新教材同步备课2024春高中数学第8章立体几何初步8.4空间点直线平面之间的位置关系8.4.1平面教师用书新人教A版必修第二册

8.4空间点、直线、平面之间的位置关系8.4.1平面学习任务1．了解平面的概念，驾驭平面的画法及表示方法．(数学抽象、直观想象)2．驾驭关于平面基本性质的三个基本领实．(数学抽象、逻辑推理)3．会用符号表示点、直线、平面之间的位置关系．(逻辑推理)生活中的一些物体给我们以平面的感觉，如安静的湖面、整齐的教室桌面、漂亮的大草原等，你能说出平面的一些几何特征吗？学问点1平面平面的描述性概念几何里所说的“平面”，就是从生活中一些物体中抽象出来的．平面是向四周无限延展的画法水平放置常把平行四边形的一边画成横向竖直放置常把平行四边形的一边画成竖向记法(1)用希腊字母α，β，γ等表示平面，如平面α、平面β、平面γ等，并将它写在代表平面的平行四边形的一个角内(2)用代表平面的平行四边形的四个顶点的大写英文字母表示，如平面ABCD(3)用代表平面的平行四边形的相对的两个顶点的大写英文字母表示，如平面AC，平面BD1．课桌面、黑板面、海面是平面吗？[提示]虽然课桌面、黑板面、海面给我们以平面的形象，但是平面是无限延展的，所以它们不是平面．2．我们常用平行四边形表示平面，所以平行四边形就是一个平面，这句话对吗？[提示]不对，我们通常用平行四边形表示平面，但平面是无限延展的，所以平行四边形不是一个平面．3．几何中的平面有什么特点？[提示](1)平面是平的；(2)平面是没有厚度的；(3)平面是无限延展而没有边界的．学问点2点、直线、平面之间的位置关系(1)直线在平面内的概念：假如直线l上的全部点都在平面α内，就说直线l在平面α内．(2)直线、平面都可以看成点的集合．点P在直线l上，记作P∈l；点P在直线l外，记作P∉l；点P在平面α内，记作P∈α；点P在平面α外，记作P∉α；直线l在平面α内，记作l⊂α；直线l不在平面α内，记作l⊄α．4．“线段AB在平面α内，直线AB不全在平面α内”这一说法是否正确？为什么？[提示]不正确．∵线段AB在平面α内，∴线段AB上的全部点都在平面α内，∴线段AB上的A，B两点确定在平面α内，∴直线AB在平面α内．学问点3平面的基本领实及推论(1)基本领实基本领实内容图形符号基本领实1过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面A，B，C三点不共线⇒存在唯一的平面α使A，B，C∈α基本领实2假如一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒l⊂α基本领实3假如两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线P∈α，且P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l(2)基本领实的推论推论1经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面(图①)．推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面(图②)．推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面(图③)．5．经过三点有多少个平面？[提示]当三点不共线时，由基本领实1可知，经过这三点有且只有一个平面．而当三点共线时，经过这三点有多数个平面．6．三个基本领实各有什么作用？[提示](1)基本领实1是确定平面的依据．(2)基本领实2是推断直线在平面内的依据．(3)基本领实3可以①判定两个平面相交；②作两个平面的交线；③证明点共线或线共点．如图，点A________平面ABC；点A______平面BCD；BD________平面ABD；平面ABC∩平面BCD＝________．[答案]∈∉⊂BC类型1立体几何三种语言的相互转化【例1】用符号表示下列语句，并画出图形．(1)平面α与β相交于直线l，直线a与α，β分别相交于点A，B；(2)点A，B在平面α内，直线a与平面α交于点C，点C不在直线AB上．[解](1)用符号表示：α∩β＝l，a∩α＝A，a∩β＝B，如图．(2)用符号表示：A∈α，B∈α，a∩α＝C，C∉AB，如图．三种语言的转换方法(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先细致视察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示．(2)要留意符号语言的意义．如点与直线的位置关系只能用“∈”或“∉”，直线与平面的位置关系只能用“⊂”或“⊄”．[跟进训练]1．用符号语言表示下列语句，并画出图形．(1)三个平面α，β，γ相交于一点P，且平面α与平面β相交于PA，平面α与平面γ相交于PB，平面β与平面γ相交于PC；(2)平面ABD与平面BDC相交于BD，平面ABC与平面ADC相交于AC．[解](1)符号语言表示：α∩β∩γ＝P，α∩β＝PA，α∩γ＝PB，β∩γ＝PC，图形表示：如图①．(2)符号语言表示：平面ABD∩平面BDC＝BD，平面ABC∩平面ADC＝AC，图形表示：如图②．类型2点、线共面问题【例2】(源自苏教版例题)已知：A∈l，B∈l，C∈l，D∉l(如图)．求证：直线AD，BD，CD共面．[思路导引]因为直线l与点D可以确定平面α，所以只需证明AD，BD，CD都在平面α内．[证明]因为D∉l，所以l与D可以确定平面α．因为A∈l，所以A∈α．又D∈α，所以AD⊂α．同理，BD⊂α，CD⊂α，所以AD，BD，CD在同一平面α内，即它们共面．解决点线共面问题的基本方法[跟进训练]2．(源自人教B版例题)证明：两两相交且不过同一个点的3条直线必在同一个平面内．[解]已知：AB∩AC＝A，AB∩BC＝B，AC∩BC＝C．求证：直线AB，BC，AC共面．证明：法一：因为AC∩AB＝A，所以直线AB，AC可确定一个平面α．因为B∈AB，C∈AC，所以B∈α，C∈α，故BC⊂α．因此直线AB，BC，AC都在平面α内，所以直线AB，BC，AC共面．法二：因为A不在直线BC上，所以点A和直线BC可确定一个平面α．因为B∈BC，所以B∈α，又A∈α，所以AB⊂α．同理AC⊂α，故直线AB，BC，AC共面．法三：因为A，B，C三点不在同一条直线上，所以A，B，C三点可以确定一个平面α．因为A∈α，B∈α，所以AB⊂α，同理BC⊂α，AC⊂α，故直线AB，BC，AC共面．类型3点共线、线共点问题【例3】如图，已知平面α，β，且α∩β＝l．设梯形ABCD中，AD∥BC，且AB⊂α，CD⊂β．求证：AB，CD，l共点(相交于一点)．[证明]因为梯形ABCD中，AD∥BC，所以AB，CD是梯形ABCD的两腰．所以AB，CD必定相交于一点．设AB∩CD＝M．又因为AB⊂α，CD⊂β，所以M∈α，M∈β．所以M∈α∩β．又因为α∩β＝l，所以M∈l．即AB，CD，l共点(相交于一点)．[母题探究]本例变为：如图所示，在空间四边形各边AD，AB，BC，CD上分别取E，F，G，H四点，假如EF，GH交于一点P，求证：点P在直线BD上．[证明]若EF，GH交于一点P，则E，F，G，H四点共面，又因为EF⊂平面ABD，GH⊂平面CBD，平面ABD∩平面CBD＝BD，所以P∈平面ABD，且P∈平面CBD，由基本领实3可得P∈BD．所以点P在直线BD上．1．证明三点共线的方法(1)首先找出两个平面，然后证明这三点都是这两个平面的公共点，依据基本领实3可知，这些点都在两个平面的交线上．(2)选择其中两点确定一条直线，然后证明另一点也在此直线上．2．证明三线共点的步骤(1)首先说明两条直线共面且交于一点．(2)说明这个点在另两个平面上，并且这两个平面相交．(3)得到交线也过此点，从而得到三线共点．[跟进训练]3．三个平面α，β，γ两两相交于三条直线，即α∩β＝c，β∩γ＝a，γ∩α＝b，若直线a和b不平行，求证：a，b，c三条直线必相交于同一点．[证明]如图，∵α∩γ＝b，β∩γ＝a，∴a⊂γ，b⊂γ．∵直线a和b不平行，∴a，b必相交．设a∩b＝P，则P∈a，P∈b．∵a⊂β，b⊂α，∴P∈β，P∈α．又α∩β＝c，∴P∈c．故a，b，c三条直线必相交于同一点．1．(多选)下列说法正确的是()A．平面是到处平的面B．平面是无限延展的C．平面的形态是平行四边形D．一个平面的厚度可以是0.001cmAB[平面是无限延展的，但是没有大小、形态、厚薄，AB两种说法是正确的；CD两种说法是错误的．]2．(多选)如图所示的平行四边形MNPQ表示的平面可记为()A．平面MN B．平面NQC．平面α D．平面MNPQBCD[平面可用希腊字母、平行四边形的四个顶点或对角线字母表示．]3．下列空间图形画法错误的是()ABCDD[遮挡部分应画成虚线或不画，故D错．]4．已知α与β是两个不重合的平面，则下列推理正确的序号是________．①A∈l，A∈α，B∈l，B∈α⇒l⊂α；②A∈α，A∈β，B∈α，B∈β⇒α∩β＝AB；③l⊄α，A∈l⇒A∉α；④A∈l，l⊂α⇒A∈α．①②④[利用三个基本领实知①②④正确，若l∩α＝A，明显有l⊄α，但是A∈α，③错误．]回顾本节学问，自主完成以下问题：1．如何用符号表示空间点、线、面的位置关系？[提示]点、直线、平面之间的基本位置关系及语言表达文字语言符号语言图形语言A在l上A∈lA在l外A∉lA在α内A∈αA在α外A∉αl在α内l⊂αl在α外l⊄α或l，m相交于Al∩m＝Al，α相交于Al∩α＝Aα，β相交于lα∩β＝l2．3个基本领实的内容是什么？各有什么作用？[提示]基本领实内容作用基本领实1过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面①确定平面的依据；②判定点、线共面基本领实2假如一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内判定直线是否在平面内基本领实3假如两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线①判定两个平面相交的依据；②判定点在直线上课时分层作业(二十七)平面一、选择题1．若点Q在直线b上，b在平面β内，则Q，b，β之间的关系可记作()A．Q∈b∈β B．Q∈b⊂βC．Q⊂b⊂β D．Q⊂b∈βB[∵点Q在直线b上，∴Q∈b．又∵直线b在平面β内，∴b⊂β，∴Q∈b⊂β．]2．(多选)下列命题中正确的是()A．三角形是平面图形B．四边形是平面图形C．四边相等的四边形是平面图形D．圆是平面图形AD[依据基本领实1可知AD正确，BC错误．故选AD．]3．两个平面若有三个公共点，则这两个平面()A．相交 B．重合C．相交或重合 D．以上都不对C[若三点在同一条直线上，则这两个平面相交或重合，若三点不共线，则这两个平面重合．]4．假如空间四点A，B，C，D不共面，那么下列推断中正确的是()A．A，B，C，D四点中必有三点共线B．A，B，C，D四点中不存在三点共线C．直线AB与CD相交D．直线AB与CD平行B[两条平行直线、两条相交直线、直线及直线外一点都分别确定一个平面，故选B．]5．三条两两平行的直线可以确定平面的个数为()A．0 B．1C．0或1 D．1或3D[当三条直线是同一平面内的平行直线时，确定一个平面；当三条直线是三棱柱侧棱所在的直线时，确定三个平面，故选D．]二、填空题6．设平面α与平面β相交于l，直线a⊂α，直线b⊂β，a∩b＝M，则M________l．∈[因为a∩b＝M，a⊂α，b⊂β，所以M∈α，M∈β．又因为α∩β＝l，所以M∈l．]7．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1的全部棱中，既与AB共面，又与CC1共面的棱有________条．5[由题图可知，既与AB共面又与CC1共面的棱有CD、BC、BB1、AA1、C1D1，共5条．]8．已知平面α与平面β、平面γ都相交，则这三个平面的交线可能有________条．1或2或3[当β与γ相交时，若α过β与γ的交线，有1条交线；若α不过β与γ的交线，有3条交线；当β与γ平行时，有2条交线．]三、解答题9．若直线l与平面α相交于点O，A，B∈l，C，D∈α，且AC∥BD，求证：O，C，D三点共线．[证明]如图，∵AC∥BD，∴AC与BD确定一个平面，记作平面β，则α∩β＝直线CD．∵l∩α＝O，∴O∈α．又∵O∈AB，AB⊂β，∴O∈β，∴O∈直线CD，∴O，C，D三点共线．10．设P1，P2，P3，P4为空间中的四个不同点，则“P1，P2，P3，P4中有三点在同一条直线上”是“P1，P2，P3，P4在同一个平面内”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件A[由过一条直线和直线外一点有且只有一个平面，可得P1，P2，P3，P4在同一个平面内，故充分条件成立．由过两条平行直线有且只有一个平面可得，当P1∈l1，P2∈l1，P3∈l2，P4∈l2，l1∥l2时，P1，P2，P3，P4在同一个平面内，但P1，P2，P3，P4中无三点共线，故必要条件不成立．故选A．]11．如图，α∩β＝l，A∈α，C∈β，C∉l，直线AD∩l＝D，过A，B，C三点确定的平面为γ，则平面γ，β的交线必过()A．点A B．点BC．点C，但不过点D D．点C和点DD[A，B，C确定的平面γ与直线BD和点C确定的平面重合，故C，D∈γ，且C，D∈β，故C，D在γ和β的交线上．]12．(多选)如图，ABCD-A1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确的是()A．A，M，O三点共线B．A，M，O，A1四点共面C．A，O，C，M四点共面D．B，B1，O，M四点共面ABC[因为A，M，O三点既在平面AB1D1内，又在平面AA1C内，故A，M，O三点共线，从而易知ABC均正确．]13．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，平面A1CC1与平面BDC1的交线是________．C1M