天津市和平区2023-2024学年七年级下学期期末数学试题（解析版）

天津市和平区2023-2024学年七年级下学期期末数学试卷温馨提示：1、本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）、第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷为第1页至第3页，第Ⅱ卷为第4页至第8页，试卷满分100分，考试时间100分钟．2、答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考点校、考场号、座位号填写在“答题卡”上．第Ⅰ卷注意事项：每题选出答案后，用2B铅笔把“答题卡”上对应题目的答案标号的信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号的信息点．一、选择题（本大题共12小题，每小题2分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.的相反数是（）A. B.2 C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查了相反数的定义，掌握相反数的定义是解题关键．根据相反数的定义求解即可，只有符号不同的两个数互为相反数．解：的相反数是：2．故选：B．2.下列实数中，比3大的有理数是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据无理数的概念判断，，是无理数，再比较大小即可．解：∵，而，是有理数，，是无理数，∴比3大的有理数是；故选：D．【点睛】本题考查的是有理数与无理数的识别，实数的大小比较，熟记无理数的概念是解本题的关键．3.下列调查中，调查方式选择合理的是（）A.为了解市民对“天津时调”的喜爱程度，小强在某校随机采访了8名七年级学生B.为了解天津市青少年儿童的睡眠时间，采用普查的方式C.为了解神舟十八号飞船的设备零件的质量情况，采用抽样调查的方式D.了解海河水质，采用抽样调查的方式【答案】D【解析】【分析】此题考查了普查和抽样调查，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大时，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．根据实际情况进行判断即可．解：A．为了解市民对“天津时调”的喜爱程度，小强在某校随机采访了8名七年级学生,样本容量太小，不具有代表性，故选项不符合题意；B．为了解天津市青少年儿童的睡眠时间，应该采用抽样调查的方式，故选项错误，不符合题意；C．为了解神舟十八号飞船的设备零件的质量情况，应该采用普查的方式，故选项错误，不符合题意；D．了解海河水质，采用抽样调查的方式，故选项正确，符合题意．故选：D．4.下列式子正确的是（）A.±=7 B. C.=±5 D.=﹣3【答案】B【解析】试题分析：根据平方根的意义，可知=±7，故A不正确；根据立方根的意义，可知，故B正确；根据算术平方根的意义，可知=5，故C不正确；根据平方根的性质，可知=3，故不正确.故选B.点睛：此题主要考查了平方根的意义和性质，解题的关键是抓住平方根的意义，算术平方根，立方根的性质的应用，比较简单，但是容易出错，是中考常考题.5.若点在x轴上，则点所在象限是（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】C【解析】【分析】本题考查判断点所在象限，根据x轴上的点的纵坐标为0，求出的值，进而求出点坐标，进行判断即可．解：由题意，得：，∴，∴，∴点在第三象限，故选：C．6.如图，现有一把直尺和一块自制三角形纸片，其中点A对应直尺的刻度为7，将该三角形纸片沿着直尺边缘平移，使得三角形移动到三角形的位置，点对应直尺的刻度为1，连接则四边形的面积是（）A.12 B.18 C.24 D.36【答案】C【解析】【分析】本题考查图形的平移，根据平移的性质，得到，，得到四边形是长方形，进而利用面积公式进行求解即可．解：∵将该三角尺沿着直尺边缘平移，使得移动到，∴，，，∴，∴四边形是长方形，∵点A对应直尺的刻度为7，点对应直尺的刻度为1，∴，∵，∴四边形面积是；故选C．7.下列命题是真命题的是（）A.两直线相交，如果对顶角互补，那么这两条直线互相垂直B.直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离C.两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补D.在同一平面内，有且只有一条直线与已知直线垂直【答案】A【解析】【分析】根据对顶角与垂直的含义可判断A，根据点到直线的距离的含义可判断B，根据平行线的性质可判断C，根据垂线的性质可判断D，从而可得答案．解：A．两直线相交，如果对顶角互补，那么这两条直线互相垂直，真命题，符合题意；B．直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离．原来命题为假命题，不符合题意；C．两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补，原来命题为假命题，不符合题意；D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原来命题为假命题，不符合题意；故选：A．【点睛】本题考查的是命题真假的判断，对顶角的含义，垂直的含义，点到直线的距离的含义，平行线的性质，掌握基础概念与性质是解本题的关键．8.有理数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，下列不等式一定成立的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】此题主要考查不等式的基本性质，首先根据题意，判定的关系，再逐一根据不等式的性质判定各选项的不等式即可．解：由题意，得A选项，∵，∴；不符合题意；B选项，∵，∴，符合题意；C选项，∵，，∴，不符合题意；D选项，∵，∴；不符合题意；故选：B．9.一种苹果的进价是每千克元，销售中估计有的苹果正常损耗，为了避免亏本，商家所定售价至少为（）A.元 B.元 C.2元 D.元【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用，准确计算是解题的关键．设商家把售价应该定为每千克x元，因为销售中估计有的苹果正常损耗，故每千克苹果损耗后的价格为，根据题意列出不等式即可．解：设商家把售价应该定为每千克x元，总千克数为根据题意得：，解得，，∴为了避免亏本，商家把售价应该至少定为每千克2元．故选：C．10.《九章算术》中的算筹图是竖排的，为看图方便，我们把它改为横排，如图中的（1）（2），图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x，y的系数与相应的常数项，把图（1）所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组表示出来，就是，在图（2）所示的算筹图中有一个图形被墨水覆盖了，如果图（2）所表示的方程组中x的值为5，则被墨水所覆盖的图形是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，将代入，可求出值，进而可得出图2所表示方程组的解，设被墨水所覆盖的图形表示的数为，代入方程组的解，可求出的值，再对照题意，即可得出被墨水所覆盖的图形，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．解：将代入（2）中第一个方程得：，解得：，图（2）所表示方程组的解为．设被墨水所覆盖的图形表示的数为，将代入得：，解得：，被墨水所覆盖的图形为故选：D．11.如图，同学们将平行于凸透镜主光轴（图中虚线表示主光轴）的红光和紫光射入同一个凸透镜，折射光线交于点O，与主光轴分别交于点，由此发现凸透镜的焦点略有偏差，若，则的度数为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查利用平行线的性质求角的度数，先根据两直线平行、同旁内角互补，求出，再根据邻补角和为180度计算的度数．解：如图，由题意知，，，，，，，，故选：D12.已知关于x，y的二元一次方程组（a是常数），若不论a取什么实数，代数式（k是常数）的值始终不变，则k的值为（）A. B. C.1 D.2【答案】A【解析】【分析】本题主要考查二元一次方程组应用，将方程组中的两个方程变形后联立消掉a即可得出结论，将方程组中的两个方程联立消掉是解题的关键．解：关于x，y的二元一次方程组，可得，即，故k的值为，故选：A．第Ⅱ卷注意事项：1、用黑色字迹的签字笔将答案写在“答题卡”上（作图可用2B铅笔）；2、本卷共13题，共76分．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）13.若，则整数a的值可以是__________．（写出一个值即可）【答案】2（答案不唯一）【解析】【分析】本题考查无理数的估算，根据，得到，进而求出整数a的值即可．解：∵，∴，∴整数a的值可以是：2；故答案为：2（答案不唯一）．14.为了解2024届本科生就业状况，今年3月，某网站对2024届本科生的签约状况进行了网络调查．截止4月底，参与网络调查的8500人中，只有3000人已与用人单位签约，在这项网络调查中，样本容量是______．【答案】8500【解析】【分析】此题考查样本容量的概念，样本容量指样本中个体的数量，没有单位名称．样本容量指样本中个体的个数，通过题意可知参与网调的有8500人，因此样本容量为8500．解：参与网络调查的有8500人，因此样本容量为8500．

故答案为：8500．15.如图，直线相交于点O，平分，，若，则_____度．【答案】【解析】【分析】此题考查了角平分线的定义、垂直的定义等知识，先求出，由垂直定义得到，则，由平分线定义得到，即可求出的度数．解：∵，，∴∵，∴，∴∵平分，∴∴，故答案为：16.在等式中，当时，；当时，；当时，．则______，______，_______．【答案】①.6②.③.【解析】【分析】此题考查了解三元一次方程组，分别代入每组数值得到三元一次方程组，解方程组即可得到答案．解：根据题意得到，解得故答案为：17.已知关于x的不等式组．（1）若，则该不等式组的最大整数解为______________；（2）若该不等式组的所有整数解的和为，则m的取值范围是__________．【答案】①.②.【解析】【分析】本题考查一元一次不等式组的整数解问题，（1）根据，再确定最大整数解即可．（2）根据题意不等式组的解集为，且有3个负整数解，再进一步即可求解．解：（1）当时，不等式组为，∴，∵不等式组的最大整数解为，故答案为：；（2）∵，∴，∵该不等式组的所有整数解的和为，而；∴，故答案为：；18.如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A、B、C、D、E均在格点上，，与相交于点F．（1）请用无刻度的直尺，过点C画一条与平行的线段（点P在格点上），不写画法；（2）请用无刻度的直尺，在线段上找一点M，使，并简要说明点M的位置是如何找到的（不要求证明）_____________________．【答案】（1）画图见解析；（2）画图见解析；把四边形向下平移3个单位，再向右平移1个单位，得到四边形，的对应点为，则与的交点为【解析】【分析】（1）取格点，连接，则可由沿到的方向平移得到，则；（2）如图，把四边形向下平移3个单位，再向右平移1个单位，得到四边形，的对应点为，与的交点为；从而可得答案；解：（1）如图，线段即为所求；（2）如图，即为所求；把四边形向下平移3个单位，再向右平移1个单位，得到四边形，的对应点为，与的交点为；由平移的性质可得：，∵，，∴，，∴，，∴．【点睛】本题考查的网格作图，同时考查了平移的性质，勾股定理以及勾股定理的逆定理的应用，平行线的性质，等腰三角形的性质，熟练的画图是解本题的关键．三、解答题（本大题共7小题，共58分，解答应写出演算步骤、解题过程或证明过程）19.解方程组．【答案】【解析】【分析】本题考查的是二元一次方程组的解法，先把方程组整理为，再直接利用加减消元法解方程组即可．解：，整理得：，得：，解得：，把代入①得：，解得：，∴方程组的解为：．20.解不等式组请结合题意填空，完成本题的解答．（1）解不等式①，得______；（2）解不等式②，得______；（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；（4）原不等式组的解集为______．【答案】（1）（2）（3）画图见解析（4）【解析】【分析】本题考查的是在数轴上表示不等式的解集，一元一次不等式组的解法，掌握解法步骤是解本题的关键；（1）先去括号，再移项，合并同类项，最后把未知数的系数化为1即可；（2）移项，合并同类项，最后把未知数的系数化为1即可；（3）在数轴上利用大于向右，小于向左，结合实心点，表示不等式的解集即可；（4）利用数轴确定不等式的解集的公共部分即可．【小问1】解：解不等式①，得，∴，∴，【小问2】解不等式②，得，∴；【小问3】在数轴上表示两个不等式的解集如下：【小问4】原不等式组的解集为．21.2022年3月23日下午，“天宫课堂”第二课在中国空间站正式开讲并直播，神舟十三号乘组航天员翟志刚、王亚平、叶光富进行授课．这是中国空间站第二次太空授课，也是中国航天员第三次进行太空授课．某校为了培养学生对航天知识的学习兴趣，组织全校1000名学生进行了“航天知识竞赛”．教务处从中随机抽取了n名学生的竞赛成绩（满分100分，每名学生的成绩记为x分）分成A、B、C、D四组，并得到如下不完整的频数分布表、频数分布直方图和扇形统计图．根据图中信息，解答下列问题：分组频数A：aB：18C：24D：b（1）n的值为，a的值为，b的值为；（2）请补全频数分布直方图并计算扇形统计图中表示“C”的扇形圆心角的度数为；（3）若规定学生竞赛成绩为优秀．请估算全校竞赛成绩达到优秀的学生人数．【答案】（1）60，6，12；（2）图见解析，圆心角为：；（3）600．【解析】【分析】本题考查频数分布直方图．、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确统计图的特点和中位数的含义，利用数形结合的思想解答．（1）由B的人数除以所占百分比得出m的值，即可求出a、b的值；（2）由（1）的结果补全频数分布直方图，再由360乘以“C”所占的比例即可；（3）由全校总人数乘以达到优秀的学生人数所占的比例即可．【小问1】解：，，故答案为：．小问2】解：补全频数分布直方图如图所示：扇形统计图中表示“C”的扇形圆心角的度数为：．【小问3】解：(人)，∴估计全校竞赛成绩达到优秀的学生人数为．22.如图，（1）已知，如图1，点C、D在直线上，．求证：．（2）如图2，，在（1）的条件下，的角平分线交于点G，过点F作交的延长线于点M．①若，求的度数；②若，则（用α表示）．【答案】（1）证明见解析（2）①；②【解析】【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义．（1）根据平角的性质进行等量代换，得到，利用同位角相等两直线平行即可证明；（2）①根据两直线平行，同旁内角互补得到，进而得到，再根据角平分线的定义，得到，最后利用平行线的性质，即可求出的度数．②类比①的方法可得答案．【小问1】证明：∵，∴∴；【小问2】解：①∵∴∵∴∵∴∴∵是的角平分线，∴∵∴∴．②∵∴∵∴∵∴∴∵是的角平分线，∴∵∴∴．23.某游泳馆夏季推出两种游泳付费方式，常规方式：不购买会员证，每次游泳付费n元．针对学生推出购买会员证的优惠方式：先购买会员证，每张会员证m元，只限本人当年使用，凭证游泳每次再付费在n元的基础上打七折．小明购买了会员证，他游泳10次时，共花了190元．小明的三个好朋友也购买了会员证，三个人共游泳15次时，共花了465元．（1）求m、n的值；（2）这个暑假，小明计划游泳不少于25次，他选择哪种付费方式更合算？写出计算过程；（3）小强班里有一部分同学以购买会员证的方式来这家游泳馆游泳，一周后，小强统计，这些同学购买会员证和凭证游泳共花了2400元，请你算一算：这些同学可能有多少名？【答案】（1）m、n的值分别为：，；（2）当时，选择常规方式；当时，两种方式一样；当时，选择购买会员证的优惠方式；（3）这些同学可能有人或人．【解析】【分析】（1）根据小明购买了会员证，他游泳10次时，共花了190元．小明的三个好朋友也购买了会员证，三个人共游泳15次时，共花了465元，再建立方程组解题即可；（2）设游泳次，可得常规方式付费为：元；购买会员证的优惠方式：，再建立方程或不等式解题即可；（3）设这些同学可能有人，共游泳次，可得，再结合方程的正整数解可得答案．【小问1】解：由题意可得：，解得：，∴m、n的值分别为：，；【小问2】解：常规方式：小明计划游泳不少于25次，设游泳次，付费为：元；购买会员证的优惠方式：当，解得：．当，解得：，当，解得：，综上：当时，选择常规方式；当时，两种方式一样；当时，选择购买会员证的优惠方式；【小问3】解：设这些同学可能有人，共游泳次，∴，∴，∵为正整数，∴或；∴这些同学可能有人或人．【点睛】本题考查的是一元一次方程与二元一次方程组的应用，二元一次方程的正整数解的应用，一元一次不等式的应用，理解题意是关键．24.已知关于x，y的方程组．（1）当x、y互为相反数时，；（2）已知，求a的取值范围；（3）在（2）的条件下，若a为整数，求使x、y为自然数的a的值．【答案】（1）（2）（3）或【解析】【分析】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组，熟练掌握解二元一次方程组的方法和步骤及