人教版高一数学新教材同步配套教学讲义4.5.1函数的零点与方程的解(原卷版+解析)

4.5.1函数的零点与方程的解【题型归纳目录】题型一：求函数的零点题型二：根据零点求函数解析式的参数题型三：零点存在性定理的应用题型四：根据零点所在区间求参数范围题型五：根据零点的个数求参数范围题型六：一次函数零点分布求参数范围题型七：二次函数零点分布求参数范围题型八：指对幂函数零点分布求参数范围题型九：函数与方程的综合应用【知识点梳理】知识点一：函数的零点1、函数的零点（1）一般地，如果函数在实数处的值等于零，即，则叫做这个函数的零点.知识点诠释：①函数的零点是一个实数，当函数的自变量取这个实数时，其函数值等于零；②函数的零点也就是函数的图象与轴交点的横坐标；③函数的零点就是方程的实数根．归纳：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点．（2）二次函数的零点二次函数的零点个数，方程的实根个数见下表.判别式方程的根函数的零点两个不相等的实根两个零点两个相等的实根一个二重零点无实根无零点（3）二次函数零点的性质①二次函数的图象是连续的，当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号.②相邻两个零点之间的所有的函数值保持同号.引伸：对任意函数，只要它的图象是连续不间断的，上述性质同样成立.2、函数零点的判定（1）利用函数零点存在性的判定定理如果函数在一个区间上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即，则这个函数在这个区间上，至少有一个零点，即存在一点，使，这个也就是方程的根.知识点诠释：①满足上述条件，我们只能判定区间内有零点，但不能确定有几个．若函数在区间内单调，则只有一个；若不单调，则个数不确定．②若函数在区间上有，在内也可能有零点，例如在上，在区间上就是这样的．故在内有零点，不一定有．③若函数在区间上的图象不是连续不断的曲线，在内也可能是有零点，例如函数在上就是这样的．（2）利用方程求解法求函数的零点时，先考虑解方程，方程无实根则函数无零点，方程有实根则函数有零点．（3）利用数形结合法函数的零点就是方程的实数根，也就是函数的图象与的图象交点的横坐标．【方法技巧与总结】1、函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，，且具有单调性，则函数在区间内只有一个零点.2、函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，函数在区间内有零点，且函数具有单调性，则3、零点个数的判断方法（1）直接法：直接求零点，令，如果能求出解，则有几个不同的解就有几个零点.（2）定理法：利用零点存在定理，函数的图象在区间上是连续不断的曲线，且，结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点.（3）数形结合法：①单个函数图象：利用图象交点的个数，画出函数的图象，函数的图象与轴交点的个数就是函数的零点个数；②两个函数图象：将函数拆成两个函数和的差，根据，则函数的零点个数就是函数和的图象的交点个数.4、判断函数零点所在区间（1）将区间端点代入函数求函数的值；（2）将所得函数值相乘，并进行符号判断；（3）若符号为正且在该区间内是递增或递减，则函数在该区间内无零点；若符号为负且函数图象连续，则函数在该区间内至少一个零点。5、已知函数零点个数，求参数取值范围的方法（1）直接法：利用零点存在的判定定理建立不等式；（2）数形结合法：转化为两个函数图象的交点问题，再结合图象求参数的取值范围；（3）分离参数法：分离参数后转化为求函数的值域问题．【典型例题】题型一：求函数的零点例1．（2022·全国·高一课时练习）函数的零点为（

）A．10 B．9 C．（10，0） D．（9，0）例2．（2022·全国·高一课时练习）若是函数的一个零点，则的另一个零点为（

）A．1 B．2 C．（1，0） D．（2，0）例3．（2022·广西玉林·高一期末）若关于x的不等式的解集为，则关于函数，下列说法不正确的是（

）A．在上单调递减 B．有2个零点，分别为1和3C．在上单调递增 D．最小值是变式1．（2022·全国·高一专题练习）若为奇函数，且是的一个零点，则一定是下列哪个函数的零点（

）A． B．C． D．【方法技巧与总结】求函数的零点就是求相应方程的实数根，一般可以借助求根公式或因式分解等方法，求出方程的根，从而得到函数的零点.题型二：根据零点求函数解析式的参数例4．（2022·全国·高一专题练习）若满足，满足，则________.例5．（2022·安徽·高一阶段练习）若正实数是方程的根，则___________．例6．（2022·全国·高一单元测试）已知实数满足，函数有两个零点，则关于函数的零点的下列关系式一定正确的是（

）A． B．C． D．变式2．（2022·北京市八一中学高一阶段练习）已知，若是函数的一个零点，是函数的一个零点，则的值为（

）A．1 B．2021 C． D．4016变式3．（2022·四川达州·高一期末）已知2是函数（为常数）的零点，且，则的值为（

）A． B． C．4 D．3变式4．（2022·湖北·高一阶段练习）若实数，满足，，则（

）A． B．1 C． D．2题型三：零点存在性定理的应用例7．（2022·内蒙古·北方重工集团第五中学高一阶段练习（文））函数的零点所在区间是（

）A． B． C． D．例8．（2022·山东·临沂二十四中高一阶段练习）方程的根所在的区间是（

）A． B． C． D．例9．（2022·山西·长治市第四中学校高一期末）函数的零点所在区间为（

）A． B． C． D．变式5．（2022·重庆·巫山县官渡中学高一期末）在下列区间中，函数的一个零点所在的区间为（

）．A． B． C． D．【方法技巧与总结】解答这类判断函数零点的大致区间的选择题，只需用函数零点的存在性定理依次检验所提供的区间，即可得到答案．题型四：根据零点所在区间求参数范围例10．（2022·内蒙古包头·高一期末）已知为幂函数，（，且）的图象过点．，若的零点所在区间为，那么（

）A．3 B．2 C．1 D．0例11．（2022·海南·高一期末）若函数在区间内存在零点，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．例12．（2022·全国·高一课时练习）若函数有三个零点0，1，，且(1，2)，则a的取值范围是（

）A．(-2，0) B．(1，2) C．(2，3) D．(-3，-2)变式6．（2022·全国·高一课时练习）若函数在区间上有零点，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．变式7．（2022·全国·高一专题练习）已知函数的零点在区间上，则（

）A．1 B．2 C．3 D．4变式8．（2022·江苏·高一单元测试）若函数在区间中恰好有一个零点，则的值可能是（

）A．-2 B．0 C．1 D．3变式9．（2022·全国·高一单元测试）已知函数，若a，b，c互不相等，且，则abc的取值范围是（

）A． B． C． D．题型五：根据零点的个数求参数范围例13．（2022·全国·高一专题练习）已知函数若函数有2个零点，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．例14．（2022·山西长治·高一期末）若函数有两个零点，则整数a的值共有（

）A．7个 B．8个 C．9个 D．17个例15．（2022·浙江·高一阶段练习）已知函数，若存在互不相等的实数，满足，则的取值范围是__________．变式10．（2022·全国·高一课时练习）已知函数若关于x的方程有三个不同的实数根，则实数k的取值范围是________．变式11．（2022·湖北·黄石一中高一期中）已知函数若方程有且仅有三个不等实根，则实数k的取值范围是（

）A． B． C． D．变式12．（2022·全国·高一课时练习）已知函数有零点，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．变式13．（2022·北京大兴·高一期末）若函数恰有个零点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．变式14．（2022·全国·高一单元测试）已知函数有唯一的零点，则实数a的值为（

）A．1 B．－1 C．0 D．－2【方法技巧与总结】体现了函数与方程的互相转化，体现了数形结合思想的应用，它对于解决有更多限制条件的问题提供了一种新的途径．题型六：一次函数零点分布求参数范围例16．（2022·全国·高一专题练习）函数的零点为，则实数的值为（

）A． B． C． D．例17．（2022·天津南开·高一期末）已知函数f（x）=ax-3（a>0，且a≠1），f（x0）=0，若x0∈（0，1），则实数a的取值范围是（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，+）例18．（2022·全国·高一专题练习）已知函数在区间上存在零点，则（

）A． B． C．或 D．变式15．（2022·全国·高一课时练习）若函数在内恰有一解，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．变式16．（2022·全国·高一课时练习）已知函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是A．B．C．D．变式17．（2022·全国·高一单元测试）已知且在内存在零点，则实数的取值范围是()A． B． C． D．题型七：二次函数零点分布求参数范围例19．（2022·江苏·高一专题练习）已知函数，若在其定义域内存在实数满足，则称函数为“局部奇函数”，若函数是定义在上的“局部奇函数”，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．例20．（2022·广东·化州市第三中学高一期末）若方程的两实根中一个小于，另一个大于，则的取值范围是（

）A． B．C． D．例21．（2022·江苏·南京市金陵中学河西分校高一阶段练习）已知关于x的不等式（4x﹣3）2≤4ax2的解集中恰有三个整数，则实数a的取值范围是（）A．[，3] B．（2，3] C．（2，] D．变式18．（2022·四川成都·高一开学考试）若关于x的方程有两个不相等的实根、，且满足，则实数t的取值范围是（

）A．（2，5） B．C． D．变式19．（2022·山东·招远市第二中学高一阶段练习）已知实数，关于x的方程有两个实根，，且，则实数a，b，，的大小关系为（

）A． B．C． D．变式20．（2022·广东·深圳实验学校高中部高一阶段练习）若关于的方程在内有解，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．变式21．（2022·全国·高一课时练习）已知函数的零点至少有一个大于0，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．变式22．（2022·江苏省镇江中学高一阶段练习）函数在上存在零点，则实数a的取值范围是（

）A． B．或 C． D．或变式23．（2022·吉林·长春吉大附中实验学校高一阶段练习）若函数在区间内恰有一个零点，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．变式24．（2022·湖南省临澧县第一中学高一阶段练习）已知一元二次方程有两个实数根，，且，则m的值为（

）A．-4 B．-5 C．-6 D．-7题型八：指对幂函数零点分布求参数范围例22．（2022·内蒙古·阿拉善盟第一中学高一期末）已知函数的零点位于区间（）内，则（

）A．1 B．2C． D．4例23．（2022·全国·高一课时练习）已知函数的零点位于区间内，则整数（

）A．1 B．2 C．3 D．4例24．（2022·全国·高一单元测试）已知函数，，的零点分别为，，，以下说法正确的是（

）A． B． C． D．变式25．（2022·江苏·南京师范大学附属中学江宁分校高一期中）设函数，若关于的函数恰好有六个零点，则实数的取值范围是_____________．变式26．（2022·全国·高一专题练习）设依次表示函数的零点，则的大小关系为______．题型九：函数与方程的综合应用例25．（2022·湖南·周南中学高一阶段练习）已知函数，若方程有4个不同的根，，，，且，则的取值范围是（

）A． B． C． D．例26．（2022·浙江·温州市第八高级中学高一期中）设函数，若关于x的方程有四个实根，则的最小值为（

）A． B． C．10 D．9例27．（2022·安徽·高一阶段练习）已知函数且时，，则的取值范围为（

）A． B． C． D．变式27．（2022·黑龙江·鸡西实验中学高一竞赛）已知函数，若互不相等，且，则的取值范围是（

）A． B． C． D．变式28．（2022·河南·信阳高中高一阶段练习（理））已知函数若关于x的方程有8个不同的实数根，则实数b的取值范围是（）A．

B．

C． D．[﹣5，﹣4]变式29．（2022·广东·深圳科学高中高一期中）已知函数，若方程有六个相异实根，则实数的取值范围（

）A． B． C． D．变式30．（2022·全国·高一课时练习）已知定义在上的函数的图像连续不断，若存在常数，使得对于任意的实数恒成立，则称是“回旋函数”．若函数是“回旋函数”，且，则在上（

）A．至多有2022个零点 B．至多有1011个零点C．至少有2022个零点 D．至少有1011个零点变式31．（2022·全国·高一课时练习）已知函数，若关于的方程有个不同的实数根，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．变式32．（2022·湖北·华中师大一附中高一阶段练习）若对于定义域内的每一个，都有，则称函数为“双倍函数”.已知函数是定义在上的“双2倍函数”，且当时，，若函数恰有4个不同的零点，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．变式33．（2022·贵州·遵义航天高级中学高一阶段练习）已知函数，若有四个不等实根，且，求的取值范围（

）A．（－∞，－3） B．（－3，+∞）C．[－，－3) D．[－，－3]【同步练习】一、单选题1．（2022·辽宁·金石高级中学高一阶段练习）已知关于的方程有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21.则实数的值是（

）A．17 B．－1 C．17或－1 D．－17或12．（2022·全国·高一单元测试）在下列区间中，函数的零点所在的区间为（

）A． B． C． D．3．（2022·全国·高一课时练习）若函数的零点为2，则函数的零点是（

）A．0， B．0， C．0，2 D．2，4．（2022·全国·高一课时练习）已知函数的零点为，不等式的最小整数解为k，则k＝（

）A．8 B．7 C．5 D．65．（2022·全国·高一专题练习）下列函数中，是偶函数且不存在零点的是（）A． B．C． D．6．（2022·全国·高一专题练习）已知函数，若且，则（

）A． B． C． D．随值变化7．（2022·全国·高一单元测试）已知，分别是方程，的根，则（

）A．1 B．2 C． D．8．（2022·河南洛阳·高一期末（文））已知函数，，的零点分别为，，，则，，的大小顺序为（

）A． B．C． D．二、多选题9．（2022·全国·高一专题练习）关于函数，下列描述正确的有（

）A．在区间上单调递增 B．的图象关于直线对称C．若则 D．有且仅有两个零点10．（2022·全国·高一课时练习）（多选）下列函数不存在零点的是（）A． B．C． D．11．（2022·全国·高一课时练习）若函数的图像在R上连续，且，，，则下列说法正确的是（

）A．函数在区间上有且只有1个零点B．函数在区间上一定没有零点C．函数在区间上可能有零点D．函数在区间上至少有1个零点12．（2022·全国·高一单元测试）函数有两个零点，且，下列说法错误的有（

）A．且 B．且 C．且 D．三、填空题13．（2022·江苏·宿迁中学高一期中）已知函数，若在上单调递增，且有两个零点，则满足题意的一个实数的值可以为______．14．（2022·甘肃·庆阳第六中学高一阶段练习）已知函数的零点是和，则________.15．（2022·江苏·泗阳县实验高级中学高一阶段练习）若二次函数有且只有一个零点，则实数的值为_________．16．（2022·江苏省阜宁中学高一阶段练习）已知函数在区间上有零点，则的取值范围为___________.四、解答题17．（2022·上海市杨思高级中学高一阶段练习）用反证法证明：对任意的，关于的方程与至少有一个方程有实根.18．（2022·山东·临沂二十四中高一阶段练习）已知函数．(1)若，求函数的零点；(2)探索是否存在实数，使得函数为奇函数？若存在，求出实数的值并证明；若不存在，请说明理由．19．（2022·全国·高一专题练习）已知函数，且．(1)求证：函数有两个不同的零点；(2)设，是函数的两个不同的零点，求的取值范围．20．（2022·全国·高一课时练习）当时，若关于x的二次方程有两个不相等的实根，求实数m的取值范围.21．（2022·全国·高一单元测试）已知函数是偶函数.当时，.(1)求函数在上的解析式；(2)若函数在区间上单调，求实数a的取值范围；(3)已知，试讨论的零点个数，并求对应的m的取值范围.4.5.1函数的零点与方程的解【题型归纳目录】题型一：求函数的零点题型二：根据零点求函数解析式的参数题型三：零点存在性定理的应用题型四：根据零点所在区间求参数范围题型五：根据零点的个数求参数范围题型六：一次函数零点分布求参数范围题型七：二次函数零点分布求参数范围题型八：指对幂函数零点分布求参数范围题型九：函数与方程的综合应用【知识点梳理】知识点一：函数的零点1、函数的零点（1）一般地，如果函数在实数处的值等于零，即，则叫做这个函数的零点.知识点诠释：①函数的零点是一个实数，当函数的自变量取这个实数时，其函数值等于零；②函数的零点也就是函数的图象与轴交点的横坐标；③函数的零点就是方程的实数根．归纳：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点．（2）二次函数的零点二次函数的零点个数，方程的实根个数见下表.判别式方程的根函数的零点两个不相等的实根两个零点两个相等的实根一个二重零点无实根无零点（3）二次函数零点的性质①二次函数的图象是连续的，当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号.②相邻两个零点之间的所有的函数值保持同号.引伸：对任意函数，只要它的图象是连续不间断的，上述性质同样成立.2、函数零点的判定（1）利用函数零点存在性的判定定理如果函数在一个区间上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即，则这个函数在这个区间上，至少有一个零点，即存在一点，使，这个也就是方程的根.知识点诠释：①满足上述条件，我们只能判定区间内有零点，但不能确定有几个．若函数在区间内单调，则只有一个；若不单调，则个数不确定．②若函数在区间上有，在内也可能有零点，例如在上，在区间上就是这样的．故在内有零点，不一定有．③若函数在区间上的图象不是连续不断的曲线，在内也可能是有零点，例如函数在上就是这样的．（2）利用方程求解法求函数的零点时，先考虑解方程，方程无实根则函数无零点，方程有实根则函数有零点．（3）利用数形结合法函数的零点就是方程的实数根，也就是函数的图象与的图象交点的横坐标．【方法技巧与总结】1、函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，，且具有单调性，则函数在区间内只有一个零点.2、函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，函数在区间内有零点，且函数具有单调性，则3、零点个数的判断方法（1）直接法：直接求零点，令，如果能求出解，则有几个不同的解就有几个零点.（2）定理法：利用零点存在定理，函数的图象在区间上是连续不断的曲线，且，结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点.（3）数形结合法：①单个函数图象：利用图象交点的个数，画出函数的图象，函数的图象与轴交点的个数就是函数的零点个数；②两个函数图象：将函数拆成两个函数和的差，根据，则函数的零点个数就是函数和的图象的交点个数.4、判断函数零点所在区间（1）将区间端点代入函数求函数的值；（2）将所得函数值相乘，并进行符号判断；（3）若符号为正且在该区间内是递增或递减，则函数在该区间内无零点；若符号为负且函数图象连续，则函数在该区间内至少一个零点。5、已知函数零点个数，求参数取值范围的方法（1）直接法：利用零点存在的判定定理建立不等式；（2）数形结合法：转化为两个函数图象的交点问题，再结合图象求参数的取值范围；（3）分离参数法：分离参数后转化为求函数的值域问题．【典型例题】题型一：求函数的零点例1．（2022·全国·高一课时练习）函数的零点为（

）A．10 B．9 C．（10，0） D．（9，0）【答案】A【解析】令，即，所以，因此x＝10，所以函数的零点为10，故选：A.例2．（2022·全国·高一课时练习）若是函数的一个零点，则的另一个零点为（

）A．1 B．2 C．（1，0） D．（2，0）【答案】A【解析】因为是函数的一个零点，所以，解得．设另一个零点为，则，解得，所以的另一个零点为1．故选：A．例3．（2022·广西玉林·高一期末）若关于x的不等式的解集为，则关于函数，下列说法不正确的是（

）A．在上单调递减 B．有2个零点，分别为1和3C．在上单调递增 D．最小值是【答案】C【解析】方程的两个根是1和3，则函数图象的对称轴方程是，是开口向上的抛物线，A正确；C错误；函数的两个零点是1和3，因此B正确；又，，，即，为最小值，D正确．故选：C.变式1．（2022·全国·高一专题练习）若为奇函数，且是的一个零点，则一定是下列哪个函数的零点（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】是奇函数，且是的一个零点，，，把分别代入下面四个选项，对于A，，故A正确；对于B，不一定为0，故B不正确；对于C，，故C不正确；对于D，，故D不正确；故选：A.【方法技巧与总结】求函数的零点就是求相应方程的实数根，一般可以借助求根公式或因式分解等方法，求出方程的根，从而得到函数的零点.题型二：根据零点求函数解析式的参数例4．（2022·全国·高一专题练习）若满足，满足，则________.【答案】2【解析】设，因为满足，满足，所以时函数与的交点横坐标，时函数与的交点横坐标，由于函数与互为反函数，其图象关于直线对称，所以两图象与直线的交点也关于对称，如图所示，又由，解得，所以，可得.故答案为：.例5．（2022·安徽·高一阶段练习）若正实数是方程的根，则___________．【答案】【解析】由题可得：，即，令，则在上单调递增，，∵正实数是方程的根，∴，即．例6．（2022·全国·高一单元测试）已知实数满足，函数有两个零点，则关于函数的零点的下列关系式一定正确的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】方程即为，令，，，，.根据零点存在性定理得出在上函数各有一个零点，所以.故选：D.变式2．（2022·北京市八一中学高一阶段练习）已知，若是函数的一个零点，是函数的一个零点，则的值为（

）A．1 B．2021 C． D．4016【答案】B【解析】因为是函数的一个零点，是函数的一个零点，所以，，即，，设函数与的交点为，则，，设函数与的交点为，则，，因为函数与函数互为反函数，所以其图象关于对称，所以点关于对称，即，所以由得，即.故选：B.变式3．（2022·四川达州·高一期末）已知2是函数（为常数）的零点，且，则的值为（

）A． B． C．4 D．3【答案】C【解析】因为2是函数（为常数）的零点，所以，得，所以，因为，所以，得，故选：C变式4．（2022·湖北·高一阶段练习）若实数，满足，，则（

）A． B．1 C． D．2【答案】D【解析】由可得，所以是方程的解，即是与图象交点的横坐标，由可得，所以是方程的解，即是与图象交点的横坐标，在平面直角坐标系中分别作出，，的图象如图所示，因为与互为反函数，图象关于直线对称，而的图象也关于直线对称，所以两个交点，关于直线对称，所以，可得，故选：D题型三：零点存在性定理的应用例7．（2022·内蒙古·北方重工集团第五中学高一阶段练习（文））函数的零点所在区间是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由在上单调递减，在上单调递增，所以函数在上单调递减，又，所以由零点存在定理可得函数在(3，4)之间存在零点，故选：C例8．（2022·山东·临沂二十四中高一阶段练习）方程的根所在的区间是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】令，显然单调递增，又因为，，由零点存在性定理可知：的零点所在区间为，所以的根所在区间为.故选：B例9．（2022·山西·长治市第四中学校高一期末）函数的零点所在区间为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为与在定义域上单调递增，所以在定义域上单调递增，又，，，即，所以的零点位于内；故选：C变式5．（2022·重庆·巫山县官渡中学高一期末）在下列区间中，函数的一个零点所在的区间为（

）．A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意，函数，可得，所以，结合零点的存在定理，可得函数的一个零点所在的区间为.故选：B.【方法技巧与总结】解答这类判断函数零点的大致区间的选择题，只需用函数零点的存在性定理依次检验所提供的区间，即可得到答案．题型四：根据零点所在区间求参数范围例10．（2022·内蒙古包头·高一期末）已知为幂函数，（，且）的图象过点．，若的零点所在区间为，那么（

）A．3 B．2 C．1 D．0【答案】C【解析】为幂函数，，，的图象过点，，，，故在上单调递增，由于（1），（2），故在区间上存在唯一零点，的零点所在区间为，，那么，故选：C．例11．（2022·海南·高一期末）若函数在区间内存在零点，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】函数在区间内存在零点，且函数在定义域内单调递增，由零点存在性定理知，即，解得所以实数的取值范围是故选：B例12．（2022·全国·高一课时练习）若函数有三个零点0，1，，且(1，2)，则a的取值范围是（

）A．(-2，0) B．(1，2) C．(2，3) D．(-3，-2)【答案】D【解析】因为函数有三个零点0，1，，所以，解得，所以，所以，又(1，2)，所以，解得，故选：D.变式6．（2022·全国·高一课时练习）若函数在区间上有零点，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】函数f(x)定义域是，因函数，在上都是单调递增的，而，当时，在上单调递增，当时，在上单调递减，当时，无零点，于是得当时，函数在上连续且单调，因函数在区间上有零点，则由零点存在定理有：，即，解得，所以实数a的取值范围是.故选：C变式7．（2022·全国·高一专题练习）已知函数的零点在区间上，则（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】由题意，都在为增函数故函数在为增函数，又，，即，则函数的零点在区间上，即2故选：B变式8．（2022·江苏·高一单元测试）若函数在区间中恰好有一个零点，则的值可能是（

）A．-2 B．0 C．1 D．3【答案】A【解析】当时，函数在上单调递增，又，故在区间上恰有一个零点，满足题意，故A正确；当时，函数在上单调递增，又，故在区间上没有零点，故B不正确；当时，函数在上单调递增，又，故在区间上没有零点，故C不正确；当时，函数，所以在上单调递减，在上单调递增，又，故在区间上没有零点，不满足题意，故D正确；故选：A.变式9．（2022·全国·高一单元测试）已知函数，若a，b，c互不相等，且，则abc的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】根据已知画出函数图象：不妨设，（a）（b）（c），，，解得，，．故选：B题型五：根据零点的个数求参数范围例13．（2022·全国·高一专题练习）已知函数若函数有2个零点，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题意，与有2个交点，当时，递增且值域为；当时，在上递减，上递增且值域为；所以的图像如下：由图知：时，有2个零点.故选：A例14．（2022·山西长治·高一期末）若函数有两个零点，则整数a的值共有（

）A．7个 B．8个 C．9个 D．17个【答案】A【解析】因为方程在R上有且仅有一解，所以要使函数在R有两个零点,只需在R上有且仅有一个解,同时该解不能为.因为在R上值域为(0,+∞），因此要满足即有解,只需a>0.又因为在R上单调递增,因此当a>0时,在R上有且仅有一个解.因为且a>0,所以整数a可以为1,2,3,4,5,6,7,8,9,其中当a=3或a=9时,.因此满足条件的a为1,2,4,5,6,7,8共7个.故选：A例15．（2022·浙江·高一阶段练习）已知函数，若存在互不相等的实数，满足，则的取值范围是__________．【答案】【解析】作出函数的图象如图，若存在互不相等的实数，满足，不妨设，如图示，则，由于，令，则，故，则，即，故答案为：变式10．（2022·全国·高一课时练习）已知函数若关于x的方程有三个不同的实数根，则实数k的取值范围是________．【答案】【解析】作出函数的图像和直线，如图所示:由图可知，当时，函数的图像和直线有三个交点，所以．故答案为：或.变式11．（2022·湖北·黄石一中高一期中）已知函数若方程有且仅有三个不等实根，则实数k的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】依据基本初等函数的图形变换，可画出的图像如图，方程有且仅有三个不等实根，即函数与图像有三个交点，易得，故选：B.变式12．（2022·全国·高一课时练习）已知函数有零点，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】，，函数有零点，与有交点，，即，故选：C变式13．（2022·北京大兴·高一期末）若函数恰有个零点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为时至多有一个零点，单调函数至多一个零点，而函数恰有个零点，所以需满足有1个零点，有1个零点，所以，解得，故选：D变式14．（2022·全国·高一单元测试）已知函数有唯一的零点，则实数a的值为（

）A．1 B．－1 C．0 D．－2【答案】B【解析】函数定义域为R，函数，即函数为偶函数，当时，，则在上单调递增，在上单调递减，则当时，，因函数有唯一的零点，于是得，解得，所以实数a的值为.故选：B【方法技巧与总结】体现了函数与方程的互相转化，体现了数形结合思想的应用，它对于解决有更多限制条件的问题提供了一种新的途径．题型六：一次函数零点分布求参数范围例16．（2022·全国·高一专题练习）函数的零点为，则实数的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意得，即．故选：B.例17．（2022·天津南开·高一期末）已知函数f（x）=ax-3（a>0，且a≠1），f（x0）=0，若x0∈（0，1），则实数a的取值范围是（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，+）【答案】D【解析】因为函数f（x）=ax-3（a>0，且a≠1）单调，所以函数在区间（0，1）上至多有一个零点，因为f（x0）=0，且x0∈（0，1），所以，解得，所以实数a的取值范围是（3，+），故选：D例18．（2022·全国·高一专题练习）已知函数在区间上存在零点，则（

）A． B． C．或 D．【答案】C【解析】∵在区间上单调且存在零点，∴，∴或．故选：C变式15．（2022·全国·高一课时练习）若函数在内恰有一解，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】当时不成立取则解得故答案选B变式16．（2022·全国·高一课时练习）已知函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是A．B．C．D．【答案】C【解析】因为函数为一次函数，要使其在区间上存在零点，要保证其两端点分别在轴的两侧，所以即，解得或，故选项.变式17．（2022·全国·高一单元测试）已知且在内存在零点，则实数的取值范围是()A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，故即.而且在内存在零点，故即，解得，故选：A.题型七：二次函数零点分布求参数范围例19．（2022·江苏·高一专题练习）已知函数，若在其定义域内存在实数满足，则称函数为“局部奇函数”，若函数是定义在上的“局部奇函数”，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】根据“局部奇函数”定义知：有解，即方程有解，则有解；设，则（当且仅当时取等号），方程等价于在时有解，在时有解；在上单调递增，，，即实数的取值范围为.故选：B.例20．（2022·广东·化州市第三中学高一期末）若方程的两实根中一个小于，另一个大于，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由可得，令，由已知可得，解得，故选：A.例21．（2022·江苏·南京市金陵中学河西分校高一阶段练习）已知关于x的不等式（4x﹣3）2≤4ax2的解集中恰有三个整数，则实数a的取值范围是（）A．[，3] B．（2，3] C．（2，] D．【答案】D【解析】由题意可知，a≥0，则不等式（4x﹣3）2≤4ax2可变形为（4x﹣3）2﹣4ax2≤0，即，①当a＝4时，不等式为﹣24x+9≤0，解得x≥，不符合题意；②当a≠4时，不等式为关于x的一元二次不等式，若，即a＝0时，不等式的解集为{}，不符合题意；若，即0＜a＜4时，不等式的解集为，又，所以如果恰有三个整数，只能是1，2，3，故，解得；若，即a＞4时，不等式的解集为或，不会恰好有三个整数解，不符合题意．综上所述，实数a的取值范围为．故选：D．变式18．（2022·四川成都·高一开学考试）若关于x的方程有两个不相等的实根、，且满足，则实数t的取值范围是（

）A．（2，5） B．C． D．【答案】B【解析】令，且，所以只需满足且即可，即且，解得，故选:B.变式19．（2022·山东·招远市第二中学高一阶段练习）已知实数，关于x的方程有两个实根，，且，则实数a，b，，的大小关系为（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由，令，，则，所以，为与x轴交点横坐标，且，将向下移动1个单位得到，且与x轴交点横坐标且，所以.故选：C变式20．（2022·广东·深圳实验学校高中部高一阶段练习）若关于的方程在内有解，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题意在内有解，，时，，时，，所以．故选：A．变式21．（2022·全国·高一课时练习）已知函数的零点至少有一个大于0，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】①当时，由，得，符合题意．②当时，由，得，此时，解得，符合题意；由，得，此时设的两根分别为，，且，若，则，，即，，符合题意，若，则，，即，，符合题意．综上，，即实数的取值范围为．故选：B变式22．（2022·江苏省镇江中学高一阶段练习）函数在上存在零点，则实数a的取值范围是（

）A． B．或 C． D．或【答案】B【解析】令，因为，所以函数图象与轴有两个交点，因为函数在上存在零点，且函数图象连续，所以，或，所以，或，解得或故选：B变式23．（2022·吉林·长春吉大附中实验学校高一阶段练习）若函数在区间内恰有一个零点，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】当时，，此时只有一个零点，零点为-1，不符合要求；当时，函数为二次函数，，利用零点存在性定理和二次函数的图象性质得，解得.故选：D.变式24．（2022·湖南省临澧县第一中学高一阶段练习）已知一元二次方程有两个实数根，，且，则m的值为（

）A．-4 B．-5 C．-6 D．-7【答案】A【解析】因为元二次方程有两个实数根，，且，令，则由题意可得，即解得，又，可得.故选：A.题型八：指对幂函数零点分布求参数范围例22．（2022·内蒙古·阿拉善盟第一中学高一期末）已知函数的零点位于区间（）内，则（

）A．1 B．2C． D．4【答案】D【解析】∵在定义域上单调递增，，，∴，，且是唯一的，所以整数，∴.故选：D．例23．（2022·全国·高一课时练习）已知函数的零点位于区间内，则整数（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】因为函数与在上均为增函数，所以函数在上为增函数，因为，，，所以函数的零点位于区间内，故.故选：B.例24．（2022·全国·高一单元测试）已知函数，，的零点分别为，，，以下说法正确的是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题设，，，，所以问题可转化为直线与，，的图象的交点问题，函数图象如下．由图知．故选：A．变式25．（2022·江苏·南京师范大学附属中学江宁分校高一期中）设函数，若关于的函数恰好有六个零点，则实数的取值范围是_____________．【答案】【解析】作出函数的图象如图，令，则当，方程有个不同的实数解，则方程化为，使关于的方程恰好有六个不同的实数解，则方程在内有两个不同的实数根，令所以,解得:，所以实数的取值范围为故答案为变式26．（2022·全国·高一专题练习）设依次表示函数的零点，则的大小关系为______．【答案】【解析】函数的零点，即为方程的解，在坐标系中分别画出函数与的图象，如图所示，结合图象，可得.故答案为：.题型九：函数与方程的综合应用例25．（2022·湖南·周南中学高一阶段练习）已知函数，若方程有4个不同的根，，，，且，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】作函数与的图像如下：方程有4个不同的根，，，，且，可知关于对称，即，且，则，即，则即，则；当得或，则；；故，；则函数，在上为减函数，在上为增函数；故取得最小值为，而当时，函数值最大值为.即函数取值范围是.故选：D.例26．（2022·浙江·温州市第八高级中学高一期中）设函数，若关于x的方程有四个实根，则的最小值为（

）A． B． C．10 D．9【答案】D【解析】作函数的大致图象，如图所示：当时，对称轴为，所以，关于的方程有四个实根，则，由，得或，则，又，所以，所以，所以，且，所以，当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为.故选：D.例27．（2022·安徽·高一阶段练习）已知函数且时，，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】作出图象如图所示设，由图象可知：时有四个交点，可得即，解得；∵关于对称，∴；又，则，∴，∴，∵，∴，即∴的取值范围为.故选：D.变式27．（2022·黑龙江·鸡西实验中学高一竞赛）已知函数，若互不相等，且，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】作出函数的图象，如图，不妨设，则，得，由图可知，，，故.故选：C变式28．（2022·河南·信阳高中高一阶段练习（理））已知函数若关于x的方程有8个不同的实数根，则实数b的取值范围是（）A．

B．

C． D．[﹣5，﹣4]【答案】B【解析】作出函数f（x）的图象如图：设t＝f（x），由图象知当t＞3时，t＝f（x）有3个根；当1＜t≤3时，t＝f（x）有4个根；当t＝1时，t＝f（x）有5个根；当0＜t＜1时，t＝f（x）有6个根；当t＝0时，t＝f（x）有3个根，当t＜0时，t＝f（x）有0个根，方程f2（x）+bf（x）+4＝0等价为t2+bt+4＝0，∵当t＝0时，方程不成立，∴若方程f2（x）+bf（x）+4＝0有8个不同的实数根，则①等价为t2+bt+4＝0有两个根，满足1＜t1≤3，1＜t2≤3，②或者t2+bt+4＝0有两个根，满足t1＝1，t2＞3，由①等价为t2+bt+4＝0有两个根，满足1＜t1≤3，1＜t2≤3，设h（x）＝t2+bt+4，则满足，即，得﹣≤b＜﹣4，由②t2+bt+4＝0有两个根，满足t1＝1，t2＞3，则1+b+4＝0，则b＝﹣5，此时由t2﹣5t+4＝0得t＝1或t＝4，满足t2＞3，综上所述，﹣≤b＜﹣4或b＝﹣5，故选：B．变式29．（2022·广东·深圳科学高中高一期中）已知函数，若方程有六个相异实根，则实数的取值范围（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】的图像如图所示：则要使方程有六个相异实根即使在上有两个相异实根;则解得：.故选：D.变式30．（2022·全国·高一课时练习）已知定义在上的函数的图像连续不断，若存在常数，使得对于任意的实数恒成立，则称是“回旋函数”．若函数是“回旋函数”，且，则在上（

）A．至多有2022个零点 B．至多有1011个零点C．至少有2022个零点 D．至少有1011个零点【答案】D【解析】因为对任意的实数恒成立，令，得．若，则与异号，即，由零点存在定理得在上至少存在一个零点．由于，得到，进而，所以在区间，，…，内均至少有一个零点，所以在上至少有1011个零点．构造函数，满足对任意的实数恒成立，是“回旋函数”，在上恰好有1011个零点.若，则，此时在上至少有1012个零点．综上所述，在上至少有1011个零点，且可能有1011个零点，故C错误，D正确；可能零点各数个数至少1012，大于1011，故B错误；对于A,[解法一]取函数，满足，但在上处处是零点，故A错误.[解法二]构造函数，满足对任意的实数恒成立，是“回旋函数”，在上恰好有2023个零点，故A错误.故选：D．变式31．（2022·全国·高一课时练习）已知函数，若关于的方程有个不同的实数根，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题意得，则或．函数的图象如图所示，因为关于的方程有个不同的实数根，所以或，解得，所以实数的取值范围为．故选：A变式32．（2022·湖北·华中师大一附中高一阶段练习）若对于定义域内的每一个，都有，则称函数为“双倍函数”.已知函数是定义在上的“双2倍函数”，且当时，，若函数恰有4个不同的零点，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题知，对，都有设，则所以又所以则因为函数恰有4个不同的零点，即方程有4个不同的实数根，记，则方程必有两个不同的实数根为，且和都有两个不同实数根，由图可知，当时，有，且，此时和都有两个不同实数根，满足题意.所以，实数的取值范围为.故选：D变式33．（2022·贵州·遵义航天高级中学高一阶段练习）已知函数，若有四个不等实根，且，求的取值范围（

）A．（－∞，－3） B．（－3，+∞）C．[－，－3) D．[－，－3]【答案】C【解析】作出函数和的图象如下图所示：由于二次函数的图象关于直线对称，所以，，由，得，即，所以，，可得，由图象知，当时，直线与函数的图象有四个交点，所以，，即，即，，得，由于函数在区间上为减函数，.故选：C.【同步练习】一、单选题1．（2022·辽宁·金石高级中学高一阶段练习）已知关于的方程有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21.则实数的值是（

）A．17 B．－1 C．17或－1 D．－17或1【答案】B【解析】设方程的两个实根分别为，则.由方程的这两个实数根的平方和比两个根的积大21得：，，解得：或，又方程有两个实数根，，得，.故选：B2．（2022·全国·高一单元测试）在下列区间中，函数的零点所在的区间为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意，因为，，由零点存在定理，故函数的零点所在的区间为故选：C3．（2022·全国·高一课时练习）若函数的零点为2，则函数的零点是（

）A．0， B．0， C．0，2 D．2，【答案】A【解析】因为函数的零点为2，所以，∵，，∴，∴．令，得或．故选：A.4．（2022·全国·高一课时练习）已知函数的零点为，不等式的最小整数解为k，则k＝（

）A．8 B．7 C．5 D．6【答案】A【解析】方法一：∵函数为R上的增函数，，，∴函数的零点满足，∴，∴的最小整数解k＝8.方法二：已知函数的零点即为函数的图象与的图象交点的横坐标，通过图象可看出函数的零点所在的区间为(1,2)，∴，∴的最小整数解k＝8.故选：A.5．（2022·全国·高一专题练习）下列函数中，是偶函数且不存在零点的是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】对于A中，函数的对称轴为轴，故是偶函数，令得，所以的零点为．不符合题意；对于B中，函数的定义域为，不关于原点对称，故不是偶函数，不符合题意；对于C中，函数的定义域为，不关于原点对称，故不是偶函数，不符合题意．对于D中，函数，可得，所以函数为偶函数，令，此时方程无解，所以函数无零点，不符合题意.故选：D.6．（2022·全国·高一专题练习）已知函数，若且，则（

）A． B． C． D．随值变化【答案】B【解析】函数的图象如下图所示：由图可知，函数的图象关于直线对称，又，且，则．故选：B7．（2022·全国·高一单元测试）已知，分别是方程，的根，则（

）A．1 B．2 C． D．【答案】B【解析】由题意可得是函数的图象与直线交点的横坐标，是函数图象与直线交点的横坐标，因为的图象与图象关于直线对称，而直线也关于直线对称，所以线段的中点就是直线与的交点，由，得，即线段的中点为，所以，得，故选：B8．（2022·河南洛阳·高一期末（文））已知函数，，的零点分别为，，，则，，的大小顺序为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】依题意令，即，同理可得，，则函数的零点转化为、、与的交点的横坐标，在平面直角坐标系上画出函数图象如下：由图可得，，，即.故选：D二、多选题9．（2022·全国·高一专题练习）关于函数，下列描述正确的有（

）A．在区间上单调递增 B．的图象关于直线对称C