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文档简介
第16讲对数运算与对数函数一.对数的概念一般地,对于指数式,我们把“以为底的对数”记作,即.其中,数叫做对数的底数,叫做真数,读作“等于以为底的对数”.【定义理解】训练1.将下列指数式写成对数式:(1); (2).训练2.将下列对数式写成指数式:(1); (2).二.对数运算法则计算: (2) (3) (4)(5) (6) (7)练习1:计算:(1) (2) (3) (4)(5)(6)(7)已知,,用表示.三.对数函数的概念1.定义:一般地,我们把函数叫做对数函数,其中是自变量,函数的定义域是.2.常用对数:我们通常把以10为底的对数叫做常用对数,例如简记为.3.自然对数:我们通常把无理数为底的对数叫做自然对数,例如简记为.四.对数函数的性质图象性质定义域:值域:过点,即当时,时时时时在上是增函数在上是减函数函数是对数函数,则实数________.比较下列各组中两个值的大小.(1);(2);(3)求下列函数的定义域.(1)(2)(3)求下列函数的值域:(1)(2)已知,求的最大值及相应的的值.五、对数函数的图象变换及定点问题(1)与对数函数有关的函数图象过定点问题对数函数过定点,即对任意的对数函数都有.(2)对数函数的图象变换的问题①②③④若函数的图象恒过定点,则实数的值分别为.作出函数的图象.解下列不等式:(1);(2).若,求实数的取值范围.求函数的单调区间.求函数的单调区间.已知在上是增函数,求实数的取值范围.判断函数的奇偶性.已知函数.(1)求函数的定义域;(2)判断函数的奇偶性;(3)求使的的取值范围.扩充:反函数(1)对数函数的反函数指数函数与对数函数互为反函数.(2)互为反函数的两个函数之间的关系①原函数的定义域、值域分别是其反函数的值域、定义域;②互为反函数的两个函数的图象关于直线对称.若函数是函数的反函数,且,则()A. B. C. D.函数的反函数的定义域为()A. B. C. D.若函数的反函数图象过点,则函数的图象必过点()A. B. C. D.
跟踪训练——对数与对数运算(一)对应的指数式是() B. C. D.下列指数式与对数式互化不正确的一组是()A.与 B.与C.与 D.与设,则的值等于()10 B. C.100 D.1000设,则底数的值等于()2 B. C.4 D.已知,那么等于() B. C. D.若,则;若,则.计算:;.求下列各式的值:______;_______.求下列各式中的取值范围:(1);(2).(1)设,求的值.(2)设,且,求的值.对数与对数运算(二)()A.1 B. C.2 D.化简得结果是()A. B. C. D.化简的结果是()A. B.1 C.2 D.已知,则的值等于()A.1 B.2 C.8 D.12化简的结果是()A.1 B. C.2 D.3计算.若,则.(1)已知,试用表示的值; (2)已知,用表示.跟踪训练——对数函数及其性质(一)下列各式错误的是()A. B.C. D.当时,在同一坐标系中,函数与的图象是()A B C D下列函数中哪个与函数是同一个函数()A. B.C. D.函数的定义域是()A. B. C. D.若,那么满足的条件是()A. B. C. D.求下列函数的定义域:(1) (2)已知函数,,求:的值域;的最大值及相应的值.跟踪训练——对数函数及其性质(二)函数的图象关于()A.轴对称 B.轴对称 C.原点对称 D.直线对称函数的值域是()A. B. C. D.设,函数在区间上的最大值与最小值之差为,则()A. B.2 C. D.4图中的曲线是的图象,已知的值为,则曲线相应的 依次为()A. B. C. D.下列函数中,在上为增函数的是()A. B. C. D.函数是函数.(填“奇”、“偶”或“非奇非偶”)函数的反函数的图象过点,则的值为.求函数的单调区间.若函数在区间上是增函数,求实数的取值范围.第16讲对数运算与对数函数一.对数的概念一般地,对于指数式,我们把“以为底的对数”记作,即.其中,数叫做对数的底数,叫做真数,读作“等于以为底的对数”.【定义理解】训练1.将下列指数式写成对数式:(1); (2).【答案】(1);(2)训练2.将下列对数式写成指数式:(1); (2).【答案】(1);(2)二.对数运算法则计算: (2) (3) (4)(5) (6) (7)【答案】(1)1;(2)1;(3)0;(4)19;(5);(6);(7)15练习1:计算:(1) (2) (3) (4)(5)(6)(7)【答案】(1);(2)16;(3)3;(4)-1;(5)0;(6);(7)【解析】(4);;;.已知,,用表示.【答案】【解析】,三.对数函数的概念1.定义:一般地,我们把函数叫做对数函数,其中是自变量,函数的定义域是.2.常用对数:我们通常把以10为底的对数叫做常用对数,例如简记为.3.自然对数:我们通常把无理数为底的对数叫做自然对数,例如简记为.四.对数函数的性质图象性质定义域:值域:过点,即当时,时时时时在上是增函数在上是减函数函数是对数函数,则实数________.【答案】1【解析】依题意,解得.比较下列各组中两个值的大小.(1);(2);(3)【答案】(1);(2);(3)时;时,求下列函数的定义域.(1)(2)(3)【答案】(1);(2);(3).【解析】(1)要使函数有意义,则,解得,定义域为;要使函数有意义,则,解得且,定义域为;要使函数有意义,则,即,解得,定义域为.求下列函数的值域:(1)(2)【答案】(1);(2).【解析】(1)函数定义域为,,,故值域为;(2)由得,故定义域为,,,故值域为.已知,求的最大值及相应的的值.【答案】【解析】,要使函数有意义,则,解得,令,则,,即时,取得最大值.五、对数函数的图象变换及定点问题(1)与对数函数有关的函数图象过定点问题对数函数过定点,即对任意的对数函数都有.(2)对数函数的图象变换的问题①②③④若函数的图象恒过定点,则实数的值分别为.【答案】-2,2作出函数的图象.【答案】略解下列不等式:(1);(2).【答案】(1);(2).【解析】(1),解得;(2)由得,,解得.若,求实数的取值范围.【答案】【解析】,,即,当时,,解得;当时,,解得,综上,的取值范围是.求函数的单调区间.【答案】单调递减区间为,无单调递增区间.【解析】由得,故定义域为,是由和复合而成的,是增函数,是减函数,的单调递减区间为,无单调递增区间.求函数的单调区间.【答案】当时,单调递减区间为,无单调递增区间;当时,单调递减区间为,无单调递增区间.【解析】函数是由和复合而成的,要使函数有意义,则,即,①当时,解得,即定义域为,此时是增函数,而是减函数,则的单调递减区间为,无单调递增区间;②当时,解得,即定义域为,此时是减函数,而是增函数,则的单调递减区间为,无单调递增区间,综上,当时,单调递减区间为,无单调递增区间;当时,单调递减区间为,无单调递增区间.已知在上是增函数,求实数的取值范围.【答案】【解析】是由和复合而成的,是减函数,在上是增函数,在上是减函数,且恒成立,且当时,解得,的取值范围是.判断函数的奇偶性.【答案】奇函数【解析】恒成立,函数定义域为,,是奇函数.已知函数.(1)求函数的定义域;(2)判断函数的奇偶性;(3)求使的的取值范围.【答案】(1);(2)奇函数;(3)当时,的取值范围是;当时,的取值范围是.【解析】(1)要使有意义,则,解得,故定义域为;,是奇函数;由得,①若,则,解得;②若,则,解得,综上所述,当时,的取值范围是;当时,的取值范围是.扩充:反函数(1)对数函数的反函数指数函数与对数函数互为反函数.(2)互为反函数的两个函数之间的关系①原函数的定义域、值域分别是其反函数的值域、定义域;②互为反函数的两个函数的图象关于直线对称.若函数是函数的反函数,且,则()A. B. C. D.【答案】A函数的反函数的定义域为()A. B. C. D.【答案】B【解析】函数的反函数的定义域就是的值域,,,故选B.若函数的反函数图象过点,则函数的图象必过点()A. B. C. D.【答案】A【解析】原函数与反函数关于直线对称,点关于直线对称的点为,必过点,选A.
跟踪训练——对数与对数运算(一)对应的指数式是() B. C. D.【答案】B下列指数式与对数式互化不正确的一组是()A.与 B.与C.与 D.与【答案】C设,则的值等于()10 B. C.100 D.1000【答案】C【解析】,,解得,选C.设,则底数的值等于()2 B. C.4 D.【答案】D【解析】,,,故选D.已知,那么等于() B. C. D.【答案】C【解析】,,,,选C.若,则;若,则.【答案】计算:;.【答案】8,-6求下列各式的值:______;_______.【答案】-6,求下列各式中的取值范围:(1);(2).【答案】(1);(2)(1)设,求的值.(2)设,且,求的值.【答案】(1)12;(2)2【解析】(1),,;(2),,且,,解得.对数与对数运算(二)()A.1 B. C.2 D.【答案】B化简得结果是()A. B. C. D.【答案】C【解析】,故选C.化简的结果是()A. B.1 C.2 D.【答案】A已知,则的值等于()A.1 B.2 C.8 D.12【答案】A【解析】,,故选A.化简的结果是()A.1 B. C.2 D.3【答案】C【解析】,选C.计算.【答案】1【解析】原式若,则.【答案】【解析】,,.(1)已知,试用表示的值; (2)已知,用表示.【答案】(1);(2)【解析】(1),,;(2),.跟踪训练——对数函数及其性质(一)下列各式错误的是()A. B.C. D.【答案】B当时,在同一坐标系中,函数与的图象是()A B C D【答案】C【解析】,,是增函数,且经过定点,是减函数,且经过定点,故选C.下列函数中哪个与函数是同一个函数()A. B.C. D.【答案】C【解析】定义域为,A错误:定义域为;B错误:定义域为;C正确:,且定义域为;D错误:,故选C.函数的定义域是()A. B. C. D.【答案】D【解析】要使有意义,则,即,解得,故定义域为,选D.若,那么满足的条件是()A. B. C. D.【答案】C【解析】,,,,故选C.求下列函数的定义域:(1) (2)【答案】(1);(2).【解析】(1)依题意,解得或,故定义域为;(2)依题意,即,解得,故定义域为.已知函数,,求:的值域;的最大值及相应的值.【答案】(1);(2),【解析】(1)是增函数且,,,所以值域为;(2)定义域为,要使有意义,则,解得,令,则,,即时,取得最大值-6.跟踪训练——对数函数及其性质(二)函数的图象关于()A.轴对称 B.轴对称 C.原点对称 D.直线对称【答案】C【解析】要使函数有意义,则,解得,故定义域为,关于原点对称,又,为奇函数,关于原点对称,选C.函数的值域是()A. B. C. D.【答案】C【解析】
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