高中数学必修第一册课后限时训练45　单调性与最值

高中数学必修第一册课后限时训练45单调性与最值

题组1

1.下列不等式成立的是（）

A.sin（—J>sind）B.sin3>sin2

C.sin^7c>sin^—|ir^D.sin2>cos1

角星析：**sin2=COSQ-2）=cos（2—/）,

且0<2—Zcos^2—^>cos1,

即sin2>cos1.

答案：D

2.下列函数中，周期为兀，且在区间「，①上单调递减的是（）

A.产sin（2x+/）B.产cos（2x+/）

C.y=sin（%+]）D.y=cos（无+]）

解析：C,D两项中函数的周期都为2兀，不符合题意，排除选项C,D；B项中产cos=—sin2%,

该函数在区间[：,]上单调递增，不符合题意；A项中y=sin(2%+])=cos2x,该函数符合题意，选A.

答案：A

3.当一衿xW1时，函数段)=2sin(%+§有()

A.最大值1,最小值一1B.最大值1,最小值号

C.最大值2,最小值一2D.最大值2,最小值一1

解析：因为一所以一衿"十三工■所以一；<sin(%+,)W1.所以—1〈於)<2.

答案：D

4.函数产如七4的单调递增区间是()

A.[4E,(4攵+1)兀]/£Z)B.[4攵，44+2](A£Z)

C.[2E,(22+2)TI](A£Z)D.[2左，2Z+2](&£Z)

解析：产sin=%=sin(三一g),由一g+ZEW9—gW；+2也(AGZ),得2EW竽W兀+2E(左£Z).所以函数

y=sin与兀的单调递增区间是[4k,4%+2](%GZ).

答案：B

5.若函数丫二百门》的定义域为[a,b],值域为[-1,i],则h—a的最大值和最小值之和等于()

A.yB.yC.2兀D.4兀

解析：作出产sinx的一个简图如图所示.因为函数产sinx在[m上的值域为[―1,

.IT.5Tt1«3TCI

且sin7=sin—=sin—=-1,

o6zZ

所以在定义域[a,/?]上，〃一〃的最小值为警—孚=今，

Zo3

h-a的最大值为2兀+]—•=号，

oo3

所以b—。的最大值与最小值之和为2兀

答案：C

6.函数y=2cosQ%+勃':]的值域为.

解析：：问-『*.⑵*卜?y],

/.cos（2x+H）e[-i,1],

.：函数），的值域为[-1,2].

答案:[-1.2J

7.函数y=sin2x—4sinx的最大值为.

解析：y=sin2x—4sinx=（sinx—2）2—4.

丁一IWsinxWl,.:当sinx=-1时，y取最大值＞皿=（—1—2）?—4=5.

答案：5

8.已知函数产3sin（2%+*xe[o,月的单调递增区间为。，川，则实数根的值为

解析：由一0+2EW2x+：W5+2E,k®Z,得一当&£Z.

L4Zoo

又因为04母，所以04W，即函数y=3sin（2%+*xe[o,1的单调递增区间为[o,

所以m=^.

O

答案：I

9.已知函数人r）=2sin（2x+,）（—1＜9＜今，且段）的图象经过点（0,1）.

（1）求函数7U）的最小正周期及（p的值；

（2）求函数火x）的最大值及取得最大值时自变量x的取值集合；

（3）求函数/U）的单调递增区间.

解析：（1）函数«x）的最小正周期为7=夺=兀

因为/U）的图象经过点（0,1）,

所以«0）=2sin0=1,即sin

又因为一所以8二1.

LLo

⑵由（1）可知於）=2sin（2%+）所以函数於）的最大值是2,此时2%=知攵咏6）,

即x=”+E（&£Z）,

6

所以於）取得最大值时x的取值集合是{尤卜=>而，ZGZ}.

⑶由⑴可知/（x）=2sin（2%+胃

由一日+2EW2x+?<?+2E（攵£Z）,得一?+EWxW?+E（/：£Z）,

LOL3O

所以函数危）的单调递增区间为[一号+kn,*+kn]（ACZ）.

题组2

l.v=3咯的最小值是（）

Jsmx+2

A.2B.-2C.1D.-1

解析：由尸笔=2—f,

Jsmx+2sinx+2

当sinx=_1时，y=-^吟取得最小值一2.

Jsmx+2

答案：B

2.设函数/）=2sin（/x+g）,若对任意x£R都有701）（/（4亦加2）成立，则g—切的最小值为（）

A.4B.2C.1D.1

解析：由题意可得函数於）=2sin（务+以的周期丁=争=4,对任意x£R,都有於1）勺沁勺⑴）成立，说明

«X]）为最小值，兀⑵为最大值,

T

故|汨—X2|min=2=2.

答案：B

3.已知函数人无尸sin3（3>0）在区间[一与，朗上单调递增，且存在唯一xoe[O,K],使得"xo）=l,则实数

。的取值范围为（）

A以|]Bj,|）C.瑞，|]D,圉|]

角不析：由2E——5<COXW2Z：7C+5（AWZ）,

得也I-白0W四+白（&GZ）.

a）2a）a）2a）

所以函数©=sin5（。>0）的单调递增区间为管一言，等+品（&GZ）.又因为函数危）在区间[一茎,

2n5rt]JL_L]

争上单调递增，且存在唯一xoC[O,n],使得假）=1,所以1T3'6j—I2」23「‘解得白“w|,

岛e[0,n],

故选A.

答案：A

4.已知函数_/（x）=sinox在区间（0,弓）内单调递增，则下列结论正确的是.（将所有符合题意的序

号填在横线上）

①函数/）=sinox在区间（一?0）内单调递增；

②满足条件的正整数3的最大值为3；

③詹）三公）

解析：因为/（x）=sin公1的定义域为R,且式-x）=sin（—cvx）=—sin5=—所以人工）为奇函如又因为

7（x）=sinGX在区间（0,内单调递增，所以函数大幻=sintzzx在区间（一/，0）内单调递增，故①正确；由

题意可知％oWg解得即满足条件的正整数①的最大值为3,故②正确；由题意可得对称轴

oZ6

又因为"+A/2x/所以尼）为（雪），故③正确.

答案：①②③

5.设函数/x）=asin（2x+,）+B.

（1）若a>0,求火x）的单调递增区间；

（2）当xe[o,]时，«r）的值域为[1,3],求”，〃的值.

解析：⑴因为〃>0,令2kt—^W2x+衿2E+/（Aez）,得E—招《航+也止2）,

所以/（x）的单调递增区间是[E—瑞，E+工]（Jiez）.

⑵当XG[。，皆时，产2%+*朗，则3sM2x+§Wl.又因为危）的值域为[1,3],

a>0,

Q+b=3,解得I。一%

1（b=-1.

{-a+b=1,

6.已知函数於）=2sin（2x—§+L

⑴求函数/U）的周期；

（2）求函数7U）在区间（