高中数学排列组合经典题型全面总结版

中学数学排列及组合

（一）典型分类讲解

一.特殊元素和特殊位置优先策略

例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.

解：由于末位和首位有特殊要求,应当优先支配，以免不合要求的元素占了这两个位.

先排末位共有

然后排首位共有C：

最终排其它位置共有A：

由分步计数原理得=288

练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里，若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？

二.相邻元素捆绑策略

例2.7人站成一排，其中甲乙相邻且丙丁相邻，共有多少种不同的排法.

解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再及其它元素进行排列，同时对相邻元素内部

进行自排。由分步计数原理可得共有6A；&=480种不同的排法

要求某几个元素必需排在一起的问题，可以用捆绑法来解决问题.即将须要相邻的元素合并为一个元素,再及其它元素

一起作排列，同时要留意合并元素内部也必需排列.

练习题:某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为，

三.不相邻问题插空策略

例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场，则节目的出场依次有多少种？

解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有A；种，其次步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种不

同的方法，由分步计数原理,节目的不同依次共有A；种

元素相离问题可先把没有位置要求的元素进行排队再把不相邻元素插入中间和两端

练习题：某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.假如将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节

目不相邻，那么不同插法的种数为30

四.定序问题倍缩空位插入策略

例4.7人排队,其中甲乙丙3人依次确定共有多少不同的排法

解：（倍缩法）对于某几个元素依次确定的排列问题，可先把这几个元素及其他元素一起进行排列，然后用总排列数除以这几个元素之间的

全排列数,则共有不同排法种数是：A；/

（空位法）设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有种方法，其余的三个位置甲乙丙共有，种坐法，则共有种方法。

思索:可以先让甲乙丙就坐吗？

（插入法）先排甲乙丙三个人，共有1种排法，再把其余4四人依次插入共有方法

定序问题可以用倍缩法，还可转化为占位插空模型处理

练习题：10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要求从左至右身高渐渐增加，共有多少排法？品）

五.重排问题求塞策略

例5.把6名实习生安排到7个车间实习，共有多少种不同的分法

解:完成此事共分六步:把第一名实习生安排到车间有工种分法.把其次名实习生安排到车间也有7种分依此类推，由分步计数原理共有

76种不同的排法

允许重复的排列问题的特点是以元素为探讨对象，元素不受位置的约束，可以逐•支配各个元素的位置，•般地n不

同的元素没有限制地支配在m个位置上的排列数为〃2"种

练习题：

1.某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.假如将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种

数为42

2.某8层大楼一楼电梯上来8名乘客人,他们到各自的一层下电梯,下电梯的方法

六.环排问题线排策略

例6.8人围桌而坐，共有多少种坐法？

解：围桌而坐及坐成一排的不同点在于，坐成圆形没有首尾之分，所以固定一人并从今位置把圆形展成直线其余7人共有（8-1）!

种排法即7!

一般地,n个不同元素作圆形排列，共有（n-1）!种排法.假如从n个不同元素中取出m个元素作圆形排列共有A：

练习题：6颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈120

七.多排问题直排策略

例7.8人排成前后两排,每排4人，其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法

解：8人排前后两排,相当于8人坐8把椅子，可以把椅子排成一排.个特殊元素有种，再排后4个位置上的特殊元素丙有种,

其余的5人在5个位置上随意排列有种,则共有种

前排后排

・般地，元素分成多排的排列问题，可归结为•排考虑,再分段探讨.

练习题：有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现支配2人就座规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那

么不同排法的种数是346

八.排列组合混合问题先选后排策略

例8.有5个不同的小球,装入4个不同的盒内，每盒至少装一个球,共有多少不同的装法.

解:第一步从5个球中选出2个组成复合元共有C；种方法.再把4个元素（包含一个复合元素）装入4个不同的盒内有A：种方法，

依据分步计数原理装球的方法共有C；A：

解决排列组合混合问题,先选后排是最基本的指导思想.此法及相邻元素捆绑策略相像吗?

练习题：一个班有6名战士,其中正副班长各1人现从中选4人完成四种不同的任务,每人完成一种任务,且正副班长有且只有1人参与,

则不同的选法有192种

九.小集团问题先整体后局部策略

例9,用1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数夹1,5在两个奇数之间,这样的五位数有多少个？

解：把1,5,2,4当作一个小集团及3排队共有种排法，再排小集团内部共有种排法，由分步计数原理共有

练习题：

1.支配展出10幅不同的画，其中1幅水彩画，4幅油画，5幅国画，排成一行陈设,要求同一品种的必需连在一起，并且水彩画不

在两端，那么共有陈设方式的种数为

2.5男生和5女生站成一排照像，男生相邻,女生也相邻的排法有种

十.元素相同问题隔板策略

例10.有10个运动员名额，分给7个班，每班至少一个，有多少种安排方案？

解：因为10个名额没有差别，把它们排成一排。相邻名额之间形成9个空隙。在9个空档中选6个位置插个隔板，可把名额分成7

份，对应地分给7个班级，每一种插板方法对应一种分法共有球种分法。

将n个相同的元素分成m份（n,m为正整数），每份至少一个元素，可以用m-1块隔板，插入n个元素排成一排的n-1个

空隙中，全部分法数为

练习题：

1.10个相同的球装5个盒中,每盒至少一有多少装法？Cg

2.x+y+z+vv=100求这个方程组的自然数解的组数

十一.正难则反总体淘汰策略

例11.从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字中取出三个数，使其和为不小于10的偶数,不同的

取法有多少种？

解：这问题中假如干脆求不小于10的偶数很困难,可用总体淘汰法。这十个数字中有5个偶数5个奇数,所取的三个数含有3个偶

数的取法有Cl,只含有1个偶数的取法有,和为偶数的取法共有+点。再淘汰和小于10的偶数共9种，符合条件的

取法共有cd+C-9

有些排列组合问题，正面干脆考虑比较困难，而它的反面往往比较简捷，可以先求出它的反面，再从整体中淘汰.

练L题：我们班里有43位同学，从中任抽5人，正、副班长、团支部书记至少有一人在内的

抽法有多少种？

十二.平均分组问题除法策略

例12.6本不同的书平均分成3堆，每堆2本共有多少分法？

解：分三步取书得C：盘种方法,但这里出现重复计数的现象,不妨记6本书为ABCDEE,若第一步取AB,其次步取CD,第三步取EF

该分法记为(AB,CD,EF),则C：盘中还有(AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB)(EF,CD,AB),(EF,AB,CD)共有A；种取法，而这

些分法仅是(AB,CD,EF)一•种分法，故共有种分法。

平均分成的组，不管它们的依次如何,都是一种状况，所以分组后要确定要除以(〃为均分的组数)避开重复计数。

练习题：

1将13个球队分成3组，一组5个队，其它两组4个队，有多少分法？(品《C/A；)

2.10名学生分成3组，其中一组4人，另两组3人但正副班长不能分在同一组，有多少种不同的分组方法(1540)

3.某校高二年级共有六个班级，现从外地转入4名学生，要支配到该年级的两个班级且每班支配2名，则不同的支配方案种数为—

yC4/A；=90)

十三.合理分类及分步策略

例13.在一次演唱会上共10名演员，其中8人能能唱歌,5人会跳舞,现要演出一个2人唱歌2人伴舞的节目，有多少选派方法

解：10演员中有.5人只会唱歌，2人只会跳舞3人为全能演员。选上唱歌人员为标准进行探讨只会唱的5人中没有人选上唱歌人员

共有利只会唱的5人中只有1人选上唱歌人员CG盘种，只会唱的5人中只有2人选上唱歌人员有种，由分类

计数原理共有+种。

解含有约束条件的排列组合问题，可按元素的性质进行分类，按事务发生的连续过程分步，做到标准明确。分步层次

清晰，不重不漏，分类标准一旦确定要贯穿于解题过程的始终。

练习题:

1.从4名男生和3名女生中选出4人参与某个座谈会，若这4人中必需既有男生又有女生，则不同的选法共有”

2.3成人2小孩乘船游玩,1号船最多乘3人，2号船最多乘2人,3号船只能乘1人，他们任选2只船或3只船,但小孩不能单独乘一只船,

这3人共有多少乘船方法.(27)

本题还有如下分类标准：

*以3个全能演员是否选上唱歌人员为标准

*以3个全能演员是否选上跳舞人员为标准

*以只会跳舞的2人是否选上跳舞人员为标准

都可经得到正确结果

十四.构造模型策略

例14.公路上有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九只路灯，现要关掉其中的3盏,但不能关掉相邻的2盏或3盏，也不能关掉两端的2盏,求

满足条件的关灯方法有多少种？

解：把此问题当作一个排队模型在6盏亮灯的5个空隙中插入3个不亮的灯有种

一些不易理解的排列组合题假如能转化为特别熟识的模型，如占位填空模型，排队模型，装盒模型等，可使问题直观解决

练习题：某排共有10个座位，若4人就坐，每人左右两边都有空位，那么不同的坐法有多少种？(120)

十五.实际操作穷举策略

例15.设有编号1,2,3,4,5的五个球和编号1,2,3,4,5的五个盒子,现将5个球投入这五个盒子内，要求每个盒子放一个球，并且恰好有两

个球的编号及盒子的编号相同,有多少投法

解：从5个球中取出2个及盒子对号有点种还剩下3球3盒序号不能对应，利用实际操作法，假如剩下3,4,5号球，3,4,5号盒3

号球装4号盒时，则4,5号球有只有1种装法，同理3号球装5号盒时,4,5号球有也只有1种装法，由分步计数原理有2盘种

3号盒4号盒5号盒

对于条件比较困难的排列组合问题，不易用公式进行运算，往往利用穷举法或画出树状图会收到意想不到的结果

练习题：

1.同一寝室4人,每人写一张贺年卡集中起来，然后每人各拿一张别人的贺年卡，则四张贺年卡不同的安排方式有多少种？（9）

2.给图中区域涂色,要求相邻区域不同色,现有4种可选颜色,则不同的着色方法有些种

十六.分解及合成策略

例16.30030能被多少个不同的偶数整除

分析：先把30030分解成质因数的乘积形式30030=2X3X5X7XUX13,依题意可知偶因数必先取2,再从其余5个因数中任

取若干个组成乘积，全部的偶因数为：

练习：正方体的8个顶点可连成多少对异面直线

解：我们先从8个顶点中任取4个顶点构成四体共有体共12=58,每个四面体有3对异面直线，正方体中的8个顶点可连成

3x58=174对异面直线

分解及合成策略是排列组合问题的•种最基本的解题策略，把一个困难问题分解成几个小问题逐•解决，然后依据问题分解后

的结构，用分类计数原理和分步计数原理将问题合成,从而得到问题的答案，每个比较困难的问题都要用到这种解题策略

十七.化归策略

例17.25人排成5X5方阵,现从中选3人，要求3人不在同一行也不在同一列,不同的选法有多少种？

解：将这个问题退化成9人排成3X3方阵,现从中选3人，要求3人不在同一行也不在同一列,有多少选法.这样每行必有1人从其中的一

行中选取1人后,把这人所在的行列都划掉，如此接着卜.去.从3X3方队中选3人的方法有种。再从5X5方阵选出3X3方阵便

可解决问题.从5X5方队中选取3行3列有C；或选法所以从5X5方阵选不在同一行也不在同一列的3人有选法。

处理困难的排列组合问题时可以把一个问题退化成•个简要的问题，通过解决这个简要的问题的解

决找到解题方法，从而进下一步解决原来的问题

练习题:某城市的街区由12个全等的矩形区组成其中实线表示公路，从A走到B的最短路径有多少种？（《=35）

~~~|B

A1-

十八.数字排序问题查字典策略

例18.由0,1,2,3,4,5六个数字可以组成多少个没有重复的比324105大的数？

解:N=2父+2A；+A；+A；+A；=297

数字排序问题可用查字典法，查字典的法应从高位向低位查,依次求出其符合要求的个数，依据分类计数原理求出其总数。

练习：用0,1,2,3,4,5这六个数字组成没有重复的四位偶数,将这些数字从小到大排列起来,第71个数是3140

十九.树图策略

例19.3人相互传球,由甲起先发球，并作为第一次传球，经过5次传求后，球仍回到甲的手中，则不同的传球方式有N=1O

1时于条件比较困难的排列组合问题，不易用

练习：分别编有1,2,3,4,5号码的人及椅，其中，号人不坐i号椅（1=1,2,3,45）的不同坐法有多少种？N=44

二十.困难分类问题表格策略

例20.有红、黄、兰色的球各5只，分别标有A、B、C、D、E五个字母，现从中取5只，要求各字母均有且三色齐备,则共有多少种不同的

取法

解：

红111223

黄123121

*321211

取法clc'.C'-C；c?：c\Ct：JX.

一些日1难的分类选取题,要满足的条件比牧多，尢从人手，用；常出现更复戈M漏的状况，用表格法，则分类明硼，能保证题中须

满足白j条件，能达到好的效果.

二十一：住店法策略

解决“允许重复排列问题”要留意区分两类元素：一类元素可以重复，另一类不能重复，把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素

看作“店”，再利用乘法原理干脆求解.

例21.七名学生争夺五项冠军，每项冠军只能由一人获得，获得冠军的可能的种数有.

分析：因同一学生可以同时夺得n项冠军，故学生可重复排列，将七名学生看作7家“店”，五项冠军看作5名“客”，每个“客”有7

种住宿法，由乘法原理得7§种.

排列组合易错题正误会析

1没有理解两个基本原理出错

排列组合问题基于两个基本计数原理，即加法原理和乘法原理，故理解“分类用加、分步用乘”是解决排列组合问题的前提.

例1从6台原装计算机和5台组装计算机中随意选取5台,其中至少有原装及组装计算机各两台，则不同的取法有一种.

误会：因为可以取2台原装及3台组装计算机或是3台原装及2台组装计算机，所以只有2种取法.

错因分析：误会的缘由在于没有意识到“选取2台原装及3台组装计算机或是3台原装及2台组装计算机”是完成任务的两“类”

方法，每类方法中都还有不同的取法.

正解：由分析，完成第一类方法还可以分成两步：第一步在原装计算机中随意选取2台，有种方法；其次步是在组装计算机随意

选取3台，有种方法，据乘法原理共有底种方法.同理，完成其次类方法中有种方法.据加法原理完成全部的选取过程

共有C3C：+C旌或=350种方法.

例2在一次运动会上有四项竞赛的冠军在甲、乙、丙三人中产生，那么不同的夺冠状况共有()种.

(A)㈤(B)43(C)34(D)C；

误会：把四个冠军，排在甲、乙、丙三个位置上，选A.

正解：四项竞赛的冠军依次在甲、乙、丙三人中选取，每项冠军都有3种选取方法，由乘法原理共有3x3x3x3=34种.

说明：本题还有同学这样误会，甲乙丙夺冠均有四种状况，由乘法原理得43.这是由于没有考虑到某项冠军一旦被一人夺得后，其他

人就不再有4种夺冠可能.

2推断不出是排列还是组合出错

在推断一个问题是排列还是组合问题时，主要看元素的组成有没有依次性，有依次的是排列，无依次的是组合.

例3有大小形态相同的3个红色小球和5个白色小球，排成一排，共有多少种不同的排列方法？

误会：因为是8个小球的全排列，所以共有种方法.

错因分析：误会中没有考虑3个红色小球是完全相同的，5个白色小球也是完全相同的，同色球之间互换位置是同一种排法.

正解：8个小球排好后对应着8个位置，题中的排法相当于在8个位置中选出3个位置给红球，剩下的位置给白球，由于这3个红球

完全相同，所以没有依次，是组合问题.这样共有：=56排法.

3重复计算出错

在排列组合中常会遇到元素安排问题、平均分组问题等，这些问题要留意避开重复计数，产生错误。

例45本不同的书全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为()

(A)480种(B)240种(C)120种(D)96种

误会：先从5本书中取4本分给4个人，有种方法，剩下的1本书可以给随意一个人有4种分法，共有4x4：=480种不同的分法，

表1是甲首先分得。、乙分得人、1丙分得C、丁分得d,最终一本书e给甲的状况；表2是甲首先分得。、乙分得匕、丙分得。、丁分

得d,最终•本书〃给甲的状况.这两种状况是完全相同的，而在误会中计算成了不同的状况。正好重复了一次.

正解：首先把5本书转化成4本书，然后分给4个人.第一步：从5本书中随意取出2本捆绑成一本书，有种方法；其次步：再

把4本书分给4个学生，有4：种方法,由乘法原理，共有A：=240种方法，故选B.

例5某交通岗共有3人，从周一到周日的七天中，每天支配一人值班，每人至少值2天，其不同的排法共有()种.

(A)5040(B)1260(C)210(D)630

误会：第一个人先选择2天，其次个人再选择2天，剩下的3天给第三个人，这三个人再进行全排歹人共有：C/C£A：=126(),选B.

错因分析：这里是匀称分组问题.比如：第一人选择的是周一、周二，其次人选择的是周三、周四；也可能是第一个人选择的是周三、周

四，其次人选择的是周一、周二，所以在全排列的过程中就重复计算了.正解：种.

4遗漏计算出错______

在排列组合问题中还可能由于考虑问即不够全面，因为遗漏某些状况，而出错。MIIL3|

例6用数字0,1,2,3,4组成没有重复数字的比1000大的奇数共有()

(A)36个(B)48个(C)66个(D)72个

误会：如右图，最终一位只能是1或3有两种取法，又因为第1位不能是0,在最终一位取定后只有3种取

法，剩下3个数排中间两个位置有A；种排法，共有2x3xA：=36个.

错因分析：误会只考虑了四位数的状况，而比1(X)0大的奇数还可能是五位数.

正解：任一个五位的奇数都符合要求，共有2x3xA1=36个，再由前面分析四位数个数和五位数个数之和共有72个，选D.

5忽视题设条件出错

在解决排列组合问题时确定要留意题目中的每一句话甚至每一个字和符号，不然就可能多解或者漏解.

例7如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得运用同一颜色，现有上一^

种颜色可供选择，则不同的着色方法共有_________种.(以数字作答)

误会：先着色第一区域，有4种方法，剩下3种颜色涂四个区域，即有…•种颜色涂相对的(^3―y/

两块区域，有利I由乘法原理共有：4x12=48种.

错因分析：没有看清题设“有4种颜色可供造号”，不确定须要4种颜色全部运用，用3种也可以完成任务.

正解：当运用四种颜色时，由前面的误会知有48种着色方法；当仅运用三种颜色时：从4种颜色中选取3种有种方法，先着色第一

区域，有3种方法，剩下2种颜色涂四个区域，只能是一种颜色涂第2、4区域，另一种颜色涂第3、5区域，有2种着色方法，由乘法

原理有。彳x3x2=24种.综上共有：48+24=72种.

例8已知办2一〃=。是关于x的一元二次方程，其中。、8£{1,2,3,4},求解集不同的一元二次方程的个数.

误会:从集合{1,2,3,4}中随意取两个元素作为〃、b,方程有A：个，当〃、8取同一个数时方程有1个，共有A：+l=13个.

错因分析：误会中没有留意到题设中：“求解集不回的……”所以在上述解法中要去掉同解状况，由于同解、同解，故要减去2个。

正解：由分析，共有13—2=11个解集不同的一捻二版去程.

6未考虑特殊状况出错

在排列组合中要特殊留意一些特殊状况，一有疏漏就会出错.

例9现有1角、2角、5角、1元、2元、5元、10元、50元人民币各一张，100元人民币2张，从中至少取一张，共可组成不同的币值种数是

()

(A)1024种(B)1023种(Q1536种(D)1535种

误：因为共有人民币10张，每张人民币都有取和不取2种状况，减去全不取的1种状况，共有210-1=1023种.

错因分析：这里100元面值比较特殊有两张，在误会中被计算成4种状况，事实上只有不取、取•张和取二张3种状况.

正解：除100元人民币以外每张均有取和不取2种状况，100元人民币的取法有3种状况，再减去全不取的1种状况，所以共有

29x3-1=1535种.

7题意的理解偏差出错

例10现有8个人排成一排照相，其中有甲、乙、丙三人不能相邻的排法有()利L

(A).A：(B)A；—A：,用(C).A；(D)-4：

误会：除了甲、乙、丙三人以外的5人先排，有A?种排法，5人排好后产生6个空档，插入甲、乙、丙三人有A1种方法，这样共

有8・A：种排法,选A.

错因分析：误会中没有理解“甲、乙、丙三人不能相邻”的含义，得到的结果是“甲、乙、丙三人耳不理郃”的状况.“甲、乙、

丙三人不能相邻”是指甲、乙、丙三人不能同时相邻，但允许其中有两人相邻.

正解：在8个人全排列的方法数中减去甲、乙、丙全相邻的方法数，就得到甲、乙、丙三人不相邻的方法数，即

故选B.

8解题策略的选择不当出错

例10高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，其中工厂甲必需有班级去，每班去何工厂可自由选择，则不同

的安排方案有().

(A)16种(B)18种(C)37种(D)48种

误会：甲工厂先派一个班去，有3种选派方法，剩下的2个班均有4种选择，这样共有3x4x4=48种方案.

错因分析：明显这里有重复计算.如：。班先派去了甲工厂，Z?班选择时也去了甲工厂，这及6班先派去了甲工厂，。班选择时也去

了甲工厂是同一种状况，而在上述解法中当作了不一样的状况，并且这种重复很难解除.

正解：用间接法冼计算3个班自由选择去何工厂的总数，再扣除甲工厂无人去的状况，即：4x4x4-3x3x3=37种方案.

(二)典型例题讲解

例1用。到9这10个数字.可组成多少个没有重复数字的四位偶数？

分析：这一问题的限制条件是：①没有重复数字；②数字“0”不能排在千位数上；③个位数字只能是0、2、4、

6、8、，从限制条件入手，可划分如下：

假如从个位数入手，四位偶数可分为：个位数是“0”的四位偶做，个位数是

2、4、6、8的四位偶数(这是因为零不能放在千位数上).由此解法一及二.

假如从千位数入手.四位偶数可分为：千位数是1、3、5、7、9和千位数是2、4、6、8两类，由此得解法三.

假如四位数划分为四位奇数和四位偶数两类，先求出四位个数的个数，用解除法，得解法四.

解法1：当个位数上排“0”时，千位，百位，十位上可以从余下的九个数字中任选3个来排列，故有"个；

当个位上在“2、4、6、8”中任选一个来排，则千位上从余下的八个非零数字中任选一个，百位，十位上再从余

下的八个数字中任选两个来排，按乘法原理有（个）.

没有重复数字的四位偶数有

阀+•府=5（M+1792=2296个.

解法2：当个位数上排“0”时，同解一有岗个；当个位数上排2、4、6、8中之一时，千位，百位，十位上可从

余下9个数字中任选3个的排列数中减去千位数是“0”排列数得：•（反-蜀）个

/.没有重复数字的四位偶数有

耳+"•（反—履）=5（M+1792=2296个.

解法3；千位数上从1、3、5、7、9中任选一个，个位数上从0、2、4、6、8中任选一个，百位,十位上从余下

的八个数字中任选两个作排列有

心闻•&个

干位上从2、4、6、8中任选一个，个位数上从余下的四个偶数中随意选一个（包括0在内），百位，十位从余下

的八个数字中随意选两个作排列，有

•A：•&个

/.没有重复数字的四位偶数有

.•A卜片+A：•4：•&=2296个.

解法4：将没有重复数字的四位数字划分为两类：四位奇数和四位偶数.

没有重复数字的四位数有-个.

其中四位奇数有A；（反-&）个

，没有重复数字的四位偶数有

_用_4⑷_硝=ioX阀_用_5阀+5A；

=4用+5用

=36Ag+5A；

=41A；

=2296个

说明：这是典型的简洁具有限制条件的排列问题，上述四种解法是基本、常见的解法、要仔细体会每种解法的实

质，驾驭其解答方法，以期敏捷运用.

典型例题二

例2三个女生和五个男生排成一排

（1）假如女生必需全排在一起，可有多少种不同的排法？

（2）假如女生必需全分开，可有多少种不同的排法？

（3）假如两端都不能排女生，可有多少种不同的排法？

（4）假如两端不能都排女生，可有多少种不同的排法？

解：（1）（捆绑法）因为三个女生必需排在一起，所以可以先把她们看成一个整体，这样同五个男生合一起共有

六个元素，然成一排有种不同排法.对于其中的每一种排法，三个女生之间又都有用对种不同的排法，因此共有

=4320种不同的排法.

（2）（插空法）要保证女生全分开，可先把五个男生排好，每两个相邻的男生之间留出一个空档.这样共有4个

空档，加上两边两个男生外侧的两个位置，共有六个位置，再把三个女生插入这六个位置中，只要保证每个位置至多

插入一个女生，就能保证随意两个女生都不相邻.由于五个男生排成一排有A；种不同排法，对于其中随意一种排法,

从上述六个位置中选出三个来让三个女生插入都有Al种方法，因此共有8-=14400种不同的排法.

（3）解法1：（位置分析法）因为两端不能排女生，所以两端只能选择5个男生中的2个，有种不同的排法，

对于其中的随意一种排法，其余六位都有种排法，所以共有醴=14400种不同的排法.

解法2：（间接法）3个女生和5个男生排成一排共有A：种不同的排法，从中扣除女生排在首位的种排法

和女生排在末位的种排法，但这样两端都是女生的排法在扣除女生排在首位的状况时被扣去一次，在扣除女

生排在未位的状况时又被扣去一次，所以还需加一次回来，由于两端都是女生有种不同的排法，所以共有

A；+4试=14400种不同的排法.

解法3：（元素分析法）从中间6个位置中选择出3个来让3个女生排入，有种不同的排法，对于其中的随意

一种排活，其余5个位置又都有种不同的排法，所以共有A，A；=14400种不同的排法，

（4）解法1：因为只要求两端不都排女生，所以假如首位排了男生，则未位就不再受条件限制了，这样可有

种不同的排法；假如首位排女生，有种排法，这时末位就只能排男生，有4种排法，首末两端随意排定一种状况

后，其余6位都有种不同的排法，这样可有A；种不同排法.因此共有A；+4卜A；•=36000种

不同的排法.

解法2：3个女生和5个男生排成一排有A；种排法，从中扣去两端都是女生排法街种，就能得到两端不都

是女生的排法种数.

因此共有4=36000种不同的排法.

说明：解决排列、组合（下面将学到，由于规律相同，顺便提及，以下遇到也同样处理）应用问题最常用也是最

基本的方法是位置分析法和元素分析法.

若以位置为主，需先满足特殊位置的要求，再处理其它位置，有两个以上约束条件，往往是考虑一个约束条件的

同时要兼顾其它条件.

若以元素为主，需先满足特殊元素要求再处理其它的元素.

间接法有的也称做解除法或排异法，有时用这种方法解决问题来得简洁、明快.

捆绑法、插入法对于有的问题确是适用的好方法，要仔细搞清在什么条件下运用.

典型例题三

例3排一张有5个歌颂节目和4个舞蹈节目的演出节目单。

（1）任何两个舞蹈节目不相邻的排法有多少种？

（2）歌颂节目及舞蹈节目间隔排列的方法有多少种？

解：（1）先排歌颂节目有用种，歌颂节目之间以及两端共有6个位子，从中选4个放入舞蹈节目，共有中方

法，所以任两个舞蹈节目不相邻排法有：=43200.

（2）先排舞蹈节目有中方法，在舞蹈节目之间以及两端共有5个空位，恰好供5个歌颂节目放入。所以歌颂

节目及舞蹈节目间隔排列的排法有：A：=2880种方法。

说明：对于“间隔”排列问题，我们往往先排个数较少的元素，再让其余元素插空排列。否则，若先排个数较多

的元素，再让其余元素插空排时，往往个数较多的元素有相邻状况。如本题（2）中，若先排歌颂节目有再排舞

蹈节目有A；,这样排完之后，其中含有歌颂节目相邻的状况，不符合间隔排列的要求。

典型例题四

例4某一天的课程表要排入政治、语文、数学、物理、体育、美术共六节课，假如第一节不排体育，最终一节不

排数学，那么共有多少种不同的排课程表的方法.

分析及解法1：6六门课总的排法是其中不符合要求的可分

为：体育排在第一书有4；种排法，如图中I；数学排在最终一节有

种排法，如图中H；但这两种排法，都包括体育排在第一书数学排在I粤J

最终一节，如图中m,这种状况有种排法，因此符合条件的排法

应是：

A：-2A；+A：=5（M（种）.

分析及解法2：依据要求，课程表支配可分为4种状况：

（1）体育、数学既不排在第一节也不排在最终一节，这种排法有种;

（2）数学排在第一节但体育不排在最终一节，有排法种；

（3）体育排在最终一节但数学不排在第一节，有排法种；

（4）数学排在第一节，体育排在最终一节，有排法

这四类排法并列，不重复也不遗漏，故总的排法有：

A：•A：+A；+A；=504（种）.

分析及解法3：依据要求，课表支配还可分下述4种状况：

（1）体育，数学既不在最终也不在开头一节，有=12种排法；

（2）数学排在第一节，体育不排在最终一节，有4种排法；

（3）体育在最终一书，数学木在第一节有4种排法；

（4）数学在第一节，体育在最终一节有1种排法.

上述21种排法确定以后，仅剩余下四门课程排法是种A：,故总排法数为21"=5（M（种）.

下面再提出一个问题，请予解答.

问题：有6个人排队，甲不在排头，乙不在排尾，问并肩多少种不同的排法.

请读者完成此题.

说明：解答排列、组合问题要留意一题多解的练习，不仅能提高解题实力，而且是检验所解答问题正确及否的行

之有效的方法.

典型例题五

例5现有3辆公交车、3位司机和3位售票员，每辆车上需配1位司机和1位售票员.问车辆、司机、售票员搭

配方案一共有多少种？

分析：可以把3辆车看成排了依次的三个空：rm,然后把3名司机和3名售票员分别填入.因此可认为事务分

两步完成，每一步都是一个排列问题.

解：分两步完成.第一步，把3名司机支配到3辆车中，有用=6种支配方法；其次步把3名售票员支配到3辆

车中，有用=6种支配方法.故搭配方案共有

羯.用=36种.

说明：很多困难的排列问题，不行能一步就能完成.而应分解开来考虑：即经适当地分类成分或分步之后，应用

分类计数原理、分步计数原理原理去解决.在分类或分步时，要尽量把整个事务的支配过程考虑清晰，防止分类或分

步的混乱.

典型例题六

例6下是表是高考第一批录用的一份志愿表.假如有4所重点院校，每所院校有3个专业是你较为满足的选

择.若表格填满且规定学校没有重复，同一学校的专业也没有重复的话，你将有多少种不同的填表方法？

学校专业

112

212

312

分析：填写学校时是有依次的，因为这涉及到第一志愿、其次志愿、第三志愿的问题；同一学校的两个专业也有

依次，要区分出第一专业和其次专业.因此这是一个排列问题.

解：填表过程可分两步.第一步，确定填报学校及其依次，则在4所学校中选出3所并加排列，共有四种不同

的排法；其次步，从每所院校的3个专业中选出2个专业并确定其依次，其中又包含三小步，因此总的排列数有

种.综合以上两步，由分步计数原理得不同的填表方法有：A；-Al8-A；=5184种.

说明：要完成的事务及元素的排列依次是否有关，有时题中并未干脆点明，须要依据实际情景自己推断，特殊是

学习了后面的“组合”之后这一点尤其重要.“选而且排”（元素之间有依次要求）的是排列，“选而不排”（元素之间

无依次要求）的是组合.另外，较困难的事务应分解开考虑.

典型例题七

例57名同学排队照相.

（1）若分成两排照,前排3人，后排4人，有多少种不同的排法？

（2）若排成两排照,前排3人，后排4人，但其中甲必需在前排，乙必需在后排，有多少种不同的排法？

（3）若排成一排照,甲、乙、丙三人必需相邻，有多少种不同的排法？

（4）若排成一排照,7人中出名4男生，3名女生，女生不能相邻，有多少种不面的排法？

分析：（1）可分两步完成：第一步，从7人中选出3人排在前排，有用种排法；其次步，剩下的4人排在后排，

有A：种排法，故一共有&=用种排法.事实上排两排及排成一排一样，只不过把第4~7个位子看成其次排而

已，排法总数都是相当于7个人的全排列.（2）优先支配甲、乙.（3）用“捆绑法”.（4）用“插空法”.

解：（1）A：A：=A；=5O4O种.

（2）第一步支配甲，有A；种排法；其次步支配乙，有种排法；第三步余下的5人排在剩下的5个位置上，有£

种排法，由分步计数原理得，符合要求的排法共有4；•A：•父=1440种.

（3）第一步，将甲、乙、丙视为一个元素，有其余4个元素排成一排，即看成5个元素的全排列问题，有父种排

法；其次步，甲、乙、丙三人内部全排列，有用种排法.由分步计数原理得，共有6-A；=720种排法.

（4）第一步，4名男生全排列，有A：种排法；其次步，女生插空，即将3名女生插入4名男生之间的5个空位，这

样可保证女生不相邻，易知有种插入方法.由分步计数原理得，符合条件的排法共有：A：-6=1440种.

说明：（1）相邻问题用''捆绑法"，即把若干个相邻的特殊元素“捆绑”为一个“大元素”，及其他一般元素全排列;

最终再“松绑”，将这些特殊元素进行全排列.（2）不相邻问题用“插空法”，即先支配好没有限制条件的元素，然后再

将有限制条件的元素按要求插入排好的元素之间.

典型例题八

例8从2、3、4、5、6五个数字中每次取出三个不同的数字组成三位数，求全部三位数的和.

分析：可以从每个数字出现的次数来分析，例如“2”，当它位于个位时，即形如丽园的数共有个（从3、4、5、6

四个数中选两个填入前面的两个空），当这些数相加时，由“2”所产生的和是412.当2位于十位时，即形如雨丽

的数也有那么当这些数相加时，由“2”产生的和应是A：-240.当2位于面位时，可同理分析.然后再依次

分析3、4、5、6的状况.

解：形如丽因的数共有个，当这些数相加时，由“2”产生的和是AJ2；形如前钢的数也有个，当这

些数相加时，由“2”产生的和是否N/O；形如冰丽的数也有个，当这些数相加时，由“2”产生的和应是

A：2100.这样在全部三位数的和中，由“2”产生的和是苗2111.同理由3、4、5、6产生的和分别是号-3―111,

A;-4-111,,因此全部三位数的和是段12+3+4+5+6）=26640.

说明：类似于这种求“数字之和”的问题都可以用分析数字出现次数的方法来解决.如“由1,4,5,x四个数字组

成没有重复数字的四位数，若全部这些四位数的各数位上的数字之和为288,求数x”.本题的特殊性在于，由于是

全排列，每个数字都要选用，故每个数字均出现了24次，故有24x（l+4+5+x）=288,得x=2.

典型例题九

例9计算下列各题：

⑴怨；(2)A：；(3)；

.123n—\

(4)1!+2,2!+3