2025届新教材高中数学第3章圆锥曲线的方程3.3抛物线3.3.2抛物线的简单几何性质第2课时直线与抛物线的位置关系题型探究新人教A届选择性必修第一册

3.3抛物线3.3.2抛物线的简单几何性质第2课时直线与抛物线的位置关系题型探究题型一和抛物线有关的轨迹问题1．设点P(x，y)(y≥0)为平面直角坐标系xOy内的一个动点(其中O为坐标原点)，点P到定点Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))的距离比点P到x轴的距离大eq\f(1,2).(1)求点P的轨迹方程；(2)若直线l：y＝kx＋1与点P的轨迹相交于A，B两点，且|AB|＝2eq\r(6)，求实数k的值．[解析](1)方法一：(直接法)过点P作x轴的垂线且垂足为点N，则|PN|＝y，由题意知|PM|－|PN|＝eq\f(1,2)，∴eq\r(x2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(1,2)))2)＝y＋eq\f(1,2)，化简得x2＝2y.故点P的轨迹方程为x2＝2y.方法二：(定义法)由题意知，点P到定点Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))与直线y＝－eq\f(1,2)的距离相等，则点P的轨迹是以点M为焦点，以直线y＝－eq\f(1,2)为准线的抛物线，且p＝1.∴点P的轨迹方程为x2＝2y.(2)由题意设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋1，,x2＝2y，))消去y化简得x2－2kx－2＝0，∴x1＋x2＝2k，x1x2＝－2.∵|AB|＝eq\r(1＋k2)·eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1＋x2))2－4x1x2)＝eq\r(1＋k2)·eq\r(4k2＋8)＝2eq\r(6)，∴k4＋3k2－4＝0，又k2≥0，∴k2＝1，∴k＝±1.[规律方法]求轨迹问题的两种方法(1)直接法：按照动点适合条件直接代入求方程．(2)定义法：若动点满足某种曲线定义，可按待定系数法列方程(组)求解曲线方程．对点训练❶若动圆M与圆C：(x－2)2＋y2＝1外切，又与直线x＋1＝0相切，求动圆圆心的轨迹方程．[解析]设动圆圆心为M(x，y)，半径为R，由已知可得定圆圆心为C(2,0)，半径r＝1.因为两圆外切，所以|MC|＝R＋1.又动圆M与已知直线x＋1＝0相切，所以圆心M到直线x＋1＝0的距离d＝R.所以|MC|＝d＋1.即动点M到定点C(2,0)的距离等于它到定直线x＋2＝0的距离．由抛物线的定义可知，点M的轨迹是以C为焦点，x＋2＝0为准线的抛物线，且eq\f(p,2)＝2，p＝4，故其方程为y2＝8x.题型二中点弦问题2．过点Q(4,1)作抛物线y2＝8x的弦AB，恰被点Q所平分，求AB所在直线的方程．[解析]方法一：(点差法)设以Q为中点的弦AB的端点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有yeq\o\al(2,1)＝8x1，yeq\o\al(2,2)＝8x2，∴(y1＋y2)(y1－y2)＝8(x1－x2)．又y1＋y2＝2，∴y1－y2＝4(x1－x2)，即eq\f(y1－y2,x1－x2)＝4，∴kAB＝4.∴AB所在直线的方程为y－1＝4(x－4)，即4x－y－15＝0.方法二：(传统法)由题意知AB所在直线斜率存在，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦AB所在直线的方程为y＝k(x－4)＋1.联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝8x，,y＝kx－4＋1，))消去x，得ky2－8y－32k＋8＝0，此方程的两根就是线段端点A，B两点的纵坐标．由根与系数的关系得y1＋y2＝eq\f(8,k).又y1＋y2＝2，∴k＝4.∴AB所在直线的方程为4x－y－15＝0.[规律方法]涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系运用“设而不求”“整体代入”等解法．注意：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解．对点训练❷已知A、B为抛物线E上不同的两点，若抛物线E的焦点为(1,0)，线段AB恰被M(2,1)所平分．(1)求抛物线E的标准方程；(2)求直线AB的方程．[解析](1)由于抛物线的焦点为(1,0)，所以eq\f(p,2)＝1，p＝2，所求抛物线方程为y2＝4x.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则yeq\o\al(2,1)＝4x1①，yeq\o\al(2,2)＝4x2②，且x1＋x2＝4，y1＋y2＝2，由②－①得(y1＋y2)(y2－y1)＝4(x2－x1)，所以eq\f(y2－y1,x2－x1)＝2，所以所求直线AB的方程为y－1＝2(x－2)，即2x－y－3＝0.题型三抛物线性质的综合应用3．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F(1,0)，O为坐标原点，A，B是抛物线C上异于O的两点．(1)求抛物线C的方程；(2)若直线OA，OB的斜率之积为－eq\f(1,2)，求证：直线AB过定点．[解析](1)因为抛物线y2＝2px(p>0)的焦点坐标为(1,0)，所以eq\f(p,2)＝1，所以p＝2.所以抛物线C的方程为y2＝4x.(2)①当直线AB的斜率不存在时，设Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(t2,4)，t))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(t2,4)，－t))，因为直线OA，OB的斜率之积为－eq\f(1,2)，所以eq\f(t,\f(t2,4))·eq\f(－t,\f(t2,4))＝－eq\f(1,2)，化简得t2＝32.所以A(8，t)，B(8，－t)，此时直线AB的方程为x＝8.②当直线AB的斜率存在时，设其方程为y＝kx＋b(k≠0)，A(xA，yA)，B(xB，yB)，联立得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝4x，,y＝kx＋b，))化简得ky2－4y＋4b＝0.根据根与系数的关系得yAyB＝eq\f(4b,k)，因为直线OA，OB的斜率之积为－eq\f(1,2)，所以eq\f(yA,xA)·eq\f(yB,xB)＝－eq\f(1,2)，即xAxB＋2yAyB＝0，即eq\f(y\o\al(2,A),4)·eq\f(y\o\al(2,B),4)＋2yAyB＝0，解得yAyB＝0(舍去)或yAyB＝－32，所以yAyB＝eq\f(4b,k)＝－32，即b＝－8k，所以y＝kx－8k，即y＝k(x－8)，综上所述，直线AB过x轴上一定点(8,0)．[规律方法]1.在直线和抛物线的综合题中，经常遇到求定值、过定点问题．解决这类问题的方法很多，如斜率法、方程法、向量法、参数法等．解决这些问题的关键是代换和转化．2．圆锥曲线中的定点、定值问题，常选择一参数来表示要研究问题中的几何量，通过运算找到定点、定值，说明与参数无关，也常用特值探路法找定点、定值．对点训练❸已知动圆经过定点D(1,0)，且与直线x＝－1相切，设动圆圆心E的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程；(2)设过点P(1,2)的直线l1，l2分别与曲线C交于A，B两点，直线l1，l2的斜率存在，且倾斜角互补．证明：直线AB的斜率为定值．[解析](1)∵动圆经过定点D(1,0)，且与直线x＝－1相切，∴E到点D(1,0)的距离等于E到直线x＝－1的距离，∴E的轨迹是以D(1,0)为焦点，以直线x＝－1为准线的抛物线．∴曲线C的方程为y2＝4x.(2)证明：设直线l1的方程为y＝k(x－1)＋2.∵直线l1，l2的斜率存在，且倾斜角互补，∴l2的方程为y＝－k(x－1)＋2.联立方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx－1＋2，,y2＝4x，))消元得k2x2－(2k2－4k＋4)x＋(k－2)2＝0.设A(x1，y1)，则x1＝eq\f(k－22,k2)＝eq\f(k2－4k＋4,k2).同理，设B(x2，y2)，可得x2＝eq\f(k2＋4k＋4,