高中数学-根式教学设计学情分析教材分析课后反思

2.1.1根式

教学目标

一、知识与技能

理解根式的概念，掌握〃次方根的性质.

二、过程与方法

1.通过师生之间、学生与学生之间互相交流，使学生逐步学会共同学习.

2.引导学生认真体会数学知识发展的逻辑合理性、严谨性，做一个具备严谨科学态

度的人.

3.通过探究、思考，培养学生思维迁移能力和主动参与的能力.

三、情感态度与价值观

1.新知识的发现是因为面临的问题以原有的知识得不到解决所引发出来的思考，通过学

习根式的概念，使学生认清基本概念的来龙去脉，加深对人类认识事物的一般规律的理解和

认识，体会知识之间的有机联系，感受数学的整体性，激发学生的学习兴趣，培养学生严谨

的科学精神.

2.在教学过程中，通过学生的自主探索，来加深理解〃次方根的性质，具有探索能力是

学习数学、理解数学、解决数学问题的重要方面.

教学重点

1.根式的概念.

2.〃次方根的性质.

教学难点

1.根式概念的理解.

2.77次方根性质的理解.

教学过程

一、创设情景，引入新课

师：你们知道考古学家是怎样来判断生物的发展与进化的吗？

生：对生物体化石的研究.

师：那么他们是怎样来判断该生物体所处的年代的?你们知道吗？

师：考古学家是按照这样一个规律来推测的.

问题：当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减，大约每经过5730

年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.根据此规律，人们获得了生物体内碳14

含量尸与死亡年数t之间的关系，这个关系式应该怎样表示呢?我们可以先来考虑这样的问

题：

当生物死亡了5730,2X5730,3X5730,…年后，它体内碳14的含量—分别为原来的

多少？

师：当生物体死亡了6000年，10000年，100000年后，它体内碳14的含量P分别为原

来的多少？

60001000010000()

I------1-------I---------

生：(乙)573。，(1)5730,(J.)5730.

222

师：由以上的实例来推断关系式应该是什么？

生：片（_L）丽

2

师：考古学家根据上式可以知道，生物死亡t年后，体内碳14含量。的值.那么这些数

[6000100001100000

（-）而，（-）砺，（-）K的意义究竟是什么呢？它和我们初中所学的指数有什

222

么区别？

生：这里的指数是分数的形式.

师：指数可以取分数吗？除了分数还可以取其他的数吗？我们对于数的认识规律是怎

样的？

生：自然数----整数----分数（有理数）----实数.

师：指数能否取分数（有理数）、无理数呢？如果能，那么在脱离开上面这个具体问题

以后，关系式尸（上）583。就会成为我们后面将要相继研究的一类基本初等函数一一“指

2

数函数”的一个具体模型.为了能水到渠成地研究指数函数，我们有必要认识一下指数概念

的扩充和完善过程，这就是我们下面三节课将要研究的内容：分数指数幕（有理数指数累）、

无理数指数嘉.

（引入课题，书写课题一一指数与指数累的运算）

二、讲解新课

（一）探求"次方根的概念

师：（±2）2=4,则称±2为4的；

生：平方根

师：23=8,则称2为8的；

生：立方根

师：（±2）4=16,则±2叫做16的；

生：4次方根

师:25=32,则2叫做32的

生：5次方根

师：n次方根如何定义的呢？

生：一般地，如果x"=a,那么x叫做a的〃次方根.

师：上述结论中的"的取值有没有什么限制呢？

（生探索，完善〃次方根的定义，并强调〃的取值范围，师板书如下定义）

一般地，如果x"=a,那么x叫做a的〃次方根（n—throot）,其中〃>1,且〃eN”.

（二）〃次方根的性质

合作探究：观察并分析以上各数的方根，你能发现什么？

（学生交流，师及时捕捉与如下结论有关的信息、，并简单板书）

1.以上各数的对应方根都是有理数；

2.第（1）、第（3）的答案有两个，第（2）、第（4）的答案只有一个；

3.第（1）、（3）题的答案中的两个值互为相反数.

师：请仔细分析以上各题，你能否得到一个一般性的结论？

（提供一个比较发散的问题，给学生提供广阔的思维空间，培养学生理性思维能力和数

学的分析问题、解决问题的能力）

生甲：一个数的奇次方根只有一个.

生乙：一个数的偶次方根有两个，且互为相反数.

师：是否任何一个数都有偶次方根？0的〃次方根如何规定更合理？

生：因为任何一个数的偶次方都是非负数，所以负数没有偶次方根，0的〃次实数方根

等于0.

师：你能否把你所得到的结论再叙述的具体一些呢？

（组织学生交流，得出以下结论）

n次方根的性质实际上是平方根和立方根性质的推广，因此跟立方根和平方根的情况一

样，方根也有如下性质：

（1）当〃是奇数时，正数的〃次方根是一个正数，负数的力次方根是一个负数.这时,

a的〃次方根用符号后表示.

（2）当"是偶数时，正数的〃次方根有两个，这两个数互为相反数.这时，正数a的正

的n次方根用符号右表示，负的〃次方根用符号一心表示.正的〃次方根与负的n次方根

可以合并写成土标（a>0）.

注：①负数没有偶次方根；

②0的任何次方根都是0,记作而=0；

③当aNO时，标20,所以类似折？=±2的写法是错误的.

（三）根式的概念

式子后叫做根式，其中〃叫做根指数，a叫做被开方数.

例如遥叫做根式，其中5叫做根指数，6叫做被开方数.

（四）〃次方根的运算性质

求下列各式的值

（啦广（百儿（45/2）4

（生板演，师组织学生评析）

解：

（V2）3=2

（户1=-2

（4V2）4=4

师：上面的例题中涉及了什么问题？

生：主要涉及了（加）"的问题.

合作探究：（1）（后）"的含义是什么？其化简结果是什么呢？

（组织学生结合例题及其解答，进行分析讨论、归纳出以下结论）

（1）（y[a）"-a

师：该公式的适用范围是什么？

当n为奇数时，aWR；当n为偶数时，a》0.

求下列各式的值：

⑴疔=,—2)3=

收=((—2)4=

解：2；-2：3；3；4；4

师：上面的例题中涉及了什么问题？

生：主要涉及了行的问题.

师：行的含义是什么？其化简结果是什么呢？

（组织学生结合例题及其解答，进行分析讨论、归纳出以下结论）

当〃是奇数时，行=a；

当〃是偶数时，行=|a|=1"'a-0,对n和a的两种讨论

l-a,a<0.

三、例题讲解

【例1】化简：

75+276

（师板演，师组织学生进行课堂评价）

探究、展示

例2

（1）V4a2-4a+l（a<

（2）；

变式训练

化简下列各式:

（1）y（x_2（；

（2）73-2V2；

【提升总结】

根式化简或求值的步骤：

1.首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式;

2.运用根式的性质进行化简或求值.

四、课堂小结

师：请同学们互相交流一下你在本课学习中的收获.

（生互相交流，而后由师多媒体显示如下内容）

1.若〃£2），则x叫做a的〃次方根.当刀是奇数时，实数a的〃次方根

用符号后表示；当〃是偶数时，正数a的〃次方根用符号土右表示，负数的偶次方根无

意义.式子后叫做根式，其中〃叫做根指数，a叫做被开方数.

2.在实数范围内，正数的奇次方根是一个正数；负数的奇次方根是一个负数.正数的偶

次方根是两个绝对值相等符号相反的数；负数的偶次方根没有意义；0的任何次方根都是0.

3.（1）（Va）-a.

（2）当〃为奇数时，行=a；当〃为偶数时，行=|a|=a,a>0,

-a,a<0.

五、课堂练习

1.若xCR,yGR,下列各式中正确的是

A.#(x+y)4=底了B.y[x^—-x—y

C.J(X+3)2+J(X—3)2=2XD.Vx-3+V3-x=0

2.、口成立的条件是

Vx-1

x—2

A.----20B.xWlC.x<lD.xN2

x—1

参考答案：

1.D2.D

六、布置作业

（一）固学案29-30页，熟悉巩固有关概念和性质;

（二）书面作业：课本P69习题2.1A组第1题.

板书设计

2.1.1根式

一、基本概念和性质

1.〃次方根的定义

2.〃次方根的性质

3.根式的定义

4.〃次方根的运算性质

二、例题解析例1.求下列各式的值

例1.化简

【学情分析】

学生在初中阶段学习了数的开平方、开立方运算以及二次根式的概念，并且已经掌握了

正整数指数、零指数和负整数指数的概念和运算性质。另外，尽管学生的基础参差不齐，但

是，高一的学生个性活跃，思维活跃，动手实践，实践的积极性高。综上，学生还是非常

容易接受并掌握这部分内容的。

【效果分析】

1.本节课能注重学生发展的自主性（设置分层式练习和开放性作业）和数学学习的实践

性（设置数字实践），主张给学生多一点空间、时间，使学生在亲历知识结论的探索中获得

对数学价值的认识。

2.整个教学过程突出三个注重，即①注重学生参与知识的形成过程，体验应用数学知识

解决问题的乐趣；②注重师生间、同学间的互动协作，共同提高；③注重从现实生活中提炼

有价值的数学问题，形成用数学思想方法思考实际问题的习惯。

3.面对不同程度的教学对象，学生的基础反应情况和感悟情况不一，因此在教学时间上

应作适当的调整，对课堂竞技场等环节视实际情况作灵活的增删。

【教材分析】

本节内容是选自新人教A版高中数学必修一第2章第1节第1部分的内容。学生在初中

己学习了数的开平方、开立方以及二次根式的概念，学习了正整数指数幕、零指数幕、负整

数指数累的概念，以及整数指数塞的运算法则。现是在此基础上，将平方根与立方根的概念

扩充到n次方根，将二次根式的概念扩充到一般根式的概念。“根式”是“指数与指数累的

运算”第一课时，以新授课为主，主要学习根式的概念和性质。根式是后面学习所必备的，

为以后的学习做好准备。

【评测练习】

1.若xCR,yWR,下列各式中正确的是

A.#(x+y)4=x+yB.-x—y

C.J(x+3)2+J(