数列的函数特性教学案

数列的函数特性教学案

第2课时数列的函数特性

知能目标解读

1.熟练掌握数列与函数之间的关系，了解数列是一种特殊的函数的含义.

2.能够用函数的观点、方法研究数列的增减性、最值、图像等问题.

3.能够通过探求数列的增减性或画出数列的图像来求数列中的最大项或最小

项.

重点难点点拨

重点：1.了解数列是一种特殊的函数的含义.

2.能够用函数的观点、方法研究数列的增减性、最值、图像等问题.

难点：用函数的观点、方法研究数列的增减性、最值、图像等问题.

学习方法指导

1.数列的概念与函数概念的联系

(1)数列是一种特殊的函数，特殊在定义域是正整数集或是它的有限子集

{l,2,3,-,n},它是一种自变量“等距离”地离散取值的函数.

(2)数列与函数不能画等号，数列是相应函数的一系列函数值.

(3)利用函数与数列的关系，可以从函数的观点研究数列的表示方法及有关性

质.

2.数列的表示方法

(1)数列的图像是无限个或有限个离散的孤立的点.

(2)若数列是以解析式的形式给出的，则数列的图像是相应函数图像上的一系

列孤立的点.

(3)数列是一类离散函数，它是刻画离散过程的重要数学模型，有很广泛的应

用.

(4)列表法不必通过计算就能知道两个变量间的对应关系，比较直观，但是它

只能表示有限个元素间的对应关系.

3.数列的单调性

(1)递增数列：一般地，一个数列｛an｝,如果从第2项起，每一项都大于它

前面的一项，即an+l>an(nGN+),那么这个数列叫做递增数列.

(2)递减数列：一般地，一个数列｛an｝,如果从第2项起，每一项都小于它

前面的项，即an+10还是anan递增(3)an+10)上的无穷多个孤立的点.

变式应用1已知数列｛an｝的通项公式为an=2n-l,作出该数列的图像.

［解析］分别取n=l,2,3,…，得到点(1,1),(2,3),(3,5),…，描点作出图

像.如图，它的图像是直线y=2x-l上的一些等间隔的点.

命题方向数列单调性的判断

［例2］已知函数f(x)=2x-2-x,数列｛an｝满足f(log2an)=-2n.

(1)求数列｛an｝的通项公式；

(2)求证数列｛an｝是递减数列.

［分析］(1)已知函数关系式，由条件可得出210g2an-2Tog2an=-2n,解

这个关于an的方程即可；(2)只需证明an+l-anl(an>0)即可.

［解析］(1)Vf(x)=2x-2-x,f(log2an)=-2n,

.*.21og2an-2-log2an=-2n,an-=-2n,

；.an2+2nanT=0,解得an=-n土.

"."an>0,.*.an=-n.

(2)=

二0,则数列｛an｝是递增数列；若an+1-anl,则数列｛an｝是递增数列；若0,

Aan+10,即230-100X1.05n-2>0时，1.05n-20,其实对非零实数a应分a>0

和a0时，an-an-10,.*.an>an-l,

・・・数列｛an｝是递增数列.

课堂巩固训练

一、选择题

1.已知数列｛an｝,al=l,an-an-l=n-l(n^2),则a6二(

)

A.7

B.11

C.16

D.17?

［答案］C?

［解析］Val=l,an-an-l=n-l(n^2),

/.a2-al=l,/.a2=al+l=2,

.\a3-a2-2,Aa3=a2+2=4,?

a4-a3=3,a4=a3+3=7,?

a5-a4=4，.;a5=a4+4=ll,?

.e.a6-a5=5,/.a6=a5+5=16.

2.(2012济南高二检测)数列｛an｝中，an=n2+lln,则此数列最大项的值是(

)

A.

B.30

C.31

D.

［答案］B

［解析］an=-n2+lln=-(n-)2+,?

：nGN+,.,.当n=5或6时,an取最大值30,故选B.

3.一给定函数y=f(x)的图像在下列图中，并且对任意ale(0,1),由关系式

an+l=f(an)得到数列｛an｝满足an+l>an(nWN+),则该函数的图像是(

)

［答案］A

［解析］由关系式an+l=f(an)得到数列｛an｝满足an+l>an,可得f(an)>an,

即f(x)>x.故要使该函数y=f(x)图像上任一点(x,y)都满足y>x,图像必在直线y=x

的上方，所以A正确.

说明：借用函数的图像与性质来研究数列时，要注意函数的一般性及数列的

特殊性之间的关系，不可不加区分，混为一谈，表达时要清楚明白，数列问题有

时用图像来处理，往往可以使问题巧妙、简捷地获得解决.

二、填空题

4.已知f⑴=2,f(n+D=(nGN+),则f(4)=

［答案］

［解析］..♦«l)=2,f(n+l)=(nSN+),?

；.f(2)==,

f(3)===

f(4)===.

5.已知数列｛an｝中,an=an+m(aO可知an+l>an,

所以数列｛an｝是递增数列.

2.设an=-n2+10n+ll,则数列设n｝的最大项为(

)?

A.5

B.11

C.10或11

D.

［答案］D

［解析］Van=-n2+10n+11=-(n-5)2+36,

・•.当n=5时，an取最大值36.

3.数列｛an｝中，al=0,以后各项由公式ala2a3…an=n2给出，则a3+a5等

于(

)

A.

B.

C.

D.

［答案］C?

［解析］a1a2a3,•,anz:n2,?

Aala2a3=9,ala2=4,.'.a3=.?

同理a5=，:.a3+a5=+=.

4.已知数列｛an｝的通项公式an=lgl536-(n-l)lg2,则使得anl536,代入验证

得答案为D.

5.已知数列｛an｝中，al=l,a2=3,an=an-l+(n23),则a5=(

)

A.

B.

C.4

D.5?

［答案］A?

［解析］a3=a2+=3+1=4.

a4=a3+=4+=.

a5=a4+=+=.

6.在数列｛an｝中，al=l,anan-l=an-l+(-1)n(n22),则的值是(

)

A.

B.

C.

D.

［答案］C

［解析］Val=l,/.a2=l+l=2,a3a2=a2+(-1)3=2+(-1)=1,Aa3=,

又a3a4=a3+(T)4,Aa4=3,?

Va4a5=a4+(-l)5=2,Aa5=,?

7.已知Sk表示数列的前k项和,且Sk+Sk+l=ak+l(kGN+),那么此数列是(

)

A.递增数列

B.递减数列

C.常数列

D.摆动数列

［答案］C

［解析］Vak+l=Sk+l-Sk=Sk+Sk+l,

；.Sk=O(kGN+).?

可知此数列每一项均为0,

即an=0是常数列.

8.已知数列｛an｝的通项公式为an=()n-1［()n-1-1］,则关于an的最

大项，最小项叙述正确的是(

)

A.最大项为al,最小项为a

B.最大项为al,最小项不存在

C.最大项不存在，最小项为a

D.最大项为al,最小项为a

［答案］A?

［解析］令t=()n-1,则它在N+上递减且0a3,故选A.

二、填空题

9.已知数列｛an｝的通项公式an=n2-4nT2(n6N+),则

(1)这个数列的第四项是

;?

(2)65是这个数列的第

项；？

(3)这个数列从第

项起以后各项为正数.

［答案］T211

［解析］(I)a4=42-4X4-12=-12.

(2)令65=n2-4nT2,.•.n2-4n-77=0,?

/.n=ll或n=-7(舍去).？

故65是这个数列的第11项.？

(3)令n2-4n-12>0,得n>6或nan

［解析］：a,b,c均为实数，f(x)==在(0,+8)上是增函数，故数列an=在

nWN+时为递增数列，an-

［解析］由｛an｝为递增数列，得an+l-an=(n+l)2+入(n+l)-n2-入n=2n+l+

X>0恒成立，

即A>-2n-l在n2l时恒成立,?

令f(n)=-2n-l,f(n)max=-3.

只需人>f(n)max=-3即可.

12.若数列｛an｝的通项公式为an=-2n2+13n,关于该数列，有以下四种说法：

(1)该数列有无限多个正数项；(2)该数列有无限多个负数项；(3)该数列的最

大项就是函数f(x)=-2x2+13x的最大值；(4)-70是该数列中的一项.？

其中正确的说法有

.(把所有正确的序号都填上)

［答案］(2)(4)?

［解析］令-2n2+13n>0,得OOCan+Dan.故数列｛an｝为递增数列.

14.根据数列的通