高考数学（文）：02 函数与方程及函数的应用（教学案）含解析

专题2函数与方程及遨的应用

【高考考纲解读】

高考对本内容考查主要有：

(1)①确定函数零点；

②确定函数零点个数；

③根据函数零点存在情况求参数值或取值范围。

⑵函数简单性质综合考查、函数实际应用问题。

(3)函数与导数、数列、不等式等知识综合考查。

利用函数性质解决相关最值、题型既有选择题、填空题，又有解答题，客观题主

要考查相应函数图象和性质，主观题考查较为综合，在考查函数零点、方程根基

础上，又注重考查函数与方程、转化与化归、分类讨论、数形结合思想方法。

【重点、难点剖析】

1、函数零点与方程根

(1)函数零点

对于函数f(公,我们把使F(x)=0实数x叫做函数f{x)零点。

⑵函数零点与方程根关系

函数/(上)=f(x)—g(x)零点就是方程f(x)=g(x)根，即函数尸/'(X)图象与函数

y=g(x)图象交点横坐标。

(3)零点存在性定理

如果函数y=f(x)在区间［a,5］上图象是连续不断一条曲线，且有f(a)•

那么，函数尸f(x)在区间(a,5)内有零点，即存在(a,5)使得f(c)=0,这

个。也就是方程*才)=0根。

注意以下两点：

①满足条件零点可能不唯一；

②不满足条件时，也可能有零点。

(4)二分法求函数零点近似值，二分法求方程近似解。

2、应用函数模型解决实际问题一般程序

读题建模求解反馈

文字语言台数学语言=数学应用今检验作答

与函数有关应用题，经常涉及到物价、路程、产值、环保等实际问题，也可涉及

角度、面积、体积、造价最优化问题、解答这类问题关键是确切建立相关函数解

析式，然后应用函数、方程、不等式和导数有关知识加以综合解答。

3、在求方程解个数或者根据解个数求方程中字母参数范围问题时，数形结合是

基本解题方法，即把方程分拆为一个等式，使两端都转化为我们所熟悉函数解析

式，然后构造两个函数f(x),g(x),即把方程写成f(x)=g(x)形式，这时方程

根个数就是两个函数图象交点个数，可以根据图象变化趋势找到方程中字母参数

所满足各种关系.

【题型示例】

题型1、函数与方程问题

【例1】【2017江苏，14】设f(x)是定义在R且周期为1函数，在区间[0,1)上,

/(%)=<''其中集合£)=Jv\x=--9则方程/(x)-lgx=0解个数是

x,x走。，[n)

【答案】8

【解析】由于〃x)c［OJ),赚I考虑lWx<10的情况,

在此范围内，XC0目xeD时，设％=乌,口4七加*,9之2,且p，4互质，

P

若Igxc。，则由Igxe(OJ),可设lgx=3叫"Cjv*=a\2,且风亚互质，

m

因此10：=、，贝也伊=(、)，此时左边为整数，右边为非整数，矛盾，因此Igx星Q,

因此Igx不可能与每个周期内x&D对应的部分相等，

只需考虑Igx与每个周期xiD的部分的交点，

画出函数图象，图中交点除外(L0)其他交点横坐标均为无文数，属于每个周期工史D的部分,

且x=1处(lex)'=二==上<1,则在x=1附近仅有一个交点，

janlOInlO

因此方程〃x)-1gx=0的解的个数为8.

iy

【变式探究】【2016高考新课标1卷】函数、=2/-那在［—2,2］图像大致为

(C)(D)

【答案】D

【解析】函数f&)=2--e用在L2,2］上是偶函数,其图像关于了轴对称，因为『(2)=8-e2,0<8-e2<1,

所以排除A、B选项；当xc［0,2］时，/(x)=4x—ex有一零点，设为W,当xe(O,/)时，/(力为减函

数，当xc(4,2)时，/S)为增函数.故选D。

【举一反三】已知函数/1(»=«2、若存在实数6,使函数g(x)=F(x)

一力有两个零点，则a取值范围是o

答案：(一8,0)U(1,+8)

解析：函数g(x)有两个零点，即方程f(x)—6=0有两个不等实根，则函数y=

f(x)和y=b图象有两个公共点。

①若a<0,则当xWa时，f{x)=x,函数单调递增；当x>a时，f\x)=x,函数

先单调递减后单调递增，F(x)图象如图①实线部分所示，其图象与直线y=b可

能有两个公共点.

②若0W&W1,则成函数/'(x)在R上单调递增，f(x)图象如图②实线部分

所示，其图象与直线尸6至多有一个公共点.

③若a>l,则才>才，函数/'(X)在R上不单调，Ax)图象如图③实线部分所示，

其图象与直线y=6可能有两个公共点。

综上知，水0或力1.

图①图②图③

「⑴,

2—TxWO,

I》

【变式探究】已知直线尸/X与函数=<]图象恰好有

+1,x>0

3个不同公共点，则实数加取值范围是—

【答案】(馅，+8)

如图所示.直线尸神的图象是绕坐标原点旋转的动直线.当斜率百。时，屋戋尸,与匣徽f(x)的图象

只有一个公共点；当对>0时，直线产皿始终与函数户2-E)(xSO)的图象有一个公共点，故要使直线产

与函数f(X)的图象有三个公共点，必须有直线产M与幽+1(x>0)的图象有两个公共点，即

方程JSX=^X+1,在K〉o时有两个

不相等实数根，即方程*一2"x+2=0判别式zl=W-4X2>0,且办0,解得加

隹.故所求实数加取值范围是(斓，+-).

【特别提醒】解决由函数零点存在情况求参数值或取值范围问题，关键是利用函

数方程思想或数形结合思想，构建关于参数方程或不等式求解。

题型二函数零点

例2、(1)已知函数/'(x)=lnx—U2零点为吊，则X。所在区间是()

A、(0,1)B、(1,2)

C、(2,3)D、(3,4)

(2)[x]表示不超过x最大整数，例如[2.9]=2,[―4.1]=-5.已知f(x)=x—

[x](x£R),g(x)=log4(x—1),则函数力(x)=F(x)—g(x)零点个数是()

A、1B、2C、3D、4

(1)答案：C

解析：../*>=%在(o,+B)上是增函数，

二又加尸lnL©r=lnl-2<0，

12)=ln2-®<0,

剧=ln3-®M,

「.々£(2,3),故选C.

(2搭案：B

解析：函数力g⑻的零点个数可转化为函数/M与g⑶图象的交点个数，作出函数也)=*-冈=

/・・・>

I*+1,—l<x<0?

4X,OSX<1>与函数gM=iog4(*-i)的大致图象，如图，由图知，两函数图象的交点个数为2,

*一1,3区2,

即函数的零点个数是2.

【变式探究】(2014•江苏)已知f(x)是定义在R上且周期为3函数，当xQ［0,

3)时，f(x)=2x+］.若函数y=f(x)—a在区间［—3,4］上有10个零点(互

不相同)，则实数a取值范围是o

(1}

【答案】0)-

\乙)

【解析】函数尸爪力一3在区间［-3,4］上有互不相同的10个零点，即日额产*€［—3,4］与广&

的图象有10个不同交点.在坐标系中作出函数f(x)在一个周期内的图象如图，可知当o〈”手寸满足题意.

1、确定函数零点常用方法

⑴解方程判定法，若方程易求解时用此法。

⑵零点存在判定定理法，常常要结合函数性质、导数等知识。

⑶