2025届新教材高中数学第3章圆锥曲线的方程3.3抛物线3.3.1抛物线及其标准方程题型探究新人教A届选择性必修第一册

3.3抛物线3.3.1抛物线及其标准方程题型探究题型一根据抛物线方程求焦点坐标以及准线方程1．求下列各条抛物线的焦点坐标和准线方程：(1)y2＝－12x；(2)3x2－4y＝0；(3)x＝32y2；(4)y2＝ax(a≠0).[分析]先将所给方程转化为标准方程的形式，确定其开口方向，求出p的值，再写出焦点坐标和准线方程.[解析](1)由方程y2＝－12x知，抛物线开口向左，焦点在x轴的负半轴上，2p＝12，所以p＝6，eq\f(p,2)＝3，因此焦点坐标为(－3,0)，准线方程为x＝3.(2)方程3x2－4y＝0可化为x2＝eq\f(4,3)y，抛物线开口向上，焦点在y轴的正半轴上，2p＝eq\f(4,3)，所以p＝eq\f(2,3)，eq\f(p,2)＝eq\f(1,3)，因此焦点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3)))，准线方程为y＝－eq\f(1,3).(3)方程x＝32y2可化为y2＝eq\f(1,32)x，抛物线开口向右，焦点在x轴的正半轴上，2p＝eq\f(1,32)，所以p＝eq\f(1,64)，eq\f(p,2)＝eq\f(1,128)，因此焦点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,128)，0))，准线方程为x＝－eq\f(1,128).(4)当a>0时，抛物线开口向右，焦点在x轴的正半轴上，2p＝a，所以p＝eq\f(a,2)，eq\f(p,2)＝eq\f(a,4)，因此焦点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,4)，0))，准线方程为x＝－eq\f(a,4)；当a<0时，抛物线开口向左，焦点在x轴的负半轴上，2p＝－a，所以p＝－eq\f(a,2)，eq\f(p,2)＝－eq\f(a,4)，因此焦点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,4)，0))，准线方程为x＝－eq\f(a,4).综上可得，当a≠0时，抛物线的焦点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,4)，0))，准线方程为x＝－eq\f(a,4).[规律方法]由抛物线方程求焦点与准线方程的基本方法已知抛物线方程求焦点坐标和准线方程时，一般先将所给方程化为标准形式，由标准方程得到参数p，从而得焦点坐标和准线方程，要注意p>0，焦点所在坐标轴由标准方程的一次项确定，系数为正，焦点在正半轴；系数为负，焦点在负半轴.对点训练❶(1)抛物线x2＋2y＝0的准线方程为(C)A.x＝eq\f(1,2) B．x＝－eq\f(1,2)C.y＝eq\f(1,2) D．y＝－eq\f(1,2)(2)抛物线y＝－x2的焦点坐标为(D)A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，0)) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，0))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,4))) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(1,4)))[解析](1)方程化为x2＝－2y，焦点在y轴的负半轴上，p＝1，所以准线方程是y＝eq\f(1,2).(2)方程化为x2＝－y，焦点在y轴负半轴上，2p＝1，所以eq\f(p,2)＝eq\f(1,4)，故焦点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(1,4))).题型二求抛物线的标准方程2．(1)已知动点M(x，y)满足5eq\r(x－12＋y2)＝|3x－4y＋2|，则动点M的轨迹是(D)A.椭圆 B．双曲线C.直线 D．抛物线(2)根据下列条件分别求出抛物线的标准方程：①准线方程为y＝eq\f(2,3)；②经过点(－3，－1).[解析](1)方程5eq\r(x－12＋y2)＝|3x－4y＋2|可化为eq\r(x－12＋y2)＝eq\f(|3x－4y＋2|,5)，eq\r(x－12＋y2)表示点M(x，y)到定点(1,0)的距离，eq\f(|3x－4y＋2|,5)表示M(x，y)到定直线3x－4y＋2＝0的距离，因此动点M(x，y)到定点(1,0)的距离等于它到定直线3x－4y＋2＝0的距离，且定点(1,0)不在定直线3x－4y＋2＝0上，故动点M的轨迹是以(1,0)为焦点，以3x－4y＋2＝0为准线的抛物线.(2)①因为抛物线的准线交y轴于正半轴，且eq\f(p,2)＝eq\f(2,3)，则p＝eq\f(4,3)，所以所求抛物线的标准方程为x2＝－eq\f(8,3)y.②∵点(－3，－1)在第三象限，∴设所求抛物线的标准方程为y2＝－2px(p>0)或x2＝－2py(p>0).若抛物线的标准方程为y2＝－2px(p>0)，则由(－1)2＝－2p×(－3)，解得p＝eq\f(1,6)；若抛物线的标准方程为x2＝－2py(p>0)，则由(－3)2＝－2p×(－1)，解得p＝eq\f(9,2).∴所求抛物线的标准方程为y2＝－eq\f(1,3)x或x2＝－9y.[规律方法]1.求抛物线标准方程的方法：(1)直接法：直接利用题中已知条件确定焦参数p.(2)待定系数法：先设出抛物线的方程，再根据题中条件，确定焦参数p.当焦点位置不确定时，应分类讨论或设抛物线方程为y2＝mx或x2＝my.2．定义法解决轨迹问题根据动点坐标满足的方程判断其轨迹时，要注意结合两点间的距离公式以及点到直线的距离公式，对所给方程进行适当变形，分析其几何意义，然后结合有关曲线的定义作出判定.对点训练❷(1)一个动圆经过点A(2,0)，并且和直线l：x＝－2相切，则动圆圆心M的轨迹方程是_y2＝8x__.(2)求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程：①过点(－1,2)；②焦点在直线x－2y－4＝0上.[解析](1)设动圆的半径为R.因为动圆经过点A(2,0)，所以|MA|＝R.又因为动圆和直线l：x＝－2相切，所以圆心M到直线l：x＝－2的距离d＝R，即圆心M到定点A的距离与到定直线l的距离相等，故其轨迹是抛物线，且A是焦点，l是准线，并且有eq\f(p,2)＝2，所以p＝4，故动圆圆心M的轨迹方程是y2＝8x.(2)①设所求的抛物线方程为y2＝－2p1x(p1>0)或x2＝2p2y(p2>0)，∵过点(－1,2)，∴4＝－2p1·(－1)或(－1)2＝2p2·2.∴p1＝2或p2＝eq\f(1,4).故所求的抛物线方程为y2＝－4x或x2＝eq\f(1,2)y，对应的准线方程分别为x＝1，y＝－eq\f(1,8).②令x＝0得y＝－2，令y＝0得x＝4，∴抛物线的焦点为(4,0)或(0，－2).当焦点为(4,0)时，eq\f(p,2)＝4，∴p＝8，此时抛物线方程y2＝16x；当焦点为(0，－2)时，eq\f(p,2)＝|－2|，∴p＝4，此时抛物线方程为x2＝－8y.故所求的抛物线方程为y2＝16x或x2＝－8y，对应的准线方程分别是x＝－4，y＝2.题型三抛物线的实际应用问题3．河上有一抛物线形拱桥，当水面距拱桥顶5m时，水面宽为8m，一小船宽4m，高2m，载货后船露出水面上的部分高0.75m，问：水面上涨到与抛物线拱桥拱顶相距多少米时，小船开始不能通航？[解析]如图，以拱桥的拱顶为原点，以过拱顶且平行于水面的直线为x轴，建立平面直角坐标系.设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，由题意可知，点B(4，－5)在抛物线上，故p＝eq\f(8,5)，得x2＝－eq\f(16,5)y.当船面两侧和抛物线接触时，船不能通航，设此时船面宽为AA′，则A(2，yA)，由22＝－eq\f(16,5)yA，得yA＝－eq\f(5,4).又知船面露出水面上的部分高为0.75m，所以h＝|yA|＋0.75＝2(m).所以水面上涨到与抛物线形拱桥拱顶相距2m时，小船开始不能通航.[规律方法]求解抛物线实际应用题的步骤对点训练❸苏州市“东方之门”是由两栋超高层建筑组成的双塔连体建筑(如图1所示)，“门”的内侧曲线呈抛物线形.图2是“东方之门”的示意图，已知|CD|＝30m，|AB|＝60m，点D到直线AB的距离为150m，建立适当坐标系，求“门”的内侧曲线所在的抛物线方程，并求抛物线顶端O到AB的距离.[解析]以O为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的方程为x2＝－2py(p>0)，由题意设D(15，h)，h<0，B(30，h－150)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(152＝－2ph,302＝－2ph－150))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(h＝－50,p＝2.25))，所以抛物线的方程为x2＝－4.5y，抛物线顶端O到AB的距离为50＋150＝200(m).易错警示4．设抛物线y2＝mx(m≠0)的准线与直线x＝1的距离为3，求抛物线的方程.[错解]准线方程为x＝－eq\f(m,4)，因为准线与直线x＝1的距离为3，所以准线方程为x＝－2，所以－eq\f(m,4)＝－2，所以m＝8，故抛物线方程为y2＝8x.[辨析]题目条件中未给出m的符号，当m>0或m<0时，抛物线的准