新人教版高一(初升高)暑期数学衔接第15讲三角函数的概念及诱导公式练习(学生版+解析)

第15讲三角函数的概念及诱导公式【学习目标】1.借助单位圆理解三角函数(正弦、余弦、正切)的定义2.借助于单位圆的对称性，利用定义指导出诱导公式(，的正弦，余弦，正切)3.理解同角三角函数的基本关系式：【基础知识】一、三角函数的概念1.单位圆中三角函数的定义2.三角函数值的符号规律：一全正、二正弦、三正切、四余弦．二、利用三角函数的定义求值的策略1.已知角α的终边在直线上求α的三角函数值时，常用的解题方法有以下两种：方法一：先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应三角函数值．方法二：在α的终边上任选一点P(x，y)，P到原点的距离为r(r>0)．则sinα＝eq\f(y,r)，cosα＝eq\f(x,r).已知α的终边求α的三角函数值时，用这几个公式更方便．2.当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论．3.若终边在直线上时，因为角的终边是射线，应分两种情况处理．三、同角三角函数的基本关系1.两个基本关系式2.同角三角函数的基本关系式的变形形式(1)平方关系变形sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.(2)商的变形sinα＝tanαcosα，cosα＝eq\f(sinα,tanα).3.求三角函数值的方法(1)已知sinθ(或cosθ)求tanθ常用以下方式求解(2)已知tanθ求sinθ(或cosθ)常用以下方式求解当角θ的范围不确定且涉及开方时，常因三角函数值的符号问题而对角θ分区间(象限)讨论．4．已知角α的正切求关于sinα，cosα的齐次式的值的方法(1)关于sinα，cosα的齐次式就是式子中的每一项都是关于sinα，cosα的式子且它们的次数之和相同，设为n次，将分子、分母同除以cosα的n次幂，其式子可化为关于tanα的式子，再代入求值．(2)若无分母时，把分母看作1，并将1用sin2α＋cos2α来代换，将分子、分母同除以cos2α，可化为关于tanα的式子，再代入求值．4.三角函数求值中常见的变形公式(1)sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα三个式子中，已知其中一个，可以求其他两个，即“知一求二”，它们的关系是：(sinα＋cosα)2＝1＋2sinαcosα；(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα.(2)求sinα＋cosα或sinα－cosα的值，要根据α的范围注意判断它们的符号．四、利用同角三角函数关系化简的常用方法1.化切为弦，减少函数名称，便于约分化简；2.对含根号的，应先把被开方式化为完全平方，去掉根号，为防止出错，去掉根号后首先用绝对值符号表示，然后考虑正负；3.对含有高次的三角函数式，可借助于因式分解，或构造平方关系，以便于降幂化简.五、简单的三角恒等式的证明思路1.从一边开始，证明它等于另一边；2.证明左、右两边等于同一个式子；3.逐步寻找等式成立的条件，达到由繁到简.六、诱导公式(1)在公式一～四中，角α是任意角．(2)公式一、二、三、四都叫做诱导公式，它们可概括如下：①记忆方法：2kπ＋α(k∈Z)，－α，π±α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，可以简单地说成“函数名不变，符号看象限”．②解释：“函数名不变”是指等式两边的三角函数同名；“符号”是指等号右边是正号还是负号；“看象限”是指假设α是锐角，要看原三角函数是取正值还是负值，如sin(π＋α)，若把α看成锐角，则π＋α在第三象限，正弦在第三象限取负值，故sin(π＋α)＝－sinα.【考点剖析】考点一：利用三角函数定义求值例1．(2022学年辽宁省大连市大连育明高级中学高一下学期期中)已知角的终边经过点，则角的正弦值为(

)A． B． C． D．考点二：确定三角函数值的符号例2．(2022学年湖北省问津联合体高一下学期5月质量检测)下列各式的符号为正的是(

)A． B．C． D．考点三：确定角所在象限例3．(2021－2022学年北京市八一学校高一6月月考)若且，则角所在的象限是(

)A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限考点四：给出一个角的一个三角函数值求该角的其他三角函数值例4．(2022学年海南省华侨中学高一上学期期末)已知，且为第二象限角，则下列选项正确的是(

)A． B． C． D．考点五：齐次分式求值例5.(2022学年江西省名校高一下学期期中)已知，则(

)A． B． C． D．考点六：根据sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα的关系求值例6．(2022学年山东省德州市第一中学高一下学期6月月考)在ABC中，若，则(

)A． B． C． D．考点七：利用诱导公式求值例7．(2022学年河南省驻马店市环际大联考“逐梦计划”高一下学期期中)______．考点八：三角函数式的化简例8．(2020-2021学年黑龙江省绥化市第一中学高一上学期期末)若角，则()A． B． C． D．考点九：三角函数式证明例9．求证：(1)(2)【真题演练】1．(2022学年辽宁省沈阳市部分学校高一下学期期中)已知角的顶点为坐标原点，始边为x轴正半轴，终边经过点，则(

)A． B． C． D．12．(2022学年辽宁省辽南协作体高一下学期期中)已知角终边在第一象限，，那么的值为(

)A． B． C． D．3.(2022学年四川省德阳市第五中学高一上学期12月月考)若，则(

)A． B． C． D．4.(多选)(2022学年湖北省部分重点高中高一上学期期末)已知，，那么的可能值为(

)A． B． C． D．5.(多选)(2022学年辽宁省朝阳市建平县实验中学高一下学期期中)已知点在第一象限，则在内的取值范围是(

)A． B． C． D．6.(2022学年上海财经大学附属北郊高级中学高一下学期3月月考)已知，则的取值范围是__．7.(2022学年广西桂林市第十九中学高一下学期期中)(1)已知，求的值．(2)化简．8.(2022学年陕西省咸阳市武功县高一下学期月考)已知.(1)求的值(2)若，求的值.【过关检测】1.(2022学年北京市昌平区第一中学高一下学期期中)若角满足，，则在(

)A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2.(2022学年安徽省皖中名校高一下学期期中)设，，则(

)A． B． C． D．3.(2022学年北京市中国人民大学附中高一3月检测)若，则(

)A． B． C． D．4.(多选)(2022学年福建省德化一中、漳平一中、永安一中三校协作联考高一上学期月考)以原点为圆心的单位圆上一点从出发，沿逆时针方向运动弧长到达点，则点的坐标不可能的是(

)A． B． C． D．5.(多选)(2022学年山东省德州市高一上学期数学期末)已知，，则可能等于(

)A． B． C． D．6.(2022学年江西省景德镇一中高一下学期期中)______．7.(2022学年辽宁省沈阳市同泽高中高一下学期4月月考)已知，且，则的值为___________.8.(2022学年上海财经大学附属北郊高中高一下学期月考)若，则__．9．(1)化简：tan(其中α为第二象限角)；(2)求证：1．10.(2022学年北京市房山中学高一年级4月月考)已知，是关于x的一元二次方程的两根，(1)求的值；(2)求m的值；(3)若，求的值.第15讲三角函数的概念及诱导公式【学习目标】1.借助单位圆理解三角函数(正弦、余弦、正切)的定义2.借助于单位圆的对称性，利用定义指导出诱导公式(，的正弦，余弦，正切)3.理解同角三角函数的基本关系式：【基础知识】一、三角函数的概念1.单位圆中三角函数的定义2.三角函数值的符号规律：一全正、二正弦、三正切、四余弦．二、利用三角函数的定义求值的策略1.已知角α的终边在直线上求α的三角函数值时，常用的解题方法有以下两种：方法一：先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应三角函数值．方法二：在α的终边上任选一点P(x，y)，P到原点的距离为r(r>0)．则sinα＝eq\f(y,r)，cosα＝eq\f(x,r).已知α的终边求α的三角函数值时，用这几个公式更方便．2.当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论．3.若终边在直线上时，因为角的终边是射线，应分两种情况处理．三、同角三角函数的基本关系1.两个基本关系式2.同角三角函数的基本关系式的变形形式(1)平方关系变形sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.(2)商的变形sinα＝tanαcosα，cosα＝eq\f(sinα,tanα).3.求三角函数值的方法(1)已知sinθ(或cosθ)求tanθ常用以下方式求解(2)已知tanθ求sinθ(或cosθ)常用以下方式求解当角θ的范围不确定且涉及开方时，常因三角函数值的符号问题而对角θ分区间(象限)讨论．4．已知角α的正切求关于sinα，cosα的齐次式的值的方法(1)关于sinα，cosα的齐次式就是式子中的每一项都是关于sinα，cosα的式子且它们的次数之和相同，设为n次，将分子、分母同除以cosα的n次幂，其式子可化为关于tanα的式子，再代入求值．(2)若无分母时，把分母看作1，并将1用sin2α＋cos2α来代换，将分子、分母同除以cos2α，可化为关于tanα的式子，再代入求值．4.三角函数求值中常见的变形公式(1)sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα三个式子中，已知其中一个，可以求其他两个，即“知一求二”，它们的关系是：(sinα＋cosα)2＝1＋2sinαcosα；(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα.(2)求sinα＋cosα或sinα－cosα的值，要根据α的范围注意判断它们的符号．四、利用同角三角函数关系化简的常用方法1.化切为弦，减少函数名称，便于约分化简；2.对含根号的，应先把被开方式化为完全平方，去掉根号，为防止出错，去掉根号后首先用绝对值符号表示，然后考虑正负；3.对含有高次的三角函数式，可借助于因式分解，或构造平方关系，以便于降幂化简.五、简单的三角恒等式的证明思路1.从一边开始，证明它等于另一边；2.证明左、右两边等于同一个式子；3.逐步寻找等式成立的条件，达到由繁到简.六、诱导公式(1)在公式一～四中，角α是任意角．(2)公式一、二、三、四都叫做诱导公式，它们可概括如下：①记忆方法：2kπ＋α(k∈Z)，－α，π±α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，可以简单地说成“函数名不变，符号看象限”．②解释：“函数名不变”是指等式两边的三角函数同名；“符号”是指等号右边是正号还是负号；“看象限”是指假设α是锐角，要看原三角函数是取正值还是负值，如sin(π＋α)，若把α看成锐角，则π＋α在第三象限，正弦在第三象限取负值，故sin(π＋α)＝－sinα.【考点剖析】考点一：利用三角函数定义求值例1．(2022学年辽宁省大连市大连育明高级中学高一下学期期中)已知角的终边经过点，则角的正弦值为(

)A． B． C． D．答案:D解析：因为角的终边经过点，则，，所以.故选D.考点二：确定三角函数值的符号例2．(2022学年湖北省问津联合体高一下学期5月质量检测)下列各式的符号为正的是(

)A． B．C． D．答案:C解析：因为，所以，故A错误；因为，，所以，，所以，故B错误；因为，所以，所以，故C正确；因为，所以，故D错误.故选C.考点三：确定角所在象限例3．(2021－2022学年北京市八一学校高一6月月考)若且，则角所在的象限是(

)A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限答案:D解析：，则角在第三，四象限，，则角在第二，四象限，所以满足且，角在第四象限.故选D考点四：给出一个角的一个三角函数值求该角的其他三角函数值例4．(2022学年海南省华侨中学高一上学期期末)已知，且为第二象限角，则下列选项正确的是(

)A． B． C． D．答案:AB解析：A选项，由诱导公式得：，A正确；B选项，因为，且为第二象限角，，所以，B正确；C选项，，C错误；D选项，，D错误.故选AB考点五：齐次分式求值例5.(2022学年江西省名校高一下学期期中)已知，则(

)A． B． C． D．答案:D解析：因为，所以，故选D.考点六：根据sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα的关系求值例6．(2022学年山东省德州市第一中学高一下学期6月月考)在ABC中，若，则(

)A． B． C． D．答案:D解析：因为在ABC中，，两边平方得；，即，所以，，即，解得，所以，故选D考点七：利用诱导公式求值例7．(2022学年河南省驻马店市环际大联考“逐梦计划”高一下学期期中)______．答案:解析：由题意，原式=.考点八：三角函数式的化简例8．(2020-2021学年黑龙江省绥化市第一中学高一上学期期末)若角，则()A． B． C． D．答案:C解析：.故选C考点九：三角函数式证明例9．求证：(1)(2)解析：(1)左边右边.即证.(2)左边右边.即证：.【真题演练】1．(2022学年辽宁省沈阳市部分学校高一下学期期中)已知角的顶点为坐标原点，始边为x轴正半轴，终边经过点，则(

)A． B． C． D．1答案:A解析：由三角函数的定义可得.故选A2．(2022学年辽宁省辽南协作体高一下学期期中)已知角终边在第一象限，，那么的值为(

)A． B． C． D．答案:C解析：由题意，在第一象限，则，所以.故选C.3.(2022学年四川省德阳市第五中学高一上学期12月月考)若，则(

)A． B． C． D．答案:C解析：.故选C4.(多选)(2022学年湖北省部分重点高中高一上学期期末)已知，，那么的可能值为(

)A． B． C． D．答案:BD解析：因为①，又sin2α+cos2α=1②，联立①②，解得或，因为，所以或．故选BD5.(多选)(2022学年辽宁省朝阳市建平县实验中学高一下学期期中)已知点在第一象限，则在内的取值范围是(

)A． B． C． D．答案:AB解析：因为点在第一象限，所以，即位于第一象限或者第三象限且，且满足，所以，当位于第一象限时，时，；当位于第三象限时，时，.故选AB6.(2022学年上海财经大学附属北郊高级中学高一下学期3月月考)已知，则的取值范围是__．答案:解析：所以，则即7.(2022学年广西桂林市第十九中学高一下学期期中)(1)已知，求的值．(2)化简．解析：(1)由sin，有sin，所以sin；.(2).8.(2022学年陕西省咸阳市武功县高一下学期月考)已知.(1)求的值(2)若，求的值.解析：(1)，∴.(2)原式=，∵，又∵，∴，，，∴，∴原式.【过关检测】1.(2022学年北京市昌平区第一中学高一下学期期中)若角满足，，则在(

)A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限答案:B解析：，是第二或第四象限角；当是第二象限角时，，，满足；当是第四象限角时，，，则，不合题意；综上所述：是第二象限角.故选B.2.(2022学年安徽省皖中名校高一下学期期中)设，，则(

)A． B． C． D．答案:C解析