命题与逻辑联结词构成的命题;

三种形式：p或q、p且q、非p；判断复合命题真假：

［1］、思路：①、确定复合命题的结构，②、判断构成复合命题的简单命题的真假，

③、利用真值表判断复合命题的真假；［2］、真值表：p或q,同假为假，否则为真；p

且q,同真为真；非P

22

2

(2)、四种命题：

原命题：若P则q；逆命题：若q则p；

否命题：若P则q；逆否命题：若q则P；

互为逆否的两个命题是等价的。

原命题与它的逆否命题是等价命题。

(3)、反证法步骤：假设结论不成立一推出矛盾一否定假设。

(4)、充分条件与必要条件：

若Pq，则P叫q的充分条件；

若pq,则p叫q的必要条件；

若pq,则p叫q的充要条件；

第二章函数

1、映射：按照某种对应法则f,集合A中的任何一个元素，在B中都有唯一确定的元

素和它对应，记作f：A-B,若aA,bB,且元素a和元素b对应，那么b叫a的象，

a叫b的原象。

2、函数：(1)、定义：设A,B是非空数集，若按某种确定的对应关系f,对于集合A

中的任意一个数x,集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，就称f：AfB为集合A

到集合B的一个函数，记作y=f(x),

(2)、函数的三要素：定义域，值域，对应法则；自变量x的取值范围叫函数的定义

域，函数值f(x)的范围叫函数的值域，定义域和值域都要用集合或区间表示；

(3)、函数的表示法常用：解析法，列表法，图象法(画图象的三个步骤：列表、描

点、连线)；

(4)、区间：满足不等式axb的实数x的集合叫闭区间，表示为：[a,b]

满足不等式axb的实数x的集合叫开区间，表示为：(a,b)

满足不等式axb或axb的实数x的集合叫半开半闭区间，分别表示为：[a,

b)或(a,b]；

(5)、求定义域的一般方法：①、整式：全体实数，例一次函数、二次函数的定义域

为R;

②、分式：分母0,0次幕：底数0,例：y123x|

③、偶次根式：被开方式0,例：y25x2

④、对数：真数0,例：yloga(l)

(6)、求值域的一般方法：①、图象观察法：y0.2

②、单调函数：代入求值法：ylog2(3xl),x[,3]

3|x|1x13

2③、二次函数：配方法：yx4x,x[1,5),yx22x2

x2x1

2sinx⑤、“对称”分式：分离常数法：y2sinx④、“一次”分式：反函数法:

y

⑥、换元法：yx2x

(7)、求f(x)的一般方法：

①、待定系数法：一次函数f(x),且满足3f(x1)2f(x1)2x17,求f(x)

②、配凑法：f(x)X1

x21,求f(x)x2

③、换元法：f(x1)x2x,求f(x)

④、解方程(方程组)：定义在(-h0)U(0,1)的函数f(x)满足

2f(x)f(x)

3、函数的单调性：

(1)、定义：区间D上任意两个值xl,x2,若xlx2时有f(xl)f(x2),称f(x)为D

上增函数；若xlx2时有f(xl)f(x2),称f(x)为D上减函数。(一致为增，不同为

减)

(2)、区间D叫函数f(x)的单调区间，单调区间定义域；

(3)、判断单调性的一般步骤：①、设，②、作差，③、变形，④、下结论

(4)、复合函数yf[h(x)]的单调性：内外一致为增，内外不同为减；

4、反函数：函数yf(x)的反函数为yf

反函数的求法：①、由yf(x),解出xf

的定义域(即原函数的值域)；

反函数的性质：函数yf(x)的定义域、值域分别是其反函数yf

函数yf(x)的图象和它的反函数yf1111,求f(x)x(x)；函数yf(x)和

yfl(x)互为反函数；(x),③、写出yf1l(y),②、x,y互换，写成

yfl(x)(x)的值域、定义域；(x)的图象关于直线yx对称；

点(a,b)关于直线yx的对称点为(b,a)；

5、指数及其运算性质：(1)、如果一个数的n次方根等于a(nl,nN),那么这个

数叫a的n次方根；*a(a0)a叫根式，当n为奇数时，aa；当n为偶数时，

a|a|a(a0)nn

4

(2)、分数指数幕：正分数指数幕：a

m

n

a；负分数指数幕：a

m

mn

la

mn

0的正分数指数鼎等于1,0的负分数指数暴没有意义(0的负数指数暴没有意义);

(3)、运算性质：当a0,b0,r,sQ时,：aaa

b

r

s

rs

,(a)a,(ab)ab,aa；

rsrsrrr

1

r

6、对数及其运算性质：(1)、定义：如果aN(a0,a1),数b叫以a为底N的对

数，记作logaNb,其中a叫底数，N叫真数，以10为底叫常用对数：记为IgN,以

e=2.7182828,,为底叫自然对数：记为InN(2)、性质：①：负数和零没有对数，②、1

的对数等于0：logal0,③、底的对数等于1：logaa1,④、积的对数：

loga(MN)logaMlogaN,商的对数：loga

M

logaMlogaN,N

In

惠的对数：logaMnlogaM,方根的对数：logaMlogaM,

n

7、指数函数和对数函数的图象性质

5

第三章数列

(一)、数列：(1)、定义：按一定次序排列的一列数叫数列；每个数都叫数列的

项；

数列是特殊的函数：定义域：正整数集N(或它的有限子集｛1,2,3,,,,n｝),

值域：数列本身，对应法则：数列的通项公式；

(2)、通项公式：数列｛an｝的第n项an与n之间的函数关系式；例：数列1,2,”，n

的通项公式an=n1,T,1,T,”，的通项公式an=(l)n11(l)n

；0,1,0,1,0,,,,的通项公式an2

(3)、递推公式：已知数列｛an｝的第一项，且任一项an与它的前一项an1(或前几

项)间的关系用一个公式表示，这个公式叫递推公式；例：数列｛an｝：al1,

an11

an1,求数列｛an｝的各项。

alSl(n1)SS(n2)n1n(4)、数列的前n项和：

Snala2a3an；数列前n项和与通项的关系：an

（二）、等差数列：（1）、定义：如果一-个数列从第2项起，每一项与它的前一项的

差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差

通常用字母d表示。

（2）、通项公式：anal（nl）d（其中首项是al,公差是d；整理后是关于n的

一次函数），

（3）、前n项和：1.Snn（alan）n（n1）2.Snnald（整理后是关于n的没

有常数项的二次函数）22

（4）、等差中项：如果a,A,b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项。即：

Aab或2Aab2

［说明］:在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷等差数列的末项除外）都是它

的前一项与后一项的等差中项；事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项的等差

中项。

（5）、等差数列的判定方法：

①、定义法：对于数列an，若an1and（常数），则数列an是等差数列。

②、等差中项：对于数列an，若2an1anan2,则数列an是等差数列。

（6）、等差数列的性质：

①、等差数列任意两项间的关系：如果an是等差数列的第n项，am是等差数列的第m

项，且mn,公6

差为d,则有anam（nm）d②、等差数列an，若nmpq,则

anamapaq»

alana,a2,a3,,an2,an1,an

a2an1a3an2,如图所示：1

a2an1

*也就是：alan③、若数列an是等差数列，Sn是其前n项的和，kN,那么Sk,

S2kSk,S3kS2k成等差数列。

S3kala2a3akak

1a2ka2k1a3k如下图所示：

SkS2kSkS3kS2k

④、设数列an是等差数列，S奇是奇数项的和，S偶是偶数项项的和，Sn是前n项

的和，

则有：前n项的和SnS奇S偶，当n

当n为奇数时，则S奇S

偶a中

d为公差；。a中是等差数列的中间一项)anS2n1。'bnS2n1'⑤、等差数列

an的前2n1项的和为S2n1,等差数列bn的前2n1项的和为S2n1,则

(三)、等比数列：(1)、定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的

比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公

比通常用字母q表示(q0)。

(2)、通项公式：analqn1(其中：首项是al,公比是q)

nal,(q1)n(3)、前n项和］Snalanqal(1q)(推导方法：乘公比，错

位相减)，(q1)1q1q

aanqal(1qn)说明：①Sn2Sn1(q1)O(q1)1qlq

3当q1时为常数列，Snnal,非0的常数列既是等差数列，也是等比数列O

(4)、等比中项：

如果在a与b之间插入一个数G,使a,G,b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中

项。也就是，如果是的等比中项，那么

(5)、等比数列的判定方法：

①、定义法：对于数列an，若an1q(q0),则数列an是等比数列。an

2Gb2，即Gab(或Gab,等比中项有两个)aG②、等比中项：对于数列

an,若anan2an1,则数列an是等比数列。

(6)、等比数列的性质：

7

①、等比数列任意两项间的关系：如果ann项，am是等比数列的第m项，且mn,公

比为q,则有anamqnm

②、对于等比数列an，若nmuv,贝anamauav

alan

a,a2,a3,,an2,an1,an

a2an1a3an2。如图所示：1

a2an1

也就是：alan

③、若数列anSn是其前n项的和，kN*,那么Sk,S2kSk,S3kS2k

S3kala2a3akak

1a2ka2k1a3k

如下图所示：

Sk

S2kSk

S3kS2k

(7)、求数列的前n项和的常用方法：分析通项，寻求解法

123n

n(n1)1

135(2n1)n2,,122232n2n(n1)(2n1)

26

1

2

n

①公式法：“差比之和”的数列：(235)(235)(235)②、并项

法：1234(1)③、裂项相消法：1

n1

n

Ill26(nl)nl34

Inn1

112

123

④、到序相加法：

⑤、错位相减法：“差比之积”的数列：12x3xnx

2

n1

第四章三角函数

1、角：（1）、正角、负角、零角：逆时针方向旋转正角，顺时针方向旋转负角，不做

任何旋转零角；（2）、与终边相同的角，连同角在内，都可以表示为集合

{|k360,kZ）

（3）、象限的角：在直角坐标系内，顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，

角的终边落在第儿象限，就是第几象限的角；角的终边落在坐标轴上，这个角不属于任何

象限。

2、弧度制：（1）、定义：等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用弧度做单位

叫弧度制。（2）、度数与弧度数的换算：180弧度，1弧度

（（3）、弧长公式：1||r（是角的弧度数）扇形面积：S

180

)11

IrIIr222

r

8

3、三角函数（1）、定义：（如图）（2）、各象限的符号:

4、同角三角函数基本关系式

1）平方关系:(2）商数关系：（3倒数关系:

sin

sin2cos21tan

sin

taneot1cos

tancot

1tan2sec2cot

cos

siDCSc1sin

1cot2csc2cossec1

（4）同角三角函数的常见变形:（活用“1)

secesc

2222

①、sin1cos,sincos2；cos1sin

cossin2；

cos2sin22cos2sin22cos2

②tancot,cottan2cot2

sincossin2sincossin2

(3)(sincos)212sincos1sin2,sin2|sincos5、

诱导公式：(奇变偶不变，符号看象限)

公式一：sin(k360)sincos(k360)cos

tan(k360)tan

9

公式二：公式三：公式四：公式五：sin(180)sin

tan(180)tan

sin()cos2sin(180)sintan(180)tansin()

sintan()tansin(360)sintan(360)tancos(180

)coscos(180)coscos()coscos(360)cos

33)cossin()cos)cos222

补充:)sin)sin3)sin3)sin2222

33)cot)cot)cot)cot2222

6、两角和与差的正弦、余弦、正切

S()：sin()sincoscossinS()：

sin()sincoscossinC()：

cos(a)coscossinsinC()：

cos(a)coscossinsinT()：

tan()tantantantanT()：tan()

1tantan1tantan

T()的整式形式为：tantantan()(1tantan)

例：若AB45,则（1tanA）（1tanB）2.（反之不一定成立）

7、辅助角公式：asinxbcosxab2b2sinxcosx2222abab

a2b2(sinxcoscosxsin)2b2sin(x)

（其中称为辅助角，的终边过点（a,b）,tanb）（多用于研究性质）a

8、二倍角公式：(1)、S2：sin22sincos(2)、降次公式：(多用于研

究性质)C2：cos2cossinsincoslsin22

1cos21122212sin2cosIsincos2222

2tanlcos2112T2：ta2ncoscos222221tan22

(3)、二倍角公式的常用变形：①、cos2Isin,cos2|cos|；10

②、

1lcos2

|sin,1lcos2|cos|2222

4

2

2

sin2244

③、sincos12sincos1；cossincos2；

2

4

④半角：sin

2

1coscos1coslcossin

，cos，tan22221cossin1cos

9、三角函数的图象性质

(1)、函数的周期性：①、定义：对于函数f(X),若存在一个非零常数T,当x取

定义域内的每一个值时，都有：f(x+T)=f(x),那么函数f(x)叫周期函数，非零常

数T叫这个函数的周期；

②、如果函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，这个最小的正数叫f(x)的

最小正周期。(2)、函数的奇偶性：①、定义：对于函数f(x)的定义域内的任意一个

X,

都有：f(-X)=-f(x),则称f(X)是奇函数，f(-X)=f(x),则称f(X)是

偶函数

②、奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称；③、奇函数，偶函数

的定义域关于原点对称；(3)、正弦、余弦、正切函数的性质(kZ)ysinx图象的

五个关键点：(0,0),(

,1),(,0),(,-1),(2,0)；

22

3

,0),(2,1)；ycosx图象的五个关键点：(0,1),(,0),(,-1),

(

ysinx的对称中心为(k,0)；对称轴是直线xk

2

2

;(x)的周期Tycosx的对称中心为(k,0)；对称轴是直线xk；

yAcos

2

ytanx的对称中心为点(k,0)和点(k,0)；yAtan(x)的周期T；

2

yAsin(x)的周期T

2

(4)、函数yAsin(x)(A0,0)的相关概念：

yAsin(x)的图象与ysinx的关系：

当A1时，图象上各点的纵坐标伸长到原来的A倍

①振幅变换：ysinx当A时，图象上各点的纵坐标缩短到原来的A倍Asinx

'“I

1时，图象上各点的纵坐标缩短到原来的

1

倍

②周期变换：ysinx当01时，图象上各点的纵坐标伸长到原来的倍ysinx

当0时，图象上的各点向左平移个单位倍

当0时，图象上的各点向右平移|I个单位倍③相位变换：ysinxysin(x)

个单位倍④平移变换：yAsinxAsin(x)当0时，图象上的各点向右平

移II个单位倍

当

0时，图象上的各点向左平移

常叙述成：①把ysinx上的所有点向左(0时)或向右(0时)平移|个

单位得到

ysin(x)；

②再把ysin(x)的所有点的横坐标缩短(1)或伸长(0到原来的得

到ysin(x)；

③再把ysin(x)的所有点的纵坐标伸长(A1)或缩短(0A到原来的A

倍(横坐标不变)得到yAsin(x)的图象。

先平移后伸缩的叙述方向：yAsin(x)

先平移后伸缩的叙述方向：yAsin(x)Asin[(x

1

倍(纵坐标不变)

)]

12

10、反三角：

11、三角函数求值域

(1)一次函数型：yAsinx

B,例：y2sin(3x用辅助角公式化为：yasinxbcosx

12

)5,ysinxcosx

a2b2sin(x),例：y4sinx3cosx

(2)二次函数型：①二倍角公式的应用：ysinxcos2x②代数代换:

ysinxcosxsinxcosx

第五章、平面向量

1、空间向量：（1）定义：既有大小又有方向的量叫做向量，向量都可用同一平面内的

有向线段表示。（2）零向量：长度为。的向量叫零向量，记作；零向量的方向是任意

的。

（3）单位向量：长度等于1个单位长度的向量叫单位向量；与向量平行的单位向量：

（4）平行向量：方向相同或相反的非零向量叫平行向量也叫共线向量，记作〃；规定

与任何向量平行；

（5）相等向量：长度相同且方向相同的向量叫相等向量，零向量与零向量相等；

任意两个相等的非零向量，都可以用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无

关。2、向量的运算：（1）、向量的加减法：

13

（2）、实数与向量的积：①、定义：实数与向量的积是一个向量，记作：；②：

它的长度：IIIIII;

③：它的方向：当0,a与向量a的方向相同；当0,a与向量a的方向相

反；当0时，=；

3、平面向量基本定理：如果el,e2是同•平面内的两个不共线的向量，那么对平面内

的任一向量，有且只有一对实数1,2,使lei2e2；不共线的向量el,e2叫这

个平面内所有向量的一组基向量，｛el,e2｝叫基底。

4、平面向量的坐标运算：（1）运算性质：

abba,abcabc,a00aa（2）坐标运算：设

axl,yl,bx2,y2，贝Uabxlx2,yly2

设A、B两点的坐标分别为（xl,yl）,（x2,y2）,则ABx2xl,y2yl.

（3）实数与向量的积的运算律：设ax,y,则Aax,yx,y,

00（4）平面向量的数量积：①、定义：

ababcosa0,b0,0180,0a0.

①、平面向量的数量积的几何意义：向量的长度II与在的方向上的投影IIcos的乘

积；③、坐标运算：设axl,yl,bx2,y2，则abxlx2yly2；22向量a

的模|a|：|aaaxy；模|a|

2x2y2

④、设是向量axl,yl,bx2,y2的夹角，则cosxlx2yly2

xlyl22x2y222,abab0

5、重要结论：(1)、两个向量平行的充要条件：a//bab(R)

设axl,yl,bx2,y2,则a〃bxly2x2yl0

(2)、两个非零向量垂直的充要条件：abab0

设axl,yl,bx2,y2,则abxlx2yly20

14

(3)、两点Axl,yl,Bx2,y2的距离：；(xlx2)2(yly2)2

(4)、P分线段P1P2的：设P(x,y),P(,P(,且PIPPP2,(即

lxl,yl)2x2,y2)2)

x则定比分点坐标公式yxlx2xlx2x12,中点

坐标公式yly2yyly212

xxh,(5)、平移公式：如果点P(x,y)按向量ah,k平移至P'

(x-y'),则'yyk.

6、解三角形：(1)三角形的面积公式：S

(2)在AABC中：ABC180,lllabsinCacsinBbcsinA222

因为AB180C：sin(AB)sinC,cos(AB)cosC,tan(AB)tanC

因为AB90C：ABcosC,AB)sinC,ABcotC22222222

abc2R,边用角表示：a2RsinA,b2RsinB,c2RsinsinAsinBsinC

a2b2c2aba2b2c22bccosA

若：a2b2c22ab则：(3)正弦定理，余弦定理①正弦定理：②余弦定理:

b2a2c22accosB

c2a2b22abcosC(ab)22ab(lcocC)a2b2c23ab

b2c2a2a2c2b2a2b2c2

cosBcosC求角：cosA2bc2ac2ab

第六章：不等式

1、不等式的性质：(1)、对称性：abba；

(2)、传递性：ab,bcac；

(3)、abacbc；ab,cdacbd

(4)、ab,若c0acbe,若c0acbe；ab0,cd0acbd

(5)ab0anbn,a,(nN,n1)1、均值不等式：(1)、(aba2b2

)2

(2)、ab2ab或ab(ab2)一正、二定、三相等2

不满足相等条件时，注意应用函数f(x)x1图象性质(如图)x

应用：证明(注意1的技巧)，求最值，实际应用

(3)、对于n个正数：al,a2,a3,an(n2),那么：ala2an叫做n个正数

的算术平均数，ala2an叫做n个正数的几何平均数；n

3、不等式的证明，常用方法：

(1)比较法：①、作差：abOab.abOab,(作差、变形、确定符号)

②、作商：a1(b0)ab(b0),a1(b0)ab(b0)bb

；,；(2)综合法：由因到果，格式：，

,,,,(3)分析法：执果索因，格式：原式

(4)反证法：从结论的反面出发，导出矛盾。

4、不等式的解法：(不等式解集的边界值是相应方程的解)

一元二次不等式(x的系数为正数)：0时“>”取两边，取中间

绝对值不等式：含-一个绝对值符号的：“>”取两边，“〈”取中间

含两个绝对值符号的：零点分段讨论法(注意取“交”，还是取“并”)

高次不等式的解法：根轴法(重根：奇穿偶不穿)

分式不等式的解法：移项、通分、根轴法

5、绝对值不等式：|a||b||a||b||ab|ab|ab|

|a||b

例：f(x)|2x3||2x532x||2x5||32x2x58(最小值)

f(x)|x21x31!x2||3x||x23x；5(最大值)

第七章：直线和圆的方程

1、倾斜角和斜率：(1)倾斜角：①、范围：[0,180)

②、定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，如果把x轴饶交点按逆

时针方向旋转到和直线重合时的最小正角记为，贝IJ叫直线的倾斜角；当直线与和x釉

平行或重合时，倾斜角为0；当2直线与和x轴垂直时，倾斜角为90

16

(2)斜率：ktan,k(,)

当k是特殊角的三角函数值时，直接写出角当k0时，arctank；

当k0时，arctank

当k不是特殊角的三角函数值时，可用反二角表示斜率：

y2yl(3)直线上两点Pl(xl,yl),P2(x2,y2),则斜率为kx2xl

直线的方向向量P1P2(x2xl,yly2),或P1P2

所以直线的方向向量P1P2(l,k)或P1P2(l,k)1(x2xl,yly2)(1,k)

x2xl

2、直线方程：直线方程的五种形式(1)、点斜式：yylk(xxl)；

(2)、斜截式：ykxb；(3)、两点式：yylxxly2ylx2xl

(4)、截距式：xy1(截距是直线与坐标轴的交点坐标，可正可负可为零)ab

(5)、一般式：AxByC0(A、B不同时为0)斜率k

3、两直线的位置关系

(1)平行：11//12klk2且blb2AlBlCl时，11〃12；A2B2C2AC,y轴截

距为BB

垂直：klk211112A1A2B1B201112；

AlxBlyCl0;(2)相交：klk2AlBl,交点就是方程组的解。

A2B2A2xB2yC20.

fl(x,y)0任意曲线的交点就是：曲线方程构成的方程组的解f(x,y)02

(3)到角范围：0,到角公式：tank2klkl、k2都存在，1klk20

1k2kl

夹角范围：(0,

2］夹角公式：tank2klkl、k2都存在，1klk201k2kl

(4)点到直线的距离公式dAxOByOC(直线方程必须化为一般式)

两平行线间的距离公式：dA2B2C2Cl(即一条直线上任一点到另一条直线的距

离)

2AB2

4、线性规划：(1)二元一次不等式表示的平面区域：不等式AxBxC0(或W,

或＞，或〈)表

示直角坐标系中以直线为分界的直线某一侧的平面区域。

(2)求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题，统称为线性规划问

题。满足线性约束条217

件的解(x,y)叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域；

使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做最优解。最优解常在区域的交点或边界

上。

(3)具体解题的步骤：画出图形，求交点，代入目标函数求值，确定最大值或最小值

注意实际问题中的整数解(整点)

5、曲线方程：(1)曲线和方程的关系：在直角坐标系中，曲线C的点与方程F(x,

y)=0的实数解满足：①曲线C上的点的坐标都是方程F(x,y)=0的解，

②方程F(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C上，那么，方程叫曲线的方程，曲线叫

方程的曲线

(2)曲线方程步骤：①建系，设点；②列方程；③化简(注明条件)。

(3)方法：直接法：直接把相等关系转化为方程；

定义法：常用的是圆、椭圆、双曲线的定义；

代入法：用所求的点的坐标表示已知曲线上的点的坐标，代入已知曲线方程；

参数法：常用的参数有角、斜率、题中的字母系数；

6、圆的方程：(1)圆的标准方程(xa)(yb)r,圆心为C(a,b),半径为r222

D2E2D2E24F(2)圆的一般方程xyDxEyF0(配方：(x)(y))

22422

D2E24F0时，表示一个以(D,E)为圆心，半径为2212D2E24F的圆

(3)圆的参数方程为xarcosxrcos(为参数)，圆心在原点时：

ybrsinyrsin

(参数方程的实质是曲线上点的横、纵坐标)

(4)点与圆的位置关系：判断方法上(xa)(yb)r,夕卜0,内0,±=0

(5)直线与圆位置关系：已知直线AxByC0和圆(xa)(yb)r

①、圆心到直线的距离d与r比较，相离dr,相切dr,相交dr；222222

Ax2BxC0②、利用根的判别式：联立消元后得一元二次方程的判别式，

222(xa)(yb)r

0直线和圆相交，0直线和圆相切，0直线和圆相离；

相关问题：求弦长：弦心距，半径，弦的一半组成Rt

(6)求圆的切线方程：设点斜式，用圆心到切线的距离等于半径，求斜率；

①、过圆xyr上一点M(x0,y0)的切线只有一条，方程为：xOxyOyr2222

18

②、过圆外一点的切线一定有两条;

XxO）③、斜率确定的切线一定有两条（如图）。（7）圆中的最值问题：数形结

合，寻求解法第八章：圆锥曲线

1、圆

锥曲线的定义、标准方程、图象、几何性质

19

x2y2x2y2y2x2yxb

由双曲线求渐进线：22122022yx

baaababbabyxy2x2x2y2x2y2

由渐进线求双曲线：yx2222022

ababaabab

2、求离心率e：方法一：用e的定义e

cc

；法二：得到与a、b、c有关的方程，解方程，求；

aa

b2b2

（离心率e与a、b、c的关系可以互相表示：椭圆e2,双曲线e2）

aa

3、直线和圆锥曲线的位置关系：

（1）、判断直线与圆锥曲线的位置关系的方法（基本思路）

直线方程

联立

一消元f一元二次方程一判别式△

圆锥曲线方程（方程的思想）

(2)、求弦长的方法：①求交点，利用两点间距离公式求弦长；②弦长公式

1k2xlx2

1

|yly2|k2

(1k2)[(xlx2)24x1x2](消y)(1

12

yy)4yly2](消x)12k2

(3)、与弦的中点有关的问题常用“点差法”：

20

把弦的两端点坐标代入圆锥曲线方程，作差一弦的斜率与中点的关系；

(弦的中点与弦的斜率可以相互表示)

(4)、与双曲线只有一个交点的直线：一相切，二与渐近线平行

与抛物线只有一个交点的直线：一相切，二与对称轴平行

4、圆锥曲线的最值问题：

(1)、利用第二定义，把到焦点的距离转化为到准线的距离求最值；

(2)、结合曲线上的点的坐标，利用点到直线的距离公式转化为二次函数求最值；

y2x2

2,y),在x2py上的点常设(x,)在y2Px上的点常设(2p2P2

(3)、利用数形结合求最值；基本思路：与直线平行，与曲线相切.

(椭圆中，长轴是最长的弦；双曲线中，实轴是最短的弦。)

第九章直线平面简单的几何体

1、平面的性质：公理1：如果有一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所

有点都在这个平面内。

公理2：如果两个平面有一个公共点,

那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是一条直线。

（两平面相交，只有一条交线）P1且P1

公理3：不在同一直线上的三点确定一个平面。（强调“不共线”）

（三个推论：1、直线和直线外一点，2、两条相交直线，3、两条平行直线，确定一个

平面）空间图形的平面表示方法：斜二测画法（水平长不变，竖直长减半）

2、两条直线的位置关系：平行，相交，异面：不同在任何一个平面内的两条直线叫异

面直线

（1）、异面直线判断方法：①定义，

②判定：连结平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面不经过此点的直线是异面直

线.（两在两不在）

（2）垂直相交（共面）、异面垂直，都叫两条直线互相垂直.

（3）、空间平行直线：公理4：平行于同一直线的两条直线互相平行。

3、直线与平面的位置关系直线在平面内

直线在平面外直线与平面相交，记作aCa=A直线与平面平行，记作a〃aa

4、直线与平面平行：定义：直线和平面没有公共点。

（1）、判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，

那么这条直线和这个平面平行.（线线平行线面平行）1,m，且

l//m1//（2）、性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和

这个平面相交，那么这条直线和交线平行.（线面平行线线平行）

1//,1ml〃m5、两个平面平行：定义：两个平面没有公共点。

（1）、判定定理：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两

个平面平行。（线面平行面面平行）

推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行与另一个平面内的两条直线，那么这两

个平面平行。（2）、性质定理：

（面面平行线线平行）

（面面平行线面平行）

面面平行

6、直线和平面垂直：定义：如果一条直线和一个平面相交，且和这个平面内的任意一

条直线都垂直，叫直线和平面垂直。（常用于证明线线垂直：线面垂直线线垂直）

（1）、判定定理：一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，则直线和这个平面

垂直。（线线垂直线面垂直）

（2）、性质定理：①过一点和已知平面垂直的直线只有一条，过一点和已知直线垂直

的平面只有一条。

②如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，另一条也垂直于这个平面。③线段垂直

平分面内的任意一点到线段两端点距离相等。

（3）正射影：自一点P向平面引垂线，垂足P叫点P在内的正射影（简称射影）

斜线在平面内的射影：过斜线上斜足外一点，作平面的垂线，过垂足和斜足的直线叫斜

线在平面内的射影。（4）三垂线定理：在平面内的一条直线和平面的一条斜线的射影垂

直，则它和这条斜线垂直。

逆定理：在平面内的一条直线和平面的一条斜线垂直，则它和这条斜线的射影垂直。

P

7、两个平面垂直：定义：平面角是直角的二面角叫直二面角，相交成直二面角的两个

平面垂直。（1）、判定定理：一个平面过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相

垂直。（线面垂直面面垂直）

22

（2）、性质定理：两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线，垂

直于另一个平面。（面面垂直线面垂直）垂直间的相互转化关系：线线垂直线面垂直

面面垂直

8、空间向量：在空间具有大小和方向的量，空间任意两个向量都可用同一平面内的有

向线段表示。

（I）、共线向量定理：空间任意两个向量，（0）,〃（

R）

空间直线的向量参数表达式（P在面MAB内的充要条件）：OPOAta或

t（1t）t（叫直线AB当t11时，点P是线段AB的中点，则（）22

(2)、共面向量定理：两个向量，不共线，则向量与，共面xy(x.yR)平面

的向量表达式(P在面MAB内的充要条件)：MPxMAyMB或OPOMxMAyMB

0为空间任一点，当OPxOAyOBzOC且xyz1时，P、A、B、C四点共面。

(3)、空间向量基本定理：如果三个向量、、c不共面，那么对空间任一向量，存在一

个的唯一有序实数组x,y,z,使x