矩形的折叠问题-中考数学二轮复习必会几何模型剖析

专题二

轴对称模型§2.3

矩形的折叠人教版中考第二轮总复习---几何模型折叠问题数学思想本质轴对称方程思想全等形对称性相等的边相等的角对称轴的垂直平分线利用相似利用过股定理求角的大小

线段的长考点归纳知识梳理题型概述轴对称的性质：1.轴对称前后的两个图形全等；(①对应角相等；②对应边相等)2.对称点连线被对称轴垂直且平分．考点归纳知识梳理矩形折叠的常见类型ABCDC´EABCDD´EABCDA´EABCDA´E△ABD´与△D´CE有什么关系(1)△ABE与△C´DE有什么关系(2)△BDE是什么三角形.AFD´EDBC35x5-x5-x3△A´DE是什么三角形.点A´的运动路径？ABCDD´C´FEM△MEF是什么三角形.(1)△ABE与△C´DE有什么关系(2)△BDE是什么三角形.考点5-1典例精讲矩形的折叠与全等三角形

对称的图形中可能会有特殊角，而此时特殊角带来的不仅仅是其本身，也可能会连带其他角也变成特殊角.

B30º30º30º【分析】找出图中隐藏的特殊角.由题意可得：∠DAM=∠MAN=∠NAB=30º∵AD=3,∴DM=,AM=323.ANMDCB考点5-2典例精讲矩形的折叠与相似三角形

AECPDB【分析】由对称可得AP⊥BD,易证△ABE∽△DAB，设AB=x,则：BEAB=ABDA代入得：=2xxDA∴DA=x2.22∵矩形ABCD面积为32.2∴x·x2=32.222解得：x=4.∴AB=4,AD=8,2128+16=BD==12,144记AP与BD交点为H,则AB·AD=AH·BD，代入解得：AH=823∴AP=1623性质2：对称点连线被对称轴垂直且平分,连接对称点连线可得垂直,由垂直,可得直角三角形,可得三垂直全等或相似,由三角函数,但终可求线段长.1623H考点5-3典例精讲矩形的折叠与勾股定理【例3】如图,折叠长方形的一边AD,点D落在BC边的点F处,已知AB=8cm，AD=10cm,则EC=___.AEFDCB810x8-x108-x6442+x2=(8-x)2x=33方法一：利用勾股定理方法二：利用相似x:6=4:8x=3考点5-4典例精讲矩形的折叠与三角形函数

AFEDCBMNx2x4-2x【分析】过F点作MN∥BC分别交AB、CD于M、N两点.∴tan∠BAF=12设FM=x,则AM=2x,BM=4-2x.在Rt△BMF中：x2+(4-2x)2=()2，5解得：x1=1,x2=(舍),115易证△BMF∽△FNE.BFEF=BMFN∴【小结】对称点落在内部则可作辅助线,使点落在矩形边上.代入得：EF=255-1解得：EF=5-52∴CE的长为5-525-52

APDCBA´MN作点A关于直线MN的对称点A´,连接A´B,与MN交点即为点P.A【分析】将军饮马问题的基本思路是“作关于动点所在直线的对称,化折线为直线”,本题的一个难点在于要分析出动点P的轨迹是一条直线.根据S△PAB=S矩形ABCD.1342+62=213过点P作MN∥AB分别交AD、BC于M、N两点,则M是线段AD靠近点D的三等分点,N是线段BC靠近点C的三等分点.此时PA+PB=PA´+PB=A´B=考点5-5典例精讲矩形的折叠与最值问题如图,在正方形ABCD中,E是BC边上的一点,BE=4,EC=8,将正方形AB沿AE折叠到AF,延长EF交DC于G,连接AG,FC,现在有如下4个结论：①∠EAG=45º；②FG=FC；③FC∥AG；④S△GFC=14.其中正确结论是_____.ADCBFGE查漏补缺针对训练矩形的折叠484xx12-x82+(12-x)2=(4+x)2x=6①③知识梳理课堂小结矩形的折叠

AFGEHDCB4423提升能力强化训练矩形折叠2-1AFMEOBCD22-112-1

20AHECDBFG121620BEADCFOGbb2b2a2a22a相似提升能力强化训练矩形折叠5.如图,矩形AOBC边OB,OA分别在x轴,y轴上,点A坐标为(0,3),∠OAB=60º,以AB为对称轴对折后,使C点落在D点处,则D点坐标为__________.6.如图,在矩形ABCD中,AB=6,BC=10,将矩形ABCD沿BE折叠,点A落在A´处,若EA´处,若EA´的延长线恰好过点C,则sin∠ABE的值为_____.yxABDCO3HAH=4.5OH=AH-AO=4.5-3=1.5(,-)33232(,-)33232333333332提升能力强化训练矩形折叠ABA´EDC2106106868210107.如图,在矩形ABCD中,AB=2,BC=3,点E为AD上一点,且∠ABE=30º,将△ABE沿BE翻折,得到△A´BE,连接CA´并延长交AD于点F,则DF的长为______.HBA´EFADC∵tan∠DFC=【小结】矩形对称,自带直角也要再构造直角,勾股、相似、三角函数均与直角相关,明确了思路解题便不是难事.【分析】可通过三角函数值来计算.由题意得：∠ABE=∠A´BE=∠A´BC=30º,过点A´作A´H⊥BC交BC于H点,则A´H=1,BH=,33∴CH=3-,tan∠FCB=13-33+36=123+3=2(3-3)=6-23.6-23提升能力强化训练矩形折叠8.如图,在矩形ABCD中,AD=2.将∠A向内翻折,点A落在BC上,记为A´,折痕为DE.若将∠B沿EA´向内翻折,点B恰好落在DE上,记为B´,则AB=____.AB´DCBEA´260º60º60º113330º30º60º60º3提升能力强化训练矩形折叠

AA´(D´)BCDE22111222211D直角三角形提升能力强化训练矩形折叠10.如图,把某矩形纸片ABCD沿EF,GH折叠，使点B和点C落在AD边上同一点P处,点A的对称点为点A´,点D的对称点为点D´,若∠FPG=90º,△A´EP的面积为4,△D´PH的面积为1,则矩形ABCD的面积等于______.APGFD´A´HEDCB【分析】求矩形面积,考虑能否把矩形相邻两边都算出来.两端往中间折叠,则可得：A´P=D´P.∵∠FPG=90º,∴A´PD´=90º,易证△A´EP∽△D´PH.考虑两三角形面积分别是4和1,∴相似比为2:1.设AB=a,则A´P=D´P=a,D´H=0.5a,A´E=2a,EP=a,PH=a552表示△D´PH面积：··a=1,12a2解得a=2.AD=2a+a+a+=5+3，552a25∵AB=2.∴矩形ABCD面积为2×(5+3)=10+6.5