2024年高考数学第一轮复习讲义第四章4.3　两角和与差的正弦、余弦和正切公式(学生版+解析)

§4.3两角和与差的正弦、余弦和正切公式考试要求1.会推导两角差的余弦公式.2.会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式.3.掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，并会简单应用．知识梳理1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式(1)公式C(α－β)：cos(α－β)＝________________________________；(2)公式C(α＋β)：cos(α＋β)＝________________________________；(3)公式S(α－β)：sin(α－β)＝________________________________；(4)公式S(α＋β)：sin(α＋β)＝________________________________；(5)公式T(α－β)：tan(α－β)＝________________________________；(6)公式T(α＋β)：tan(α＋β)＝________________________________.2．辅助角公式asinα＋bcosα＝________________________，其中sinφ＝eq\f(b,\r(a2＋b2))，cosφ＝eq\f(a,\r(a2＋b2)).知识拓展两角和与差的公式的常用变形：(1)sinαsinβ＋cos(α＋β)＝cosαcosβ.(2)cosαsinβ＋sin(α－β)＝sinαcosβ.(3)tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tanαtanβ)．tanαtanβ＝1－eq\f(tanα＋tanβ,tanα＋β)＝eq\f(tanα－tanβ,tanα－β)－1.思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)存在α，β，使等式sin(α＋β)＝sinα＋sinβ.()(2)两角和与差的正切公式中的角α，β是任意角．()(3)公式tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)可以变形为tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)，且对任意角α，β都成立．()(4)公式asinx＋bcosx＝eq\r(a2＋b2)sin(x＋φ)中φ的取值与a，b的值无关．()教材改编题1．sin20°cos10°－cos160°sin10°等于()A．－eq\f(\r(3),2)B.eq\f(\r(3),2)C．－eq\f(1,2)D.eq\f(1,2)2．若将sinx－eq\r(3)cosx写成2sin(x－φ)的形式，其中0≤φ<π，则φ＝________.3．已知α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，且sinα＝eq\f(4,5)，则taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))的值为________．题型一两角和与差的三角函数公式例1(1)计算：eq\f(cos55°＋sin25°cos60°,cos25°)等于()A．－eq\f(\r(3),2)B.eq\f(\r(3),2)C．－eq\f(1,2)D.eq\f(1,2)听课记录：______________________________________________________________________________________________________________________________________(2)(2023·银川模拟)已知tanα＝1＋m，tanβ＝m，且α＋β＝eq\f(π,4)，则实数m的值为()A．－1B．1C．0或－3D．0或1听课记录：______________________________________________________________________________________________________________________________________思维升华两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广，可用α，β的三角函数表示α±β的三角函数，在使用两角和与差的三角函数公式时，特别要注意角与角之间的关系，完成统一角和角与角转换的目的．跟踪训练1(1)(2023·茂名模拟)已知0<α<eq\f(π,2)，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))＝eq\f(\r(2),6)，则eq\f(sinα,1＋tanα)的值为()A.eq\f(4\r(14),51)B.eq\f(2\r(14),13)C.eq\f(4\r(17),51)D.eq\f(2\r(17),13)(2)(2022·新高考全国Ⅱ)若sin(α＋β)＋cos(α＋β)＝2eq\r(2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))sinβ，则()A．tan(α－β)＝1B．tan(α＋β)＝1C．tan(α－β)＝－1D．tan(α＋β)＝－1题型二两角和与差的公式逆用与辅助角公式例2(1)在△ABC中，C＝120°，tanA＋tanB＝eq\f(2\r(3),3)，则tanAtanB的值为()A.eq\f(1,4)B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2)D.eq\f(5,3)听课记录：__________________________________________________________________________________________________________________________________________(2)(2022·浙江)若3sinα－sinβ＝eq\r(10)，α＋β＝eq\f(π,2)，则sinα＝________，cos2β＝________.听课记录：______________________________________________________________________________________________________________________________________思维升华运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形．公式的逆用和变形应用更能开拓思路，增强从正向思维向逆向思维转化的能力．跟踪训练2(1)(2023·西宁模拟)已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)))＝eq\f(\r(3),3)，则sinx＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))等于()A．1B．－1C.eq\f(2\r(3),3)D.eq\r(3)(2)满足等式(1＋tanα)(1＋tanβ)＝2的数组(α，β)有无穷多个，试写出一个这样的数组________．题型三角的变换问题例3(1)(2020·全国Ⅲ)已知sinθ＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,3)))＝1，则sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,6)))等于()A.eq\f(1,2)B.eq\f(\r(3),3)C.eq\f(2,3)D.eq\f(\r(2),2)(2)已知α，β为锐角，sinα＝eq\f(3\r(10),10)，cos(α＋β)＝－eq\f(\r(5),5).则sin(2α＋β)的值为________．听课记录：______________________________________________________________________________________________________________________________________思维升华常用的拆角、配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)；α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β；β＝eq\f(α＋β,2)－eq\f(α－β,2)＝(α＋2β)－(α＋β)；α－β＝(α－γ)＋(γ－β)；15°＝45°－30°；eq\f(π,4)＋α＝eq\f(π,2)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))等．跟踪训练3(1)(2023·青岛质检)已知α，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π))，sin(α＋β)＝－eq\f(3,5)，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,4)))＝eq\f(24,25)，则coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝________.(2)若tan(α＋2β)＝2，tanβ＝－3，则tan(α＋β)＝________，tanα＝________.§4.3两角和与差的正弦、余弦和正切公式考试要求1.会推导两角差的余弦公式.2.会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式.3.掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，并会简单应用．知识梳理1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式(1)公式C(α－β)：cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ；(2)公式C(α＋β)：cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ；(3)公式S(α－β)：sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ；(4)公式S(α＋β)：sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ；(5)公式T(α－β)：tan(α－β)＝eq\f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ)；(6)公式T(α＋β)：tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ).2．辅助角公式asinα＋bcosα＝eq\r(a2＋b2)sin(α＋φ)，其中sinφ＝eq\f(b,\r(a2＋b2))，cosφ＝eq\f(a,\r(a2＋b2)).知识拓展两角和与差的公式的常用变形：(1)sinαsinβ＋cos(α＋β)＝cosαcosβ.(2)cosαsinβ＋sin(α－β)＝sinαcosβ.(3)tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tanαtanβ)．tanαtanβ＝1－eq\f(tanα＋tanβ,tanα＋β)＝eq\f(tanα－tanβ,tanα－β)－1.思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)存在α，β，使等式sin(α＋β)＝sinα＋sinβ.(√)(2)两角和与差的正切公式中的角α，β是任意角．(×)(3)公式tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)可以变形为tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)，且对任意角α，β都成立．(×)(4)公式asinx＋bcosx＝eq\r(a2＋b2)sin(x＋φ)中φ的取值与a，b的值无关．(×)教材改编题1．sin20°cos10°－cos160°sin10°等于()A．－eq\f(\r(3),2)B.eq\f(\r(3),2)C．－eq\f(1,2)D.eq\f(1,2)答案D解析原式＝sin20°cos10°＋cos20°sin10°＝sin(20°＋10°)＝sin30°＝eq\f(1,2).2．若将sinx－eq\r(3)cosx写成2sin(x－φ)的形式，其中0≤φ<π，则φ＝.答案eq\f(π,3)解析因为sinx－eq\r(3)cosx＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)sinx－\f(\r(3),2)cosx))，所以cosφ＝eq\f(1,2)，sinφ＝eq\f(\r(3),2)，因为0≤φ<π，所以φ＝eq\f(π,3).3．已知α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，且sinα＝eq\f(4,5)，则taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))的值为．答案－eq\f(1,7)解析因为α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，且sinα＝eq\f(4,5)，所以cosα＝－eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))2)＝－eq\f(3,5)，tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝eq\f(\f(4,5),－\f(3,5))＝－eq\f(4,3).所以taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝eq\f(tanα＋tan

\f(π,4),1－tanαtan

\f(π,4))＝eq\f(－\f(4,3)＋1,1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3)))×1)＝－eq\f(1,7).题型一两角和与差的三角函数公式例1(1)计算：eq\f(cos55°＋sin25°cos60°,cos25°)等于()A．－eq\f(\r(3),2)B.eq\f(\r(3),2)C．－eq\f(1,2)D.eq\f(1,2)答案B解析eq\f(cos55°＋sin25°cos60°,cos25°)＝eq\f(cos30°＋25°＋\f(1,2)sin25°,cos25°)＝eq\f(\f(\r(3),2)cos25°－\f(1,2)sin25°＋\f(1,2)sin25°,cos25°)＝eq\f(\r(3),2).(2)(2023·银川模拟)已知tanα＝1＋m，tanβ＝m，且α＋β＝eq\f(π,4)，则实数m的值为()A．－1B．1C．0或－3D．0或1答案C解析因为α＋β＝eq\f(π,4)，所以tan(α＋β)＝tan

eq\f(π,4)⇒eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)＝1⇒eq\f(1＋m＋m,1－mm＋1)＝1⇒m2＋3m＝0，解得m＝0或m＝－3.思维升华两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广，可用α，β的三角函数表示α±β的三角函数，在使用两角和与差的三角函数公式时，特别要注意角与角之间的关系，完成统一角和角与角转换的目的．跟踪训练1(1)(2023·茂名模拟)已知0<α<eq\f(π,2)，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))＝eq\f(\r(2),6)，则eq\f(sinα,1＋tanα)的值为()A.eq\f(4\r(14),51)B.eq\f(2\r(14),13)C.eq\f(4\r(17),51)D.eq\f(2\r(17),13)答案C解析因为sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))＝eq\f(\r(2),6)，所以eq\f(\r(2),2)(cosα－sinα)＝eq\f(\r(2),6).所以cosα－sinα＝eq\f(1,3)，所以1－2sinαcosα＝eq\f(1,9)，得sinαcosα＝eq\f(4,9)，因为cosα＋sinα＝eq\r(1＋2sinαcosα)＝eq\f(\r(17),3)，所以eq\f(sinα,1＋tanα)＝eq\f(sinα,1＋\f(sinα,cosα))＝eq\f(sinαcosα,cosα＋sinα)＝eq\f(\f(4,9),\f(\r(17),3))＝eq\f(4\r(17),51).(2)(2022·新高考全国Ⅱ)若sin(α＋β)＋cos(α＋β)＝2eq\r(2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))sinβ，则()A．tan(α－β)＝1B．tan(α＋β)＝1C．tan(α－β)＝－1D．tan(α＋β)＝－1答案C解析由题意得sinαcosβ＋cosαsinβ＋cosαcosβ－sinαsinβ＝2eq\r(2)×eq\f(\r(2),2)(cosα－sinα)sinβ，整理得sinαcosβ－cosαsinβ＋cosαcosβ＋sinαsinβ＝0，即sin(α－β)＋cos(α－β)＝0，所以tan(α－β)＝－1，故选C.题型二两角和与差的公式逆用与辅助角公式例2(1)在△ABC中，C＝120°，tanA＋tanB＝eq\f(2\r(3),3)，则tanAtanB的值为()A.eq\f(1,4)B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2)D.eq\f(5,3)答案B解析在△ABC中，∵C＝120°，∴tanC＝－eq\r(3).∵A＋B＝π－C，∴tan(A＋B)＝－tanC＝eq\r(3).∴tanA＋tanB＝eq\r(3)(1－tanAtanB)，又∵tanA＋tanB＝eq\f(2\r(3),3)，∴tanAtanB＝eq\f(1,3).(2)(2022·浙江)若3sinα－sinβ＝eq\r(10)，α＋β＝eq\f(π,2)，则sinα＝，cos2β＝.答案eq\f(3\r(10),10)eq\f(4,5)解析因为α＋β＝eq\f(π,2)，所以β＝eq\f(π,2)－α，所以3sinα－sinβ＝3sinα－sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))＝3sinα－cosα＝eq\r(10)sin(α－φ)＝eq\r(10)，其中sinφ＝eq\f(\r(10),10)，cosφ＝eq\f(3\r(10),10).所以α－φ＝eq\f(π,2)＋2kπ，k∈Z，所以α＝eq\f(π,2)＋φ＋2kπ，k∈Z，所以sinα＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋φ＋2kπ))＝cosφ＝eq\f(3\r(10),10)，k∈Z.因为sinβ＝3sinα－eq\r(10)＝－eq\f(\r(10),10)，所以cos2β＝1－2sin2β＝1－eq\f(1,5)＝eq\f(4,5).思维升华运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形．公式的逆用和变形应用更能开拓思路，增强从正向思维向逆向思维转化的能力．跟踪训练2(1)(2023·西宁模拟)已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)))＝eq\f(\r(3),3)，则sinx＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))等于()A．1B．－1C.eq\f(2\r(3),3)D.eq\r(3)答案A解析因为sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)))＝eq\f(\r(3),3)，所以sinx＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))＝sinx＋eq\f(1,2)sinx－eq\f(\r(3),2)cosx＝eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)))＝1.(2)满足等式(1＋tanα)(1＋tanβ)＝2的数组(α，β)有无穷多个，试写出一个这样的数组．答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))(答案不唯一)解析由(1＋tanα)(1＋tanβ)＝2，得1＋tanβ＋tanα＋tanαtanβ＝2，所以tanβ＋tanα＝1－tanαtanβ，所以eq\f(tanβ＋tanα,1－tanαtanβ)＝1，所以tan(α＋β)＝1，所以α＋β＝kπ＋eq\f(π,4)，k∈Z，所以α可以为0，β可以为eq\f(π,4)(答案不唯一)．题型三角的变换问题例3(1)(2020·全国Ⅲ)已知sinθ＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,3)))＝1，则sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,6)))等于()A.eq\f(1,2)B.eq\f(\r(3),3)C.eq\f(2,3)D.eq\f(\r(2),2)答案B解析因为sinθ＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,3)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,6)－\f(π,6)))＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,6)＋\f(π,6)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,6)))cos

eq\f(π,6)－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,6)))sin

eq\f(π,6)＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,6)))cos

eq\f(π,6)＋coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,6)))sin

eq\f(π,6)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,6)))cos

eq\f(π,6)＝eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,6)))＝1.所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,6)))＝eq\f(\r(3),3).(2)已知α，β为锐角，sinα＝eq\f(3\r(10),10)，cos(α＋β)＝－eq\f(\r(5),5).则sin(2α＋β)的值为．答案－eq\f(\r(2),10)解析因为0<α<eq\f(π,2)，sinα＝eq\f(3\r(10),10)，所以cosα＝eq\r(1－sin2α)＝eq\r(1－\f(9,10))＝eq\f(\r(10),10)，因为0<α<eq\f(π,2)，0<β<eq\f(π,2)，所以0<α＋β<π，因为cos(α＋β)＝－eq\f(\r(5),5)，所以sin(α＋β)＝eq\r(1－cos2α＋β)＝eq\r(1－\f(1,5))＝eq\f(2\r(5),5)，所以sin(2α＋β)＝sin(α＋α＋β)＝sinαcos(α＋β)＋cosαsin(α＋β)＝eq\f(3\r(10),10)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(5),5)))＋eq\f(\r(10),10)×eq\f(2\r(5),5)＝－eq\f(\r(2),10).思维升华常用的拆角、配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)；α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β；β＝eq\f(α＋β,2)－eq\f(α－β,2)＝(α＋2β)－(α＋β)；α－β＝(α－γ)＋(γ－β)；15°＝45°－30°；eq\f(π,4)＋α＝eq\f(π,2)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))等．跟踪训练3(1)(2023·青岛质检)已知α，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π))，sin(α＋β)＝－eq\f(3,5)，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,4)))＝eq\f(24,25)，则coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝.答案－eq\f(4,5)解析由题意知，α＋β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，2π))，sin(α＋β)＝－eq\f(3,5)<0，所以cos(α＋β)＝eq\f(4,5)，因为sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,4)))＝eq\f(24,25)，β－eq\f(π,4)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,4)))，所以coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,4)))＝－eq\f(7,25)，所以coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(α＋β－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,4)))))＝cos(α＋β)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,4)))＋sin(α＋β)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,4)))＝－eq\f(4,5).(2)若tan(α＋2β)＝2，tanβ＝－3，则tan(α＋β)＝，tanα＝.答案－1eq\f(1,2)解析∵tan(α＋2β)＝2，tanβ＝－3，∴tan(α＋β)＝tan(α＋2β－β)＝eq\f(tanα＋2β－tanβ,1＋tanα＋2βtanβ)＝eq\f(2－－3,1＋2×－3)＝－1，tanα＝tan(α＋β－β)＝eq\f(tanα＋β－tanβ,1＋tanα＋βtanβ)＝eq\f(－1－－3,1＋－1×－3)＝eq\f(1,2).课时精练1．(2023·苏州模拟)cos24°cos36°－sin24°cos54°等于()A．cos12°B．－cos12°C．－eq\f(1,2)D.eq\f(1,2)答案D解析cos24°cos36°－sin24°cos54°＝cos24°cos36°－sin24°sin36°＝cos(24°＋36°)＝cos60°＝eq\f(1,2).2．(2023·合肥模拟)已知sinα＋cosα＝eq\f(\r(2),3)，则sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(3π,4)))等于()A．±eq\f(1,3)B.eq\f(1,3)C．－eq\f(1,3)D．－eq\f(2\r(2),3)答案C解析∵sinα＋cosα＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝eq\f(\r(2),3)，∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝eq\f(1,3)，∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(3π,4)))＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))－π))＝－sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝－eq\f(1,3).3．已知msin20°＋tan20°＝eq\r(3)，则实数m的值为()A.eq\r(3)B．2C．4D．8答案C解析∵msin20°＋tan20°＝eq\r(3)，∴m＝eq\f(\r(3)－tan20°,sin20°)＝eq\f(\r(3)－\f(sin20°,cos20°),sin20°)＝eq\f(\r(3)cos20°－sin20°,sin20°cos20°)＝eq\f(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)cos20°－\f(1,2)sin20°)),\f(1,2)sin40°)＝eq\f(2sin60°－20°,\f(1,2)sin40°)＝4.4．(2023·西安模拟)已知2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))＝sinα，则sinαcosα等于()A．－eq\f(\r(3),4)B.eq\f(\r(3),4)C．－eq\f(2\r(3),7)D.eq\f(2\r(3),7)答案D解析2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))＝sinα，即2cosαcos

eq\f(π,6)－2sinαsineq\f(π,6)＝sinα，即eq\r(3)cosα－sinα＝sinα，则tanα＝eq\f(\r(3),2)，所以sinαcosα＝eq\f(sinαcosα,sin2α＋cos2α)＝eq\f(tanα,tan2α＋1)＝eq\f(2\r(3),7).5．(2023·扬州质检)已知sinα＝eq\f(\r(5),5)，且α为锐角，tanβ＝－3，且β为钝角，则α＋β的值为()A.eq\f(π,4)B.eq\f(3π,4)C.eq\f(π,3)D.eq\f(2π,3)答案B解析sinα＝eq\f(\r(5),5)，且α为锐角，则cosα＝eq\r(1－sin2α)＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),5)))2)＝eq\f(2\r(5),5)，tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝eq\f(1,2).所以tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)＝eq\f(\f(1,2)－3,1－\f(1,2)×－3)＝－1.又β为钝角，则α＋β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,2)))，故α＋β＝eq\f(3π,4).6．(2023·威海模拟)已知α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π，\f(3π,2)))，若taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3)))＝－2，则coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,12)))等于()A.eq\f(3\r(10),10)B.eq\f(\r(10),10)C．－eq\f(\r(10),10)D．－eq\f(3\r(10),10)答案C解析因为α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π，\f(3π,2)))，则α＋eq\f(π,3)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4π,3)，\f(11π,6)))，又taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3)))＝－2<0，故α＋eq\f(π,3)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，\f(11π,6)))，则coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3)))＝eq\f(\r(5),5)，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3)))＝－eq\f(2\r(5),5)，故coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,12)))＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3)))－\f(π,4)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3)))cos

eq\f(π,4)＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3)))sin

eq\f(π,4)＝eq\f(\r(2),2)×eq\f(\r(5),5)＋eq\f(\r(2),2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2\r(5),5)))＝－eq\f(\r(10),10).7．(2022·上海模拟)已知α，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))，且tanα＋tanβ＋eq\r(3)tanαtanβ＝eq\r(3)，则α＋β＝.答案－eq\f(2π,3)解析由tanα＋tanβ＋eq\r(3)tanαtanβ＝eq\r(3)得tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)＝eq\r(3)，又α，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))，则α＋β∈(－π，0)，所以α＋β＝－eq\f(2π,3).8．化简：sin(α＋β)cos(γ－β)－cos(β＋α)sin(β－γ)＝.答案sin(α＋γ)解析sin(α＋β)cos(γ－β)－cos(β＋α)sin(β－γ)＝sin(α＋β)cos(β－γ)－cos(α＋β)sin(β－γ)＝sin[(α＋β)－(β－γ)]＝sin(α＋γ)．9．(2023·合肥模拟)已知α，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，且eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3cosα＝2\r(2)cosβ，,cosαcosβ＝\f(3\r(2),5).))(1)求α＋β的值；(2)证明：0<α－β<eq\f(π,4)，并求sin(α－β)的值．解(1)因为α，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，所以cosα>0，cosβ>0，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3cosα＝2\r(2)cosβ，,cosαcosβ＝\f(3\r(2),5)，))解得cosα＝eq\f(2\r(5),5)，cosβ＝eq\f(3\r(10),10)，所以sinα＝eq\r(1－cos2α)＝eq\f(\r(5),5)，sinβ＝eq\r(1－cos2β)＝eq\f(\r(10),10)，cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝eq\f(2\r(5),5)×eq\f(3\r(10),10)－eq\f(\r(5),5)×eq\f(\r(10),10)＝eq\f(\r(2),2)，因为α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝eq\f(π,4).(2)因为α＋β＝eq\f(π,4)，sineq\f(π,4)＝eq\f(\r(2),2)>sinα＝eq\f(\r(5),5)>sinβ＝eq\f(\r(10),10)，且函数y＝sinx在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上单调递增，所以0<β<α<eq\f(π,4)，所以0<α－β<eq\f(π,4)，所以sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ＝eq\f(\r(5),5)×eq\f(3\r(10),10)－eq\f(2\r(5),5)×eq\f(\r(10),10)＝eq\f(\r(2),10).10．在①tan(π＋α)＝3；②sin(π－α)－2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))＝cos(－α)；③3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋α))中任选一个条件，补充在下面问题中，并解决问题．已知0<β<α<eq\f(π,2)，，cos(α＋β)＝－eq\f(\r(5),5).(1)求sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))；(2)求β.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．解(1)若选①，tan(π＋α)＝tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝3，又因为sin2α＋cos2α＝1,0<α<eq\f(π,2)，所以sinα＝eq\f(3\r(10),10)，cosα＝eq\f(\r(10),10)，所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))＝sinαcos

eq\f(π,4)－cosαsin

eq\f(π,4)＝eq\f(3\r(10),10)×eq\f(\r(2),2)－eq\f(\r(10),10)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(5),5).若选②，因为sin(π－α)－2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))＝cos(－α)，化简得sinα＝3cosα，又因为sin2α＋cos2α＝1,0<α<eq\f(π,2)，所以sinα＝eq\f(3\r(10),10)，cosα＝eq\f(\r(10),10)，所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))＝sinαcos

eq\f(π,4)－cosαsin

eq\f(π,4)＝eq\f(3\r(10),10)×eq\f(\r(2),2)－eq\f(\r(10),10)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(5),5).若选③，因为3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋α))，化简得3cosα＝sinα，又因为sin2α＋cos2α＝1,0<α<eq\f(π,2)，所以sinα＝eq\f(3\r(10),10)，cosα＝eq\f(\r(10),10)，所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))＝sinαcos

eq\f(π,4)－cosαsin

eq\f(π,4)＝eq\f(3\r(10),10)×eq\f(\r(2),2)－eq\f(\r(10),10)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(5),5).(2)因为0<β<α<eq\f(π,2)，且cos(α＋β)＝－eq\f(\r(5),5)，所以eq\f(π,2)<α＋β<π，所以sin(α＋β)＝eq\r(1－cos2α＋β)＝eq\f(2\r(5),5)，所以sinβ＝sin[(α＋β)－α]＝eq\f(2\r(5),5)×eq\f(\r(10),10)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(5),5)))×eq\f(3\r(10),10)＝eq\f(\r(2),2)，又因为0<β<eq\f(π,2)，所以β＝eq\f(π,4).11．若sinθ－eq\r(3)cosθ＝eq\f(2\r(2),3)，则coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,6)))等于()A．－eq\f(\r(2),3)B.eq\f(\r(2),3)C.eq\f(2,3)D．－eq\f(2,3)答案A解析由题设可知，sinθ－eq\r(3)cosθ＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,3)))＝eq\f(2\r(2),3)，则sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,3)))＝eq\f(\r(2),3)，所以coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,6)))＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,6)))))＝－sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,3)))＝－eq\f(\r(2),3).12．tan70°·cos10°·(1－eq\r(3)tan20°)等于()A．1 B．2C．－1 D．－2答案A解析tan70°·cos10°·(1－eq\r(3)tan20°)＝cos10°·(tan70°－eq\r(3)tan70°·tan20°)＝cos10°·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(sin70°,cos70°)－\r(3)\f(sin70°,cos70°)·\f(sin20°,cos20°)))＝cos10°·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(cos20°－\r(3)sin20°,sin20°)))＝cos10°·eq\f(2sin30°－20°,2sin10°cos10°)＝1.13．(2023·武汉质检)设sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,7)))＝2cosαsin

eq\f(π,7)，则eq\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,7))),cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(5π,1