四川省仁寿县2025届高三数学下学期2月月考试题文含解析

Page21本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.留意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、考号填写在答题卡规定的位置上.2.答选择题时，必需运用2B铅笔将答题卡上对应题号的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号3.答非选择题时，必需运用0.5毫米黑色签字笔将答案书写在答题卡规定的位置上.4.考试结束后，将答题卡交回.第I卷（选择题，共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先化简集合，再依据集合交集的定义求解即可.【详解】由解得，所以，所以，故选：C2.已知直线：，：，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】先求出时的的取值，然后利用条件的定义进行判定.【详解】因为直线：，：，若，则，即；所以“”是“”的充分不必要条件；故选：A.3.已知复数满意，则的虚部为（）A. B.1 C. D.【答案】B【解析】【分析】先利用复数相等求得复数，进而求得的虚部.【详解】设，则，所以，则，解之得，则，即的虚部为1.故选：B4.已知双曲线的实轴长为4，虚轴长为6，则其渐近线方程为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】依据双曲线几何性质解决即可.【详解】由题知双曲线中，所以，双曲线焦点在轴上，所以双曲线的渐近线方程为，故选：B5.已知为等差数列的前项和，，，则（）A.5 B.0 C. D.【答案】D【解析】【分析】由等差数列性质得，从而求得，再得后可得公差，然后求出，再由等差数列的前项和公式、等差数列的性质求得结论．【详解】设的公差为，是等差数列，则，，，又，所以，从而，，．故选：D．6.人类通常有，，，四种血型，某一血型人可以给哪些血型的人输血，是有严格规定的.设代表，，，中某种血型，箭头左边表示供血者，右边表示受血者，则输血规则如下：①→；②→；③→.已知我国，，，四种血型的人数所占比例分别为41%，28%，24%，7%，在临床上，依据上述规则，若受血者为型血，则一位供血者能为这位受血者正确输血的概率为（）A.0.31 B.0.48 C.0.52 D.0.65【答案】D【解析】【分析】依据概率加法公式求得正确答案.【详解】当受血者为B型血时，供血者可以为B型或O型，所以一位供血者能为这位受血者正确输血的概率为41%+24%=65%=0.65.故选：D7.函数，的零点个数为（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】C【解析】【分析】在时，解方程，即可得解.【详解】当时，由.若，可得、；若，可得、.综上所述，函数在上的零点个数为4.故选：C.8.人们用分贝来划分声音的等级，声音的等级（单位：）与声音强度（单位：）满意.一般两人小声交谈时，声音的等级约为，在有50人的课堂上讲课时，老师声音的等级约为，那么老师上课时声音强度约为一般两人小声交谈时声音强度的（）A.1倍 B.10倍 C.100倍 D.1000倍【答案】C【解析】【分析】依据所给声音等级与声音强度的函数关系，求出声音等级即可比较得解.【详解】∵声音等级式（单位：）与声音强度（单位：）满意，又∵老师的声音的等级约为63dB，，解得，即老师的声音强度约为，∵两人交谈时的声音等级大约为，，解得，即两人交谈时的声音强度约为，老师上课时声音强度约为两人小声交谈时声音强度的倍.故选：C9.已知直线与圆交于两个不同点，则当弦最短时，圆与圆位置关系是（）A.内切 B.相离 C.外切 D.相交【答案】D【解析】【分析】由直线过定点且定点在圆内，当弦最短时直线垂直，依据斜率乘积为求出，进而求出圆的方程，再依据圆心距与两圆半径的关系确定答案.【详解】易知直线过定点，弦最短时直线垂直，又，所以，解得，此时圆的方程是.两圆圆心之间的距离，又，所以这两圆相交.故选：D.10.已知圆台形的花盆的上、下底面的直径分别为8和6，该花盆的侧面绽开图的扇环所对的圆心角为，则母线长为（）A.4 B.8 C.10 D.16【答案】A【解析】【分析】利用扇形的弧长公式和圆心角，即可计算求解.【详解】如图，弧长为，弧长为，因为圆心角为，，，则母线.故选：A.11.已知抛物线的焦点F到准线的距离为4，点，在抛物线C上，若，则（）．A.4 B.2 C. D.【答案】A【解析】【分析】由焦准距求出，结合抛物线第确定义得，整理得，由代换即可求解.【详解】抛物线的焦点F到准线的距离为4，所以，依题意，，而，，故，即，则，故，故选：A．12.已知定义在的函数是奇函数，且对随意两个不相等的实数，都有.则满意的的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依据题意，得到函数的图象关于点对称，得到，且函数在上为单调递减函数，把不等式转化为，得出，即可求解.【详解】将函数的图象先向右平移1个单位，再向上平移2个单位，可得的图象，因为函数是奇函数，其图象关于原点对称，可得函数的图象关于点对称，可得，又因为对随意两个不相等的实数，都有，即，即函数在上为单调递减函数，由不等式，即为，即，可得，解得，即不等式的解集为.故选：D.第II卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知角的顶点为坐标原点，始边为x轴正半轴，终边经过点，则______．【答案】##【解析】【分析】依据三角函数的定义求出，然后代入计算即可.【详解】由三角函数的定义可得，故答案为：.14.已知向量与的夹角是，，，则向量与的夹角为______．【答案】【解析】【分析】先依据条件求出，，再利用向量的夹角公式计算即可.【详解】由已知，，，又，故答案为：15.已知数列的各项互异，且，（），则_________.【答案】2【解析】【分析】由得，利用裂项相消求和即可【详解】由题意，得，则，，即，所以.故答案为：216.若三棱锥的全部顶点都在球的球面上，是边长为3的正三角形，为球的直径，三棱锥的体积为，则三棱锥的外接球的体积为______.【答案】【解析】【分析】由球的性质和线面垂直的判定，结合棱锥的体积公式和球的体积公式即可求解.【详解】由题知，如图所示：由为球的直径，可得，又是边长为3的正三角形，所以，在中，，所以，所以，设球的半径为，则，取的中点，连接，则有，又，平面，所以平面，所以三棱锥的体积.则，在中，，所以，所以解得，所以三棱锥的外接球的体积为.故答案为：.【点睛】思路点睛：运用化归转化的思想，设出球的半径，用表示出三棱锥的体积，从而得到关于的方程，进而求解即可.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，第22和23题为选考题，考生依据要求作答.17.2024年2月4日，北京冬奥会在国家体育场盛大开幕.这是北京时隔14年再次举办奥运会，北京成为历史上首个既举办过夏季奥运会，又举办过冬季奥运会的城市，为了了解某中学高一学生对冬奥会开幕式的关注程度，从该校高一学生中随机抽取了100名学生进行调查，调查样本中有40名女生.下图是依据样本的调查结果绘制的等高条形图（阴影区域表示关注冬奥会开幕式的部分）.关注没关注合计男女合计（1）完成上面的列联表，并计算回答是否有的把握认为“对冬奥会开幕式的关注与性别有关”？（2）为了进一步了解学生对冬奥会开幕式关注的程度，现依据性别接受分层抽样的方法从关注冬奥会开幕式的学生中随机抽取7人，再从这7人中抽取2人进行面对面沟通，求抽取的2人中“恰有一名女生”的概率.附：，其中0.1500.1000.0500.010.0052.0722.7063.8416.6357.879【答案】（1）列联表见解析，有95%把握认为对其关注与性别有关（2）【解析】【分析】（1）由题意填写列联表，并依据公式计算，与附表数据比较即可；（2）有序列举，利用古典概型概率公式求解.【小问1详解】关注没关注合计男303060女122840合计4258100（1）由题可得男生：关注（人），未关注（人）；女生：关注（人），未关注（人）.答：有95%把握认为对冬奥会开幕式的关注与性别有关；【小问2详解】男：（人），设，，，，，女：（人），设为，，试验“从7人中随机抽取两个人”的样本空间Ω，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共有个样本点，且每个样本点是等可能发生的，所以这是一个古典概型.事务“恰有一名女生”共10个样本点.∴设“7人中随机抽取两人，恰有一名女生”为事务，∴.18.在中，角A，，的对边分别为，，，.（1）求角的大小；（2）若，为外一点（A，在直线两侧），.设，求平面四边形面积的最大值及对应的的值.【答案】（1）；（2），.【解析】【分析】（1）利用正弦定理及三角恒等变换计算即可；（2）利用余弦定理及三角形面积公式将四边形面积表示成关于的三角函数，依据三角函数的性质求最值即可.【小问1详解】在中，，由正弦定理：，即，所以，又，∴；【小问2详解】由余弦定理：.∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，因此当时，平面四边形面积最大，∴最大值为，.19.如图，在四棱锥中，，，，、分别是棱，的中点，且平面.（1）证明：；（2）已知，求四棱锥的体积.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）依据线面平行推断面面平行，再由面面平行的性质得证；（2）依据棱锥体积公式求解即可.【小问1详解】连接，如图，∵、分别是、中点，∴为中位线，.面，面.∴面.又∵面.，与在同一个平面.∴面面.又∵面面.面面.∴.【小问2详解】∵，，∴为等腰直角三角形∴，，，又∵，∴为等腰三角形，∵为中点.∴，，由（1）知，，∴易知.∴∴易知.∴.∵，∴，∴为底面的高.∴.20.已知函数，.（1）若是奇函数，求在点处的切线方程；（2）若有且只有一个极值点，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依据函数奇偶性可得，利用导数的几何意义即可求出切线方程；（2）利用极值点的定义，求出导函数转化成求导函数零点问题，并利用函数与方程的思想接受数形结合即可求得的取值范围.【小问1详解】由题意得定义域为，且为奇函数，满意，当时，，，又，可得，即；即，易得，所以，，可得；即所以切线方程为.【小问2详解】由，易知，①时，恒成立，函数在上单调递减，无极值点，不合题意；②时，令，即.得，令，可得，令，解得或，当时，，所以在单调递增，当时，或，在，单调递减，此时为微小值点，为极大值点，且，，当趋近于正无穷时，趋近于0且大于零，其图象如下图所示：又有且只有一个极值点，即仅有一交点为或，又，所以，可知，解得，综上所述，.21.在中，已知点，，边上的中线长与边上的中线长之和为6；记的重心的轨迹为曲线.（1）求的方程；（2）若圆：，，过坐标原点且与轴不重合的随意直线与圆相交于点，，直线，与曲线的另一个交点分别是点，，求面积的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由推断出点轨迹是椭圆，并由此求得椭圆的方程.（2）通过直线的方程求得两点的坐标，由此求得面积的表达式，利用基本不等式、函数的单调性求得面积的最大值.【小问1详解】设的中点为，的中点为，所以，，所以，所以，所以点的轨迹是以为焦点，长轴长，的椭圆.所以，所以，，所以曲线的方程为.【小问2详解】设直线为（不妨设），设，，所以，，，解得（舍去），则，由于是单位圆的直径，所以，所以直线的斜率为，直线的方程为，同理可求得，则，由上述分析可知，而，所以，所以，令，当且仅当时等号成立，则，函数在上单调递增，所以当时，取得最小值为.【点睛】求动点的轨迹方程的方法有：干脆法，即利用直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义来求得动点的轨迹方程；等量关系法，即利用题目所给的等量关系式进行化简，从而求得动点的轨迹方程；伸缩变换法，依据伸缩变换的关系式求得动点的轨迹方程.选考题：共10分，请考生在22/23第题中任选一题作答.假如多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22.如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，极轴所在的直线为轴，建立极坐标系，曲线是经过极点且圆心在极轴上直径为2的圆，曲线是闻名的笛卡尔心形曲线，它的极坐标方程为.（1）求曲线的极坐标方程，并求曲线和曲线交点（异于极点）的极径；（2）曲线的参数方程为（为参数）.若曲线和曲线相交于除极点以外的，两点，求线段的长度.【答案】（1）极坐标方程为，，极径为（2）2【解析】【分析】（1）先求出曲线的直角坐标方程，再依据极坐标与直角坐标的互化公式可得曲线的极坐标方程；联立曲线与曲线的极坐标方程，消去可得结果；（2）将曲线的参数方程化为直角坐标方程，再化为极坐标方程，联立曲线和曲线的极坐标方程，消去得到两点的极径后相加即可得解.【小问1详解】曲线的直角坐标方程为，即，将，代入并化简得的极坐标方程为，.由消去，并整理得，∴或.∴所求异于极点的交点的极径为.【小问2详解】由消去参数得曲线