2024贵州中考数学一轮知识点复习 微专题 图形折叠问题（课件）

微专题图形折叠问题与折叠有关的计算常用性质方法解读折叠问题常见类型：折叠基本性质：1.折叠问题的本质是全等变换，折叠前的部分与折叠后的部分是全等图形．第1题图①线段相等：ED′＝______，EG＝______，FD′＝______；②角度相等：∠D′＝________，∠D′EG＝________；③全等关系：四边形FD′EG≌____________．ADAGDF∠D∠DAG四边形FDAG2.折痕可看作垂直平分线：GF⊥________，OA＝OE(折痕垂直平分连接两个对应点的连线)．3.折痕可看作角平分线：∠EGF＝________(对称线段所在的直线与折痕的夹角相等)．AE∠AGF第1题图折叠有关计算：一、利用勾股定理求解例1题图例1如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，将矩形沿折痕EF折叠，点C恰好落在点A处，点D的对应点为D′，求AE的长．【自主解答】标量把已知线段和要求线段(x)标在图形上集中利用线段的和差关系，把已知条件和要求的线段转移到一个直角三角形中(Rt△AD′E)求解根据勾股定理列出方程求解AD′2＋D′E2＝AE2【思维教练】【自主解答】解：设AE＝x，则D′E＝DE＝AD－AE＝5－x，AD′＝CD＝AB＝3，在Rt△AD′E中，AD′2＋D′E2＝AE2，∴32＋(5－x)2＝x2，解得x＝

.即AE的长是

.例1题图二、利用三角形相似求解例2如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，将矩形沿折痕AE折叠，点D恰好落在BC边上的F处，求EC的长．例2题图标量把已知线段和要求的线段(x)标在图形上集中利用线段的和差关系，把已知条件和要求的线段转移到一对相似三角形中(△AFB∽△FEC)求解根据相似三角形对应边成比例列出方程求解EF∶FA＝EC∶FB【思维教练】例2题图解：设EC＝x，则EF＝DE＝3－x，∵AF＝AD＝BC＝5，AB＝3，∴BF＝4，∵∠BAF＋∠AFB＝90°，∠EFC＋∠AFB＝90°，∴∠BAF＝∠CFE，又∵∠B＝∠C＝90°，∴△AFB∽△FEC，∴EF∶FA＝EC∶FB，即(3－x)∶5＝x∶4，解得x＝

，即EC的长是

.【自主解答】分类突破类型一折痕确定当折痕确定时，直接根据折叠的性质得到线段、角度的等量关系，再利用勾股定理、相似、三角函数、或等面积法直接求解即可．

拨点法方例1如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，将直角边AB沿直线AD折叠，使它落在斜边AC上，且点B与点E重合，求BD的长．例1题图【解法一】利用勾股定理解：∵△ABD与△AED关于AD成轴对称，∴AE＝AB＝6，BD＝DE，∠ABD＝∠AED＝∠CED＝90°，在Rt△ABC中，∵AC2＝AB2＋BC2＝62＋82＝102，∴AC＝10，∴CE＝AC－AE＝4，设BD＝DE＝x，则CD＝BC－BD＝8－x，在Rt△CDE中，由勾股定理得x2＋42＝(8－x)2，解得x＝3，即BD＝3.例1题图【解法二】利用相似解：∵△ABD与△AED关于AD成轴对称，∴AE＝AB＝6，BD＝DE，∠ABD＝∠AED＝∠CED＝90°，在Rt△ABC中，∵AC2＝AB2＋BC2＝62＋82＝102，∴AC＝10，∴CE＝AC－AE＝4，∵∠C＝∠C，∴△CDE∽△CAB，∴解得DE＝3，∴BD＝3.例1题图【解法三】利用等面积法解：∵△ABD与△AED关于AD成轴对称，∴BD＝DE，∠ABD＝∠AED＝∠CED＝90°，在Rt△ABC中，∵AC2＝AB2＋BC2＝62＋82＝102，∴AC＝10，∵S△ABC＝S△ABD＋S△ADC，∴BC·AB＝

BD·AB＋

AC·DE，∴×8×6＝

×6BD＋

×10DE＝

×16BD，解得BD＝3.例1题图例2如图，在矩形ABCD中，AD＝4，AB＝3，将△ABC沿AC折叠，点B落在点E处，此时CE交AD于点F，则CF的长为________．例2题图当折痕过一动点的线段问题解题方法如下：首先根据折叠的性质得到线段相等，然后再利用勾股定理、相似、锐角三角函数等列方程求解．拨点法方类型二折痕过一动点例3如图，在平行四边形ABCD中，E为边CD上一点，将△ADE沿AE折叠至△AD′E处，AD′与CE交于点F，若∠B＝54°，∠DAE＝20°，则∠FED′的大小为(

)A.27°

B.32°

C.36°

D.40°例3题图B例4如图，在矩形ABCD中，点P是AB边上的一点，将△PBC沿PC折叠，使点B落在AD上点B′处，若AB＝3，BC＝5，则AP的长为_____．例4题图例5如图，将一个直角三角形纸片ABO放置在平面直角坐标系中，点A(3，0)，点B(0，4)，点O(0，0)．P是边AB上的一点(点P不与点A，B重合)，沿着OP折叠该纸片，得点B的对应点B′.当B′P∥x轴时，点B′的坐标为________．例5题图当折叠后出现含30°，45°角的直角三角形时，可利用特殊三角形的性质解题；例6如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D处，再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点B′处，两条折痕分别与斜边AB分别交于点E、F，则B′F的长为________．拨点法方例6题图例7如图，在矩形ABCD中，AD＝8，AB＝4，点P是AD上的点，且AP＝3，点E是BC边上一动点，将矩形ABCD沿直线PE折叠，点A，B的对应点分别为点A′，B′，点B′落在BC下方，当A′、B′、D共线时，BE的长为________．例7题图1类型三折痕过两动点当折痕不确定时，常先分析已知条件判断折叠后的图形再求解．折叠方式不确定的问题有时会产生多解问题，可以通过关键条件，进行分类讨论，画出所有可能情况，把折叠方式不确定问题转化为折叠方式确定问题．拨点法方例8如图，正方形纸片ABCD的边长为6，点E，F分别是AB，CD的中点，点G在AD上，点H在AE上，将纸片沿GH所在直线折叠，得到△GMH，若FM＝2EM，则AH的长为________．例8题图例9如图，将一个矩形纸片OABC放置在平面直角坐标系中，点O(0，0)，点B(2，2)．D是边BC上一点(不与点B重合)，过点D作DE∥OB交OC于点E.将该纸片沿DE折叠，得点C的对应点C′.当点C′落在OB上时，点C′的坐标为________