高中数学函数题最容易出错的10类题型

高中数学函数题最简单出错的10类题

型

姓名：__________

指导:__________

日期：

易错点1求函数定义域时条件考虑不充分。

经典例题：

【例1】求函数/1^=+(x+l)”的定义域.

V3-2x-x2

【错解】由题意得3-2工一工2>0,解得—3«x〈l,所

以原函数的定义域为[—3,1].

留意

【错因】

忽视分母不为零；

误以为（x+l）°=l对任意实数成立.

在求函数的定义域时应注意以下几点:

①分式的分母不为零；

②偶次根式被开方式非负；

③对数的真数大于零；

④零的零次赛没有意义；

⑤函数的定义域是非空的数集.

【正解】

3-2x-x2>0f-3<x<1

由题意得《,解得〈।,所

x+lwO[xw-l

以原函数的定义域为（-3,-l）U（T,l）.

练练

【纠错训练】

_____丫2_s丫+£

(湖北高考)函数/(x)=j4—|x|+lg---------的定义

x-3

域为()

A.(2,3)

B.(2,4]

C.(2,3)U(3,4]

D.(-1,3)U(3,6]

参考答

案：

【解析】

由函数y=/(x)的表达式可知，函数/(x)的定义域应

满足条件：4-|x|>0,--3—〉0,解之得

x-3

-2<x<2,x>2,x^3,即函数/(x)的定义域为

(2,3)U(3,4],故应选C.

易错点2求复合函数定义域时忽视"内层函数的值域是外层函数的定义域"经

典例题

【例2】已知函数/,（工）=1083%+2广£[1,9],求函数

y=[/(-^)]2+/(炉)的值域・

【正解】

l<x<9

因为/（X）的定义域为[1,9],<解得

、\<x<9

y=+/(/)的定义域为[1,3],

设，=10g3%，

,/XG[1,3],/.tG0,1],

J+6斤+6,

.•.函数夕=[/(x)]2+/(x?)的值域为[6,13].

留

意

【错因】

求函数）=[/（%）『+/（一）定义域时，应考虑

Jl<x<9

[l<x2<9,

练一练：

【纠错训练】奇函数/（X））是定义在（一1,1）上的减函数,

且/（1一[）+/（2。-1）<0,求实数的取值范围.

参考答案：

【解析】

由f(l-a)+/(2a-l)<0,得/(I—。)<-f(2a-l)

v/(x)是奇函数，

・••/(-X)=-/(幻，

又/(x)是定义在(一1,1)上的减函数，

—1<1—67<1

—1<1—2。<1,解得0<。<1.

1—Q>1—2a

即所求实数的取值范围是0<。<1.

易错点3推断函数奇偶性时忽视定义域经典例题

【例3】判断函数/a)=(i+x)J上士的奇偶性.

Vl+x

【错解】

•••/(X)=(1+=M(1+X)2=

/(-x)=Jl--x)2=也-X?=f(x)

11—X

j(x)—(1+X)4/----是偶函数

vl+x

【错因】对函数奇偶性定义实质理解不全面.对定义域内

任意一个x,都有f(-x尸f(x),f(-x)=f(x)的实质是：函数的

定义域关于原点对称.这是函数具备奇偶性的必要条件.

留意

一【知识点归类点拔1

(1)函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性

的必要但不充分条件，因此在判断函数的奇偶性时一定

要先研究函数的定义域。

(1)函数具有奇偶性，则

〃X)=/(-X)或/(X)=-/(T)是对定义域内*的

恒等式。常常利用这一点求解函数中字母参数的值。

【正解】

h-x

/(x)=(1+X)J----有意义时必须满足

V1+x

]—X

--->0=>-1<X<1即函数的定义域是

1+X

{I,由于定义域不关于原点对称，

所以该函数既不是奇函数也不是偶函数

练一练

【纠错训练】(高考北京，文3)下列函数中为偶函数的

是()

2.2

A.y=xsinxB.y=xcosx

C.y=\]nx\D.y=2~x

参考答案

【解析】

根据偶函数的定义/(—x)=/(x),A选项为奇函

数，B选项为偶函数，C选项定义域为(0,+00)不具有奇

偶性，D选项既不是奇函数，也不是偶函数，故选B.

[例4]函数y=log05(4+3x—Y)的单调递增区间

是_______________.

易错点4求复合函数单调区间时忽视定义域经典例题：

【错解一】

,/外层函数为减函数，内层函数〃=4+3%一/减区间

为弓，+8),

3

.•・原函数增区间为[一,+8).

【错解二】

4+3x—>0,函数定义域为(—1,4),

,3

又内层函数〃=4+3x—x在(―1,一[为增函数，在

3

[r—,+℃>)为减函数，

3

「•原函数增区间为(一1,—].

留

意

【错因】

解法一，基础不牢，忽视定义域问题；

解法二，识记不好，对复合函数单调性法则不熟练.求

复合函数单调区间一般步骤是

①求函数的定义域；

②作出内层函数的图象；

③用“同增异减”法则写单调区间.解此类题通常会出

现以下两类错误：一是忽视定义域；二是“同增异减”

法则不会或法则用错.

【正解】

-/4+3X-X2>0,函数定义域为（—1,4）,外层函

数为减函数，内层函数〃=4+3x-/在（-1二］为

3

增函数，在,，4）为减函数，

3

.••原函数增区间为［于4）.

练练

【纠错训练1］函数y=/5-4「一一的单调增区

间^__________.

参考答案：

【解析】

y—15-4x-r的定义域是［—5,1］,

又g(x)=5-4工一/在区间［-5,-2］上增函数，

在区间是减函数，所以y二,5—4工一工2的增区间

是［-5,-2］.

练一

练：

【纠错训练2】已知y=log“(2-ax)在0,1］上是的减

函数，则的取值范围是.

参考答

案

【解析】：

y=log。(2-QX)是由y=log。〃，〃=2_ax复

合而成，又＞0.

，=2—ax在0,1］上是的减函数，由复合函数关

系知y=logaM应为增函数，

＞1,又由于在0,1］上时y=log“(2-ax)有意

义，〃=2-QX又是减函数，，=1时，〃=2-QX取最

小值是〃.=2-。＞0即可，＜2综上可知所求的取

值范围是iv＜2.

易错点5解”二次型函数"问题时忽视对二次项系数的争论经典例

题：

【例5】

函数/(x)=(阴-1)/4-2(m+l)x-l的图象与轴只有

一个交点，求实数m的取值范围.

留

意

【错解】

由A=0解得阳=0或m=—3.

【错因】

知识残缺，分类讨论意识没有，未考虑m-1=0的

情况.

【正解】

(1)当加一1=0时，即加=1,/(x)=4x-l与轴只

有一个交点，满足题意；

(2)加一1W0时，

A=4(m+1)2-4x(-10)x(zw—1)=0,

解得加=0或m=—3;

综上所述，实数m的取值范围是{—3,0,1}.

练一练

【纠错训练】

已知集合4={x|ax2+4x+4=0,x£火,a£H}

只有一个元素，求的值与集合A.

参考答

案：

【解析】

当a=0时，.¥=—1;当时，=16—4X42

=0,5=1,此时x=-2.

综上所述：a=\时，集合/二{-2};a=0时，集合A-{—

1}・

易错点6用函数图象解题时作图不准经典例题：

【例6】

求函数/(x)=/的图象与直线/(X)=2”的交点个

数.

留意：

【错因】

忽视指数函数与赛函数增减速度快慢对作图的影

响.我们在解题时应充分利用函数性质，画准图形，不

能主观臆造，导致图形“失真”，从而得出错误的答案.

【正解】

作图可得在区间（一1,0）有一个交点，还有（2,4）,

（4,16）这两个交点，共三个.

练一练

【纠错训练1】

（高考湖南，文14）若函数/（幻=|2'—2|-/?有两个零

点，则实数的取值范围是_____.

参考答案：

【解析】

由题意得，xwO,排除A,当x<0时，x3<0,

x3

3v-1<0,/.------->0,排除B,又•「xf+oo时，

3r-l

J

-........>0+,排除D,故选C.

3X-1

练一练

【解析】

由函数/（X）=|2*—21有两个零点，可得

|2'—2|二b有两个不等的根，从而可得函数y=|2V-2|

函数y=b的图象有两个交点，结合函数的图象可得，

0<Z?<2,故答案为：0<6<2.

易错点7忽视分段函数各段的取值范围经典例题:

2x

、f2-,x<-l,收

已知函数f(x)=<,不等式

*')[2x+2,x>-l,

/(x)>2的解集为.

【错解】

由2一2"之2,得xW——；由2x+222,得x20,

2

所以/(x)22的解集为(-co——]U[0,+oo).

留意

【错因】

解第一个不等式时，忽略了“xW-l”这个大前提.

【正解】

/(—2)=2"2)=24=16

/(/(-2))=2xl6+2=34；

x<-1

由12y,得xW-1,

2-2X>2

x>-1

由]得x>0,

2x+2>2

所以不等式/(x)22

的解集为(-8-l]U[0,+8).

练一练:

【纠错训练1】

X2+x,x<0,八/八/、\

2若/(/(。)工2,则实

{-x,x>0,

数t的取值范围是

A.(-oo.^2J

B.^>/2.+8)

C.(―oo.—2]

D.[-2.+8)

参考答案

【解析】

[zn<0

令加=/«）,则/（加）42,则〈

m+m<2

加>0

或〈_,即一2W加W0或加>0,即用2—2;

一加」<2

fz<0p>0

则/。)2—2,即<或<即TK0

+^>-2[-t2>-2

或0«，《血，即，《血，故选A.

练练

【纠错训练2】

-log2x(x>0)

已知函数/(x)=<，则不等式

1-x2(x<0)

/.(x)>0的解集为.(上海普陀区三模)

参考答案：

【解析】

试题分析：当x>0时，一log?x>0=log?1,

解得0<x<l;当xWO时，1——>0,解得一1<XW0,

所以不等式/(x)>0的解集为(一1,1).

易错点8分段函数单调性问题，忽视分界点函数值的比较经典例题：

【例8】

,[(2-a)x+\x<\6八，，，,

已知/*)=八)是A上的增函数h，求的取

[axx>1

值范围.

留意

【错解】

要使得/(X)在R上是增函数，则两个函数

歹二(2—〃)、+1与夕=优均为增函数，所以l<q<2.

【错因】只考虑到各段函数在相应定义域内为增函数，

忽视/(x)在分界点附近函数值大小关系.

【正解】

要使得/(x)在H上是增函数，则两个函数

g(x)=(2-a)x+l与〃(工)=优均为增函数，并且还要

2—。>0

满足在X=1处，有g(l)«/(l),即<Q>1,解

2—。+1Wq

3「3

得一<。<2,所以的取值范围是一,2).

2\_2

练一练

「(3a-l)x+4a,x<1

【纠错训练】已知函数/(x)=<在

〔log4X,X>1

R是单调函数，则实数的取值范围是.

参考答案

【解析】

(3(2-l)x+4a,x<1

若函数।在火是单调递增

log.X,x>\

3a—1>0

函数，需满足,无解；

(3a-1)x1+<log”1

(3Q-1)X+4Q,X<1

若函数/(%)=〈।।在H是单调递减

logaX,X>1

3a-I<0

函数，需满足(O<Q<1，解得

(3。-1)x1+4a>logu1

11»,「11、

—«a<一,所以实数的取值范围是1一，—.

73|_73J

易错点9误会”函数的零点"意义经典例题

［例9］函数/(x)=x?-3x+2的零点是()

A.(1,0)

B.(2,0)

C.(1,0),(2,0)

D.1