2024届广东省四校联考高三上学期9月月考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1广东省四校联考2024届高三上学期9月月考数学试题一、单选题1.已知全集，集合或，，则Venn图中阴影部分表示的集合为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗集合或，故，由Venn图可知影部分表示的集合为.故选：A.2.函数的单调递增区间是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因为在R上单调递减，由复合函数单调性可知，只需求出的单调递减区间，其中单调递减区间为，故的单调递增区间是.故选：D.3.在等差数列中，，是方程的两个根，则的前23项的和为（）A. B. C.92 D.184〖答案〗C〖解析〗，是方程的两个根，所以，所以的前23项的和．故选:C．4.设命题甲：，是真命题；命题乙：函数在上单调递减是真命题，那么甲是乙的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗B〖解析〗对于命题甲：因为是开口向上的二次函数，所以对于，是真命题，则与轴无交点，从而，解得；对于命题乙：函数在上单调递减是真命题，由对数函数单调性可知，，解得，因为，所以甲是乙的必要不充分条件.故选：B.5.已知函数（且）的图像如图所示，则以下说法正确的是（）A B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由图象可知在定义域内单调递增，所以，令，即，所以函数的零点为，结合函数图象可知，所以，因此，故A错误；，又因为，所以，因此不一定成立，故B错误；因为，即，且，所以，故C正确；因为，所以，即，故D错误，故选：C.6.已知函数满足对任意实数，都有成立，则a的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因为函数满足对任意实数，都有成立，所以函数在R上递减，所以，解得：故选：D.7.若，，，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由题得，，，所以.a＝0.20.2，b，显然，a的被开方数大于b的被开方数，∴a＞b，故有c＞a＞b.故选：C8.设函数若关于的方程有四个实根，则的最小值为（）A. B.23 C. D.24〖答案〗B〖解析〗做出函数的图像如图所示，由图可知，，由，可得或，所以，又因为，所以，故，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为.

故选：B.二、多选题9.已知数列的首项，且，满足下列结论正确的是（）A.数列等比数列B.数列是等比数列C.D.数列的前n项的和〖答案〗BC〖解析〗由题意数列的首项，且满足，则，则，故数列不是等比数列，A错误；由得，，否则与矛盾，则，则数列是等比数列，B正确；由B分析知数列是等比数列，首项为，公比为，则，所以，C正确；数列的前n项的和为，D错误.故选：BC10.对任意两个实数a，b，定义，若，，下列关于函数的说法正确的是（）A.函数是偶函数 B.方程有三个解C.函数有3个单调区间 D.函数有最大值为4，无最小值〖答案〗AB〖解析〗当，即或时，=；当，即时，.则，画出图像如下.对于A选项，因，且，则函数是偶函数，A正确.对于B选项，由图可得有三个解，B正确.对于C选项，由图可得有4个单调区间，故C错误.对于D选项，由图可得有最大值为2，无最小值，故D错误.故选：AB11.定义在上的偶函数满足，当时，，设函数，则正确的是（）A.函数图像关于直线对称 B.函数的周期为6C. D.和的图像所有交点横坐标之和等于8〖答案〗AD〖解析〗，函数图像关于直线对称，故A正确；又为偶函数，，所以函数的周期为4，故B错误；由周期性和对称性可知，，故C错误；做出与的图像，如下：由图可知，当时，与共有4个交点，与均关于直线对称，所以交点也关于直线对称，则有，故D正确.故选：AD.12.已知函数，，若，则（）A.B.C.D.〖答案〗AC〖解析〗对选项A：因为，所以，故选项A正确；对选项B：因为，所以，故选项B错误；对选项C：由题意，因为，所以在R上单调递增，不妨设，则，所以，即，故选项C正确；对选项D：取，则，故D错误.故选：AC.三、填空题13.的值域为__________〖答案〗〖解析〗设则，，故函数的值域为.故〖答案〗为：14.已知是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为______．〖答案〗〖解析〗①当时，，，即，即，解得；②当时，，不成立；③当时，，，即，即，解得；综上所述：.故〖答案〗为：.15.已知函数的图象经过定点，若为正整数，那么使得不等式在区间上有解的的最大值是__________.〖答案〗〖解析〗由已知可得，则，解得，故，由得，因为，则，可得，令，，则函数在上单调递减，所以，，.因此，正整数的最大值为.故〖答案〗为：.16.数列满足，前8项和为106，则____〖答案〗8〖解析〗，当为奇数时，；当为偶数时，.设数列的前项和为，，解得.故〖答案〗为：.四、解答题17.等比数列中，，．（1）求的通项公式；（2）记为的前项和，若，求．解：（1）设的公比为，由题设得，由已知得，即，解得（舍去），或，故或（2）若，则．..由得，此方程没有正整数解．若，则，.由得，解得，综上，.18.已知a，b为常数，且，，.（1）若方程有唯一实数根，求函数的〖解析〗式（2）当时，不等式恒成立，求实数a的取值范围解：（1）由题意得，故，即有唯一实数根，故，解得，故，故；（2），不等式恒成立，只需的最小值大于或等于，当时，在上单调递增，故，所以，解得，所以实数a的取值范围是.19.已知函数是定义域为的奇函数，且（1）求实数a，b的值．（2）判断在上的单调性，并用定义法证明．（3）解不等式：.解：（1）由题意得，解得，经验证满足题设；（2）在上是增函数，证明如下：在上任取两数且，则，因为，所以，，故，即，所以在上为增函数；（3）为奇函数，定义域为，由得，∵在上为增函数，∴，解得.所以原不等式的解集为20.民族要复兴，乡村要振兴，合作社助力乡村产业振兴，农民专业合作社已成为新型农业经营主体和现代农业建设的中坚力量，为实施乡村振兴战略作出了巨大的贡献.某农民专业合作社为某品牌服装进行代加工，已知代加工该品牌服装每年需投入固定成本30万元，每代加工万件该品牌服装，需另投入万元，且根据市场行情，该农民专业合作社为这一品牌服装每代加工一件服装，可获得12元的代加工费.（1）求该农民专业合作社为这一品牌服装代加工费的年利润y（单位：万元）关于年代加工量x（单位：万件）的函数〖解析〗式.（2）当年代加工量为多少万件时，该农民专业合作社为这一品牌服装代加工费的年利润最大?并求出年利润的最大值.解：（1）当时，；当时，.故（2）当时，函数为开口向下的二次函数，且对称轴为直线所以在上单调递增，故（万元）；当时，，当且仅当，即时，等号成立.即当时，（万元）.因为，所以当年代加工量为15万件时，该农民专业合作社为这一品牌服装代加工费的年利润最大，最大值为25万元.21.在人教版高中数学教材选择性必修三中，我们探究过“杨辉三角”（如下图所示）所蕴含的二项式系数性质，也了解到在我国古代，杨辉三角是解决很多数学问题的有力工具.（1）把“杨辉三角”中第三斜列各数取出，并按原来的顺序排列可得一数列：1，3，6，10，15，，请写出与（，）的递推关系，并求出数列的通项公式；（2）设，证明：.（1）解：由“杨辉三角”的定义可知：，当时，，因为，故，上式对也成立，所以，.（2）证明：由题意可得，所以，设，所以，①所以，②.由①②可得，所以，即，.所以，又因为，故.22已知函数，.（1）求函数的最小值；（2）若在上恒成立，求实数的值；（3）证明：，e是自然对数的底数.（1）解：的定义域为，，当时，，当时，故在上单调递减，在上单调递增.所以.（2）解：，当时，，在上单调递减，此时存在，使得，与题设矛盾.当时，时，，时，，故在上单调递增，在上单调递减，所以，要使在恒成立，则，即又由（1）知，即，（当且仅当时，等号成立）.令有，故且所以.（3）证明：由（2）知得（当且仅当时等号成立），令，则（当且仅当时等号成立），令，所以，即（当且仅当时等号成立），令，则从而有所以广东省四校联考2024届高三上学期9月月考数学试题一、单选题1.已知全集，集合或，，则Venn图中阴影部分表示的集合为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗集合或，故，由Venn图可知影部分表示的集合为.故选：A.2.函数的单调递增区间是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因为在R上单调递减，由复合函数单调性可知，只需求出的单调递减区间，其中单调递减区间为，故的单调递增区间是.故选：D.3.在等差数列中，，是方程的两个根，则的前23项的和为（）A. B. C.92 D.184〖答案〗C〖解析〗，是方程的两个根，所以，所以的前23项的和．故选:C．4.设命题甲：，是真命题；命题乙：函数在上单调递减是真命题，那么甲是乙的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗B〖解析〗对于命题甲：因为是开口向上的二次函数，所以对于，是真命题，则与轴无交点，从而，解得；对于命题乙：函数在上单调递减是真命题，由对数函数单调性可知，，解得，因为，所以甲是乙的必要不充分条件.故选：B.5.已知函数（且）的图像如图所示，则以下说法正确的是（）A B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由图象可知在定义域内单调递增，所以，令，即，所以函数的零点为，结合函数图象可知，所以，因此，故A错误；，又因为，所以，因此不一定成立，故B错误；因为，即，且，所以，故C正确；因为，所以，即，故D错误，故选：C.6.已知函数满足对任意实数，都有成立，则a的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因为函数满足对任意实数，都有成立，所以函数在R上递减，所以，解得：故选：D.7.若，，，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由题得，，，所以.a＝0.20.2，b，显然，a的被开方数大于b的被开方数，∴a＞b，故有c＞a＞b.故选：C8.设函数若关于的方程有四个实根，则的最小值为（）A. B.23 C. D.24〖答案〗B〖解析〗做出函数的图像如图所示，由图可知，，由，可得或，所以，又因为，所以，故，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为.

故选：B.二、多选题9.已知数列的首项，且，满足下列结论正确的是（）A.数列等比数列B.数列是等比数列C.D.数列的前n项的和〖答案〗BC〖解析〗由题意数列的首项，且满足，则，则，故数列不是等比数列，A错误；由得，，否则与矛盾，则，则数列是等比数列，B正确；由B分析知数列是等比数列，首项为，公比为，则，所以，C正确；数列的前n项的和为，D错误.故选：BC10.对任意两个实数a，b，定义，若，，下列关于函数的说法正确的是（）A.函数是偶函数 B.方程有三个解C.函数有3个单调区间 D.函数有最大值为4，无最小值〖答案〗AB〖解析〗当，即或时，=；当，即时，.则，画出图像如下.对于A选项，因，且，则函数是偶函数，A正确.对于B选项，由图可得有三个解，B正确.对于C选项，由图可得有4个单调区间，故C错误.对于D选项，由图可得有最大值为2，无最小值，故D错误.故选：AB11.定义在上的偶函数满足，当时，，设函数，则正确的是（）A.函数图像关于直线对称 B.函数的周期为6C. D.和的图像所有交点横坐标之和等于8〖答案〗AD〖解析〗，函数图像关于直线对称，故A正确；又为偶函数，，所以函数的周期为4，故B错误；由周期性和对称性可知，，故C错误；做出与的图像，如下：由图可知，当时，与共有4个交点，与均关于直线对称，所以交点也关于直线对称，则有，故D正确.故选：AD.12.已知函数，，若，则（）A.B.C.D.〖答案〗AC〖解析〗对选项A：因为，所以，故选项A正确；对选项B：因为，所以，故选项B错误；对选项C：由题意，因为，所以在R上单调递增，不妨设，则，所以，即，故选项C正确；对选项D：取，则，故D错误.故选：AC.三、填空题13.的值域为__________〖答案〗〖解析〗设则，，故函数的值域为.故〖答案〗为：14.已知是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为______．〖答案〗〖解析〗①当时，，，即，即，解得；②当时，，不成立；③当时，，，即，即，解得；综上所述：.故〖答案〗为：.15.已知函数的图象经过定点，若为正整数，那么使得不等式在区间上有解的的最大值是__________.〖答案〗〖解析〗由已知可得，则，解得，故，由得，因为，则，可得，令，，则函数在上单调递减，所以，，.因此，正整数的最大值为.故〖答案〗为：.16.数列满足，前8项和为106，则____〖答案〗8〖解析〗，当为奇数时，；当为偶数时，.设数列的前项和为，，解得.故〖答案〗为：.四、解答题17.等比数列中，，．（1）求的通项公式；（2）记为的前项和，若，求．解：（1）设的公比为，由题设得，由已知得，即，解得（舍去），或，故或（2）若，则．..由得，此方程没有正整数解．若，则，.由得，解得，综上，.18.已知a，b为常数，且，，.（1）若方程有唯一实数根，求函数的〖解析〗式（2）当时，不等式恒成立，求实数a的取值范围解：（1）由题意得，故，即有唯一实数根，故，解得，故，故；（2），不等式恒成立，只需的最小值大于或等于，当时，在上单调递增，故，所以，解得，所以实数a的取值范围是.19.已知函数是定义域为的奇函数，且（1）求实数a，b的值．（2）判断在上的单调性，并用定义法证明．（3）解不等式：.解：（1）由题意得，解得，经验证满足题设；（2）在上是增函数，证明如下：在上任取两数且，则，因为，所以，，故，即，所以在上为增函数；（3）为奇函数，定义域为，由得，∵在上为增函数，∴，解得.所以原不等式的解集为20.民族要复兴，乡村要振兴，合作社助力乡村产业振兴，农民专业合作社已成为新型农业经营主体和现代农业建设的中坚力量，为实施乡村振兴战略作出了巨大的贡献.某农民专业合作社为某品牌服装进行代加工，已知代加工该品牌服装每年需投入固定成本30万元，每代加工万件该品牌服装，需另投入万元，且根据市场行情，该农民专业合作社为这一品牌服装每代加工一件服装，可获得12元的代加工费.（1）求该农民专业合作社为这一品牌服装代加工费的年利润y（单位：万元）关于年代加工量x（单位：万件）的函数〖解析〗式.（2）当年代加工量为多少万件时，该农民专业合作社为这一品牌服装代加工费的年利