2024届重庆康德普通高等学校招生全国统一考试第一次联考数学试题及答案

2024年普通高等学校招生全国统一考试高三第一次联合诊断检测数学测试卷共4页，满分150分。考试时间120分钟。851．已知集合A{15}，A．2}B．{23}2．已知复数zabi，若ziz，则A．ab0B．ab0B{x|2x2x120}，则ABC．{34}D．{45}D．ab1C．ab03．b可以分别大致反映这组数据的A．平均数，中位数C．中位数，平均数B．平均数，众数D．中位数，众数ab42sin()2，则4．若1A．2B．C．1D．225．在经济学中，常用回归模型来分析还款信度评价问题．某银行统计得到如下模型：e0.970.127xP(x)xP(x)是按时还款概率的预测值．如果某人年1e0.127x收入是万元，那么他按时还款概率的预测值大约为（参考数据：ln1.35）A．B．0.46C．0.57D．6．已知f(x)x)ln(abx)是奇函数，则f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为A．y2xB．yxC．y0D．y2x7．将一副三角板拼接成平面四边形ABCD1，将其沿BD折起，使得面面BCDD三棱锥ABCD的顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为7A．2B．C345860C．D．33AB8．已知函数f(x)满足f(xy)f(x)f(y)2，f4且当x0时，f(x)2，若存在x2]，f(ax4x)f(2x)1，则a的取值范围是2使得第一次联合诊断检测（数学）第1页共9页115B．[，]2852C．[，]8312D．[，]23A．(0，]2二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．下列函数中，其图象关于点(0)对称的是6A．ysin(2x)B．ysin(2x)33C．ycos(2x)D．ytan(2x)66E：x124y2a2(a0)和E：y24x24a2(a0)，则10．已知椭圆A．E与E的长轴长相等B．E的长轴长与E的短轴长相等1212C．E与E的离心率相等D．E与E有4个公共点1212ABCABC，，F分别是棱AB，，CAABCABC的体积为111111V，则A．棱锥1DEF的体积为11VB．棱锥A的体积为V165C．多面体ABABEF的体积为V112D．多面体ABC的体积为V111312．若不相等的两个正数b满足a2b2abab，则B．ab43A．ab1112C．D．3三、填空题：本题共4小题，每小题5201352的黑球和编号为3在取出的球颜色不同的条件下，球的编号之和为奇数的概率为14．若向量a，b满足|a1，|b2，若b与a的夹角为锐角，则a(ab)的取值范围是S2aS252，则．．15．记数列a的前n项和为，若S，且．nnnn6第一次联合诊断检测（数学）第2页共9页16．已知FF分别是双曲线C：x2y2a(a0)的左、右焦点，过2作一直线交C于M，N两点，若212F120，且△MNF的周长为1，则C的焦距为．211四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17已知数列a}是等差数列，且a1，aa2．n58（1）求an}的通项公式；（2）[x]表示不超过x的最大整数，如1，[[2．若n[a]，T是数列b}的nnn前n项和，求11]．182024年1月18民俗文化的了解情况，某机构抽样调查了某市的部分人群．（1）在100名受调人群中，得到如下数据：了解程度年龄不了解了解30岁以下50岁以上162444根据小概率值的2独立性检验，分析受调群体中对“腊八节”民俗的了解程度是否存在年龄差异；（2）调查问卷共设置个题目，选择题、填空题各5个．受调者只需回答8个题：其中选择题必须全部回答，填空题随机抽取3个进行问答．某位受调者选择题每题答对的概率为0.8，知道其中3个填空题的答案，但不知道另外2个的答案．求该受调者答对题目数量的期望．n(bc)2参考公式：①2=．(ab)(cd)(ac)(bd)独立性检验常用小概率值和相应临界值：0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828第一次联合诊断检测（数学）第3页共9页②随机变量XY的期望满足：E(XY)E(X)EY)19a2sinBsinCcosA在△ABC中，内角C的对边分别为c，已知△ABC的面积S．（1）求A；5（2）若BcosC，a1，求2bc2．520PABCDABCD2BC2BAD45PAPD．P（1）证明：PB；（2）若PA3，PC13，求二面角APBC的余弦值．DCAB21已知(22)，，C是抛物线E：x2py上的三点，且直线AB与直线AC的斜率之和为0．2（1）求直线BC的斜率；（2）若直线AB，AC均与圆M：x2(y2r(0r3)相切，且直线BC被圆M截得的线段22长为，求r的值．522已知函数f(x)exa)xaxe为自然对数的底数）（1）当a1时，证明f(x)存在唯一的极小值点x，且f(x)2；00（2）若函数f(x)存在两个零点，记较小的零点为x，s是关于x的方程x)xax2的根，11证明：s1．第一次联合诊断检测（数学）第4页共9页2024年普通高等学校招生全国统一考试高三第一次联合诊断检测数学参考答案一、单选题1～8BAADCACD8题解析：易证f(x)是增函数，f(ax24x)f(2x)f[(ax24x)2x]2f(ax2x)21，所以2f(ax2x)1xy0f(0)2x1y1f(0x1y1，233得f(2)2；令x2y1，得f(4；令xy，得f()1，所以2234x31122x．原问题即2a在2]有解．令t，则2att在t[时有22x2x2412解，从而2a，]，a[，]．323二、多选题9．10BC12ABDa2b2abab，得(ab)(ab)ab．因为b是正数，所以ab0，从而212题解析：由(ab)2(ab)2(ab)0，解得ab1．因为ab，所以ab，4(ab)244从而(ab)2(ab)，解得ab．因为1ab，43341所以(ab)2(ab)(0，)，从而．故选ABD．92三、填空题1213．14．(1．4．26c16题解析：设双曲线的焦距为2c，点M(xy)，N(xy)，则||||(xx)2a11222212a2(xx)2ay3(xc)x2y2a得2．由题意，直线的方程为，代入122x2627a0，所以xx32a，从而|4a．△MNF的周长为212112|||NF||4a2|12a，由题意，a．所以焦距2c22a．116第一次联合诊断检测（数学）第5页共9页四、解答题1712．）设a的公差为d，由题意，得a4d1，2116dn1217nda3(n，故n所以13，．……5分22（2）由题意，[a]3，[a][a]2[a][a]1，[a][a]2，……，．1011123451Tbbbbbbb1122(222)．3221112345102所以T]．……分18）零假设H0：对“腊八节”民俗的了解程度与年龄相互独立．441624)2100由题意，得22.706．40603268根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，即认为对“腊八节”民俗的了解程度没有年龄差异．（2）设选择题部分和填空题部分答对题目分别为X和Y．因为X服从B，所以54．……5分由题意，Y的可能取值为1，2，3．CC23C2C1C353C31PY32，PY2)2，PY3．C35105C3105331所以231.8．10510该受调者答对题目数量的期望为E(XY)4个．……分19）由题意，Sa2sinBsinCcosA12absinC，1因为a0，sinC0，所以asinBbcosA．212由正弦定理，得sinAsinBsinBA，112因为sinB0，所以sinAA，故A．……5分25255255（2）由（）得sinA，cosA，所以cos(BC)cosA，555由cos(BC)BCBC，及BcosC，得sinBsinC．55第一次联合诊断检测（数学）第6页共9页a2，所以bc5．由正弦定理，得BC2A由余弦定理，得b2c2a2bccosA5．……分20P解：取AD中点O，连接，．（1）△PAD中，因为PAPD，所以AD．1D△AOB中，因为2，1，BAD45，C2O由余弦定理，得1，所以OB22AB2，AD．AB因为，是平面BOP上的两条相交直线，所以AD平面BOP．因为PB平面BOP，所以ADPB．因为ADBC，所以PB．……5分（2）由（）知，PB，所以PB22BC2，则PB3，又22，PO229PB2，所以PO，则POABCD，如图，建立空间直角坐标系Oxyz，zP则0)，B(00)，C(0)，D(0)，P(022)．则AB(，PB(022)，BC(0)DC设平面PAB的法向量为m(z)，则OABxy，ABm，xy取m(22．即PBm0.y22z0.设平面PBC的法向量为n(z)，则BCm，2x，取n(02．即PBm0.y22z0.mn931717cosmn．|m||n|173所以，二面角APBC的余弦值为3．……分21第一次联合诊断检测（数学）第7页共9页解：因为点(22)在抛物线E：xE的方程为：x2y．22py上，所以p1．2x212x222（1）设B(1，)，C(2，)，x2，x2且xx．1212x212x22222由题意，0，化简得xx4．122212x212x2221x2所以，直线BC的斜率为2．……5分122（2）由（BC的方程为y2xm，代入x2y，2消去y得：x24x2m0．则16m0，xx4，xx2m．1212因为直线BC被圆M截得的线段长为2，所以(2m)2r(305)2，255化简得：(m25r26①．由0r3，则1m5122直线AB的方程为y2(x2)，即(xx2y2x0．11|421|4r2因为直线AB与圆M相切，所以r，化简得(12．4r2(12)424r2同理，(22)2．4r24r24r2xx是方程x24x40的两根，所以xx4，122124r24r4r2故2m4②．4r2由①②解得m0（m26r2．22）当a1时，()e……分fxxx，x0．11x因为f(x)e在(0，)上单调递增，且f()0，f0，x2第一次联合诊断检测（数学）第8页共9页1所以，存在x(，使得当x(0x)时，f(x)0；当x(x)时，f(x)0．00021且f(x)0，即e0．00故f(x)在(0x)上单调递减，在(x)上单调递增，f(x)存在唯一的极小值点x．0001(02因为f(x)2e0xx22，所以f(x)2．0……5分000000（2）令exaxax0，得exxaxlnax，设g(x)e)xx，因为()ex10，所以g(x)在定义域上单调递增，gx而axlnaxeax，则有g(x)g(ln(ax))，由题意，1为x的两个根中较小的根，即exx0，．111又由题意，有1s)s2，从而e1)ss2，则有s)s10设(s)s)s1，s1，当s0时，s)0，1s1，所以(s)0符合题意，11s当1s0时，(s)sin