人教版高中数学必修一《基本初等函数》之《幂函数》教学案及练习解析

2.3幕函数

教学目标：

知识与技能：通过具体实例了解募函数的图象和性质，并能进行简单的应用。

过程与方法：能够类比研究一般函数、指数函数的过程与方法，来研究累函

数的图象和性质。

情感、态度、价值观：体会基函数的变化规律及蕴含其中的对称性。

教学重点：从五个具体事函数中认识募函数的一些性质。

教学难点：画五个具体基函数的图象并由图象概括其性质,体会图象的变化规律。

教学过程：

—.温故知新

复习指数函数、对数函数的定义

形如y=a'(a>0,ah1)的函数称指数函数；

形如y=log“x{a>0,aw1)的函数称指数函数。

提问：之前还学过哪些函数？

生答：一次函数、二次函数、反比例函数、正比例函数。

将这些函数的特殊形式写出：y=x,y=x2,y=%T

提问：这些是指数函数吗？若不是说出它们与指数函数的相同点与不同点。

生答：相同点：幕的形式。不同点：自变量x的位置。

引出上述三个函数的一般形式丁=%0,从而引出课题------幕函数

二.基函数定义

1.塞函数的定义：一般地，形如y=eR)的函数叫称为基函数(powerfunction),

其中x是自变量，a是常数。

概念辨析：

在下列函数中哪些是塞函数？

(1)y=2-Jx(2)y=x3-x(3)y=(x-2)2(4))

x

同桌讨论，给出观点

例1：已知塞函数y=f(x)的图像过点(4,2),试求出这个函数的解析式。

1-

解：设)，=X—又过(4,2),所以4"=2na=5=>y=x2

三.探究基函数图象与性质

可通过研究几个常见幕函数的图象与性质------在同一坐标系中画出

y=x,y=x)y=》T,y=x\y函数的图象，然后观察图象，归纳特征。

学生活动：在事先发给他们的作图纸上通过描点法画

图。

教师巡视并辅导。

师生一起校对所画图象的正确性，并根据图象编成

基函数操，(帮助学生记图的同时，也提高学生学习的

兴趣)。

要求学生通过观察图形，完成性质表格的填写

2£1

y=xy=xy=x®y=x

EB[0,+oof{x|x^O)^

定义域RRR胆

值域R[0,+°0)Rro,+s){y|y对}

奇偶性奇函数偶函数奇函教於奇非偶奇函数

单调性[0,g)递增(-8,0)递减

(-W,0]递减(0,4«)递减

眄

公共点(Li)

师：引导学生观察图象，归纳概括基函数的性质及图象变化规律。

生：观察图象，分组讨论，探究哥函数的性质和图象的变化规律，展示各自的结论进行交流

评析。

教师帮助归纳总结

基函数性质归纳：

(1)所有的募函数在(0,+8)都有定义，并且图象都过点(1,1)。

(2)。〉0时，基函数的图象通过原点，并且在区间[0,+8)上是增函数。

特别地，当0〈a<l时，基函数的图象下凸；当a>l时，塞函数的图象上凸；

(3)a<0时，基函数的图象在区间(0,+8)上是减函数。在第一象限内，当x从右边趋向

原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于”时，图象在x轴上方无

限地逼近x轴正半轴。

四.探究与发现

]?3

探究题：如图所示，是基函数丁=丁在第一象限内的图象，己知。分别取-四个

值，则相应图象依次为:

提问：你们是否发现什么规律？(学生讨论，给出猜测)

利用几何画板探索基函数y=Z图象随a的变化规律

五.小结

1.塞函数的概念

2.五种常见的图象分别为a=3,2,1,(1/2),-1

3.性质：定义域

值域

单调性(a>0和a<0两种情况)

奇偶性

公共点

体现思想：数形结合从特殊到一般

双基达标20

a—1a-9

1.若黑函数尸工为偶函数，则a的值不可能是().

A.5B.4C.3D.1

解析函数是偶函数，则a?-4品一9是偶数，将各选项中数值代入可知a=4时，a2-4a-9

=—9,不符合要求.

答案B

2.下列不等式在a〈从0的条件下不能成立的是().

A.a।B.a3Vb：'

C.^<aD.

解析分别构造函数、=工4,其中

函数y=HT,y=V在(-8,0)上为减函数，而y=/,y=

工一9为(-oo,0)上的增函数，从而D项不成立.

答案D

3.给出四个说法：

①当〃=0时，y="；'的图象是一个点；

②幕函数的图象都经过点(0,0),(1,1),；

③事,函数的图象不可能出现在第四象限；

④基函数y=x"在第一象限为减函数，则K0.

其中正确的说法个数是().

A.1B.2C.3D.4

_±

解析显然①错误；②中如y=N?的图象不过点(0,0).根据基函数.的图象可知③、④正

确，故选B.

答案B

4.若幕函数y=f(x)的图象经过点(9,则f(25)=______.

解析由题设：=9",，。=

O

EG1

答案5

2

m—2w.—1

工

5.已知函数f(x)=(病+勿).，当/〃=时，F(x)为基函数.

解析当/一+勿=1,即片T束小时,背一2加一1为实数，F(x)为累函数.

生案T土邓

r口2

_f»n_1

6.已知尸（/〃+2〃L2）~+2〃-3是累函数，求/〃、〃的值.

m+2/〃一2=1,

解由题意得《疡-1N0,

2n-3=0,

/»=—3,

3

解得13所以加=-3,n—~

〃=万，2

综合提高限时25分钟

7.如图，曲线G与G分别是函数尸/和y=x"在第一象限内图象，则下列结论正确的是

().

A.水冰0B.冰水0

C.〃>初>0D./»>/?>0

解析由题图象可知，两函数在第一象限内递减，故水0,水0.

取X=2,则有2->2",知所,故水水0.

答案A

8.若基函数/U)的图象过点(2,阴，则汽4),等于().

A.16B.2C.~D.~

解析设"=£«&是常数)，则2=孝=2一+,

所以«=一•3./(%)=二凸，则/(4)=4一±=/

答案C

9.下列命题中,

①幕函数的图象不可能在第四象限；

②当。=0时，函数尸/的图象是一条直线；

③当。＞0时，塞函数尸x"是增函数；

④当aVO时，幕函数尸”"在第一象限内函数值随/值的增大而减小.

其中正确的序号为,.

解析当。=0时，是直线y=l但去掉(0,1)这一点，故②错误.当。＞0时，基函数尸/

仅在第一象限是递增的，如尸产,故③错误.

答案①④

2°。

w.一乙根—3

尤

10.若哥函数f(x)=(ni—m—1)•在(0,+8)上是减函数，则实数%=

ni—2m.13

无

解析♦・・f(x)=(m2—R—1)为幕函数，

1=1,・••勿=2或m=—l.

当勿=2时，/'(x)=/3在(0,+8)上是减函数,

当m=一1时“f(x)=x°=l不符合题意.

综上可知