高中数学必修第一册第2 课时补集及综合应用

第2课时补集及综合应用

新知初探•自主学习—突出基础性

知识点补集

1.全集

在研究集合与集合之间的关系时，如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集，那么

称这个给定的集合为全集，全集通常用u表示.

2.补集

状元随笔全集并不是一个含有任何元素的集合，

仅包含所研究问题涉及的所有元素.

CuA的三层含义：

(l)CuA表示一个集合；

(2)A是U的子集，即AUU；

(3)EuA是U中不属于A的所有元素组成的集合.

基础自测

1.设全集。=~集合尸={x|-2Wx<3},则Cd等于()

A.{x|无<一2或x23}B.{x|x<—2或x>3}

C.{x|xW—2或x>3}D.{x|xW—2且尤23}

2.已知全集。=11,A={尤|尤WO},B={x\x^l},则集合C/AUB)等于()

A.{x|x20}B.{x|xWl}

C.{x|0WxWl}D.{x|0<x<l}

3.已知集合。={2,3,6,8},A={2,3},B={2,6,8},则([uA)nB=

课堂探究,素养提升一强化创新性

题型1补集的运算[教材P18例5]

例1已知4=(—1,+8),2=(—8,2],求[RA,CRB.

【解析】在数轴上表示出A和8,如图所示.

-3-2-1O123"

由图可知[RA=(-8,—1],[RB=[2,+°°).

秋材反思

求补集的原则和方法

(1)一■个基本原则.

求给定集合A的补集，从全集U中去掉属于集合A的元素后，由所有剩下的元素组成

的集合即为A的补集.

(2)两种求解方法：

①若所给的集合是有关不等式的集合，则常借助于数轴，把已知集合及全集分别表示在

数轴上，然后再根据补集的定义求解，注意端点值的取舍.

②若所给的集合是用列举法表示，则用Venn图求解.

跟踪训练1(1)已知全集。={1,2,3,4,5},A={1,3},则［以=()

A.0B.{1,3}

C.{2,4,5}D.{1,2,3,4,5}

利用补集定义直接求.

(2)设全集为R,集合A={x|0VxV2},B={x\x^l］,则AG(CRB)=()

A.{MO<xWl}

B.{x\O<x<l}

C.{x|l«2}

D.{x|0<x<2}

利用数轴表示集合A、B,结合数轴求出结果.

题型2集合交、并、补的综合运算［经典例题］

先求［uB,再求AGCuB.

例2(1)已知全集。={1,2,3,4,5,6,7,8},集合A={2,3,5,6),集合3=

［1,3,4,6,7},则集合AA(C")=()

A.{2,5}B.{3,6}

C.{2,5,6}D.{2,3,5,6,8}

根据集合的交集、补集、并集运算，画数轴，即可求解.

(2)已知全集U=R,A=［x\~4^x<2},8={x［—1<XW3},P={x|x<0或x之求

AAB,(CuB)UP,(AnB)A(Cc/P).

方法归佃

求集合交、并、补运算的方法

常借助于数轴，把已知集合及全集分别表

示在数轴上，然后再根据交、并、补集的

定义求解，这样处理比较形象直观，解答

过程中注意边界问题.

先把集合中的元素一一列举出来，然后结合

交、并、补集的定义来求解，另外针对此类问

题,在解答过程中也常常借助于Venn图来求

解，这样处理起来相对来说比较直观、形

侬，且解答时不易由感.

跟踪训练2已知全集U={x|xW4},集合A={x|-2V%V3},B={x|—3V%W3}.求［以,

AAB,Ct/(AAB),(C(/A)nB.

借助数轴求出［uA,［uB再运算.

题型3补集思想的应用［经典例题］

例3已知集合A={x|f—4x+2〃z+6=0},2={x|x<0},若AcBK。，求实数机的取

值范围.

状元随笔®AnB=0,对于集合A而言，分A=0与AW0两种情况.A=0表示方程无

实根.

②B={x|x<O},而ACB=0,故A{x|xNO},即已知方程的根为非负实根.

③A20保证了AW。，即原方程有实根；X1+X22O与xiX2》。保证了原方程两根非负.

如果两根都大于1,则等价形式为伊一二:匕。而不是卜+*2>2，

(01—1)(尤2—1)>。，[X1X2>1.

④由于ACB#0,故方程X2—4x+2m+6=0一定有解，故我们还可以设全集U=

{m|AN0}={m|mW-1}.止匕时，{m|—3WmW-1}关于U的补集也是3},结果相

同.

方法归他

(1)运用补集思想求参数范围的方法：

①否定已知条件，考虑反面问题；

②求解反面问题对应的参数范围；

③将反面问题对应参数的范围取补集.

(2)补集思想适用的情况：

从正面考虑，情况较多，问题较复杂的时候，往往考虑运用补集思想.根据补集的定义，

得到关于m的方程n?—m—1=5,解得m的值后还需检验.

跟踪训练3设全集U={3,6,nr-m-l],4={|3-2训，6},[以={5},求实数九

第2课时补集及综合应用

新知初探咱主学习

知识点

[uA{x|x£U且x&A}

[基础自测]

1.解析：由尸={X|-2Wx<3}得2或x\3}.

答案：A

2.解析：4^18={尤以忘0或；121},

所以1u(AUB)={x[O<x<l}.故选D.

答案：D

3.解析：先计算[以，再计算QA)CB.

V17={2,3,6,8},A=[2,3},二[必={6,8}.

；.([uA)nB={6,8}n{2,6,8}={6,8}.

答案：{6,8}

课堂探究•素养提升

跟踪训练1解析：(1)本小题考查集合的运算.

VU={1,2,3,4,5},A={1,3},：.[uA=[2,4,5).

⑵本题主要考查集合的基本运算.

由B—{x|x^1},得[RB={x|x<l},

借助于数轴，可得4门(}2)={邓)<无<1},故选B.

CRB

答案：(1)C(2)B

例2【解析】⑴因为U={1,2,3,4,5,6,7,8},B={1,3,4,6,7),所以

luB={2,5,8}.又4={2,3,5,6},

所以AC([08)={2,5}.

(2)将集合A,B,P分别表示在数轴上，如图所示.

因为4={尤|—4Wx<2},B={x[—1<%W3},

所以AnB={x[—l<x<2},{尤|xW—1或x>3}.

又「二口博三。或x2|},

所以(1uB)UP={x|xW0或x2|}.

又[d={x[O<x<§,所以(4m8)口([£/尸)={况-14<2}('1国0<乂<|}=00<%<2}.

【答案】(1)A(2)见解析一

跟踪训练2解析：把全集U和集合A,8在数轴上表示如下：

由图可知,[以={x|xW—2或3WxW4},

AnB={x|—2<x<3},

CtXAAB)={x|xW—2或3WxW4},

(Ct^4)AB={x|—3<xW—2或x=3}.

例3【解析】先求AnB=。时机的取值范围.

(1)当A=0时，①

方程%2—4%+2m+6=0无实根，所以/=(一4)2—4(2机+6)V0,解得相>一1.

(2