第7讲复合函数的单调性（教案）-高中数学人教A版（2019）必修第一册

第7讲函数的单调性(2)

一、教学目标

1.掌握函数单调性的方义以及函数的单调区间求法

2.理解函数单调性的应用.

二、知识点梳理

知识点一：复合函数与抽象函数单调性

1、复合函数单调性的判断

一般地对于复合函数y=/(g(x)),如果/=g(x)在(a,b)上是单调函数，并且y=/(/)在

(g(a),g(b))或者(g@g(a))上也是单调函数，那么y=/1(g(x))在(a,b)上的单调性如下表所示，

简记为“同增异减”

t=g(x)y=/(0y=/(g(x))

增增增

增减减

减增减

减减增

讨论复合函数单调性的步骤：

①求出复合函数的定义域；

②复合函数分解成若干个常见的基本函数，并判定其单调性;

③把中间变量的变化范围转化成自变量的变化范围；

④根据上述复合函数的单调性规律判定其单调性。

例1、求函数/(x)=—1~的单调区间

变式训练

已知/(x)=x?—2x—3,g(x)=5—炉试求g(x)的单调区间

2、抽象函数单调性的判断与证明

没有给出具体解析式的函数,称为抽象函数,求此类函数的单调性通常有两种方法:一种是“凑”

凑定义或凑已知，利用定义或者已知条件得出结论；另一种是赋值，给变量赋值要根据条件与

结论的关系。

例2、已知函数/(%)对任意的尤,yeH,总有/(x+y)=且当x>0时，/'(%)<0.求

证：/(X)在R上为减函数。

知识点二：函数最值的求法

求函数最值的方法

1、配方法：主要适用于二次函数或者可化为二次函数的函数，要特别注意自变量的取值范围

2、换元法：用换元法一定要注意新元的取值范围

3、数形结合法：对于图像较容易画出的函数的最值问题，可借助图像直观求出。

4、利用函数的单调性：要注意函数的单调性对函数最值的影响，特别是闭区间上的函数的最

值。

例3、利用单调性求最值

求函数y=2x+Jx-l

求函数〃。=岁的最值

VX

利用图像求最值

例4、用min{a,b}表示a,b两个数中较小值，设/'3=11±1卜+2,10-斓5»0）,则/'（%）的最大值为

二次函数最值

求二次函数最值有两种类型：一是函数定义域为实数集R,这时只要根据抛物线的开口方向，

应用配方法即可求出；二是函数定义域为某一区间，这时二次函数最大值（最小值）由它单调

性确定，而它的单调性由二次函数的开口方向和对称轴的位置来确定；当开口方向和对称轴的

位置不确定时，还需进行分类讨论。

求二次函数/（%）=加+6x+c（a〉0）在区间上的最值

（1）若对称轴x=-2在区间［加,〃］内则最小值为幺］最大值为/'（加）"（力中较大者

2ay2aJ

（2）若对称轴x=-2<m,则/（X）在区间上上是增函数，最大值为/'（〃），最小值为，（加）

2a

（3）若对称轴工=-■—>n,则/"（%）在区间［"2,"］上是减函数，最大值为/1（m）,最小值为A"）

例5、定轴定区间上的最值问题

已知函数/⑺=3X2-12%+5当自变量x在下列范围内取值时，求函数的最大值与最小值

⑴R(2)[0,3](3)[-1,1]

例6、动轴定区间上的最值问题

已知函数/(6=必-2奴+2,%€[-1,1]求函数/(%)的最小值

例7、定轴动区间上的最值

已知函数=-2x+2,xe|/,f+l]"eR的最小值为g(f),试写出g(t)的函数表达式

变式训练

1、求函数y=-x(x-a)在上的最大值

2、已知函数/(》)=依2+2办+1在区间[-1,2]上有最大值4,求实数a的值

知识点三：函数单调性的应用

已知函数单调性求参数的取值范围

(1)、已知函数的单调性求参数的取值范围的方法是视参数为已知数，依据函数的图像或单

调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数

(2)依据常见函数(如一次函数、反比例函数、二次函数等)的单调性求解

需要注意若一个函数在区间同是单调的，则该函数在此区间的任意子集也是单调的。

例8、若函数=+"-1”>°在R上为增函数，求实数b的取值范围

-x2+(2-b)x,x<0

变式训练

1、已知函数/(x)=f+2(a-1卜+2在区间(-小引上是减函数，则实数a的取值范围是.

2、已知函数/(x)=2f—阳+3,当xe(—2,+co)时是增函数，当co,—2)时是减函数，贝I]/(1)

等于。

知识点四：应用函数单调性解不等式

利用单调性解不等式的常用结论

(1)正向结论：若y=/(x)在给定区间上是增函数，当玉<々时，/(xj<f(x2),当王>々时,

/(%1)>/(%2)

(2)逆向结论:若y=/(%)在给定区间上是增函数,当2(尤1)</(尤2)时，/</，当/(%)〉了(尤2)

时，七>/。

例9、设函数Ax)/'—4X+6，X'O,则不等式/(X)>“1)的解集是_______0

x+6,x<0

变式训练

2+4YX0

已知函数，(x)=光X+"〉,若/(2-/)〉/(a),则实数。的取值范围是。

4x-x%<0

例10、设“X)是R上的单调递减函数，且/(加)〉/(-间,则实数机的取值范围为()

A.(0,+oo)B.(-oo,-l)C.(-oo,-l)U(0,+a))D.(-1,0)

变式训练

1、已知/(x)是定义在［-1,1］上的增函数，且/(X-1)</(必一1),求X的取值范围。

2、已知人乃是定义在(一2,2)上的减函数，并且人加一1)—人1—2m)>0,求实数机的取值范围.

例11、设/(x)是定义在(0,+8)上的增函数，"2)=1,且/(盯)=/(%)+/(y),求满足不等式

/(x)+/(x-3)<2的大的取值范围.

三、课堂练习

1、函数/(x)=2-3在区间［1,3］上的最大值是()

X

A.2B.3C.-lD.1

2、函数了=/-2》+2在区间［-2,3］上的最大值、最小值分别是()

A.10,5B.10,1C.5,1D.12,5

[1X>1

3、函数/'(x)=<x'的最大值为()

-%?+2,%〈1

A.1B.2C.-D.-

23

4、若函数y=6+1在［1,2］上的最大值与最小值差为2,则实数a的值()

A.2B.-2C.2或-2D.0

5、已知函数/(x)=-x2+4x+a,xe［0,l］,若/"(x)最小值为-2,则/"(x)的最大值为()

A.1B.OC.-lD.2

6^求函数乂二门的最值

7、若函数-的最大值为%求实数a的值

8^已知函数/(x)=必-2ax+2,xe［-1,1］,求函数/"(x)的最小值

9、已知一次函数/(x)=2x+3机+1,若当xe[-l,4w)时，/'(%)»0恒成立，求实数m的取值范

围

四、课后作业

1、函数/(x)=j2-x+2在区间[3,+co)上的最大值是a

2、函数y=J-V—2%+3的递减区间是oy=2%的递增区间

是o

3、函数/(X)的增区间是(-4,7),则y=/(x-3)的递增区间是()

A、(-2,3)B、(-1,10)C、(-1,7)D、(4,10)

4、若函数y=(m-l)/+g+3(xeR)的图象关于y轴对称，则它的单调递增区间为。

5、已知函数y=2/+4(a-3)x-3在区间(-8,-3)上是减函数，在(-3,+8)上是增函数则a=

_______O

6、如果函数/。)=必一(a—l)x+5在区间(g,l)上是增函数，那么”2)的取值范围是_。

7、已知函数”x)=X+-X-U,若“2—/)〉/⑷，