2023-2024学年贵州省贵阳市南明区部分学校高一（下）联考数学试卷（6月份）（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年贵州省贵阳市南明区部分学校高一（下）联考数学试卷（6月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知复数z=i(1−A.2 B.2 C.5 D.2.设{e1,eA.2e1+e2和e1−e2 B.3e1−3.已知a,b,e是平面向量，e是单位向量，若非零向量a与e的夹角为π4，向量b满足b2A.322−1 B.24.a，b为不重合的直线，α，β为互不相同的平面，下列说法正确的是(

)A.若α/​/β，a⊂α，b⊂β，则a/​/b B.若a/​/b，a/​/α，b/​/5.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若acoA.等腰三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.钝角三角形6.下列说法不正确的是(

)A.正棱锥的底面是正多边形，侧面都是等腰三角形

B.棱台的各侧棱延长线必交于一点

C.用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分是棱台

D.棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形7.人脸识别就是利用计算机检测样本之间的相似度，余弦距离是检测相似度的常用方法.假设二维空间中有两个点A(x1,y1)，B(x2,y2)，O为坐标原点，定义余弦相似度为cos(A,A.33 B.13 C.−8.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，A.43

B.45

C.

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列命题中，真命题为(

)A.复数z=a+bi为纯虚数的充要条件是a=0

B.复数z=1−3i的共轭复数为z10.已知a，b，c是平面上三个非零向量，下列说法正确的是(

)A.一定存在实数x，y使得a=xb+yc成立

B.若a⋅b=a⋅c且b=c，那么一定有a⊥(b11.已知某市2017年到2022年常住人口(单位：万)变化图如图所示，则(

)

A.该市2017年到2022年这6年的常住人口的极差约为38万

B.该市2017年到2022年这6年的常住人口呈递增趋势

C.该市2017年到2022年这6年的常住人口的第60百分位数为730.50万

D.该市2017年到2022年这6年的常住人口的平均数大于718万三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.若AB=3，AC=2CB，平面内一点P，满足13.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若(b2+c2−a14.已知甲、乙、丙、丁四人各自独立解决某一问题的概率分别是0.5，0.4，0.3，a，如果甲、乙、丙至少有一人解决该问题的概率不小于丁独立解决这一问题的概率，则a的最大值是______．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知盒中有大小、质地相同的红球、黄球、蓝球共4个，从中任取一球，得到红球或黄球的概率是34，得到黄球或蓝球的概率是12．

(1)求盒中红球、黄球、蓝球的个数；

(2)随机试验：从盒中有放回的取球两次，每次任取一球记下颜色．

(i)写出该试验的样本空间Ω16.(本小题15分)

为提倡节约用水，某市为了制定合理的节水方案，对家庭用水情况进行了调查，通过简单随机抽样抽取2023年500个家庭的月均用水量(单位：t)，将数据按照[4.5,5.5)，[5.5,6.5)，[6.5,7.5)，[7.5,8.5)，[8.5,9.5)，[9.5,10.5]分成6组，绘制的频率分布直方图如图所示，已知这500个家庭的月均用水量的第27百分位数为6.9．17.(本小题15分)

已知向量a=(x,2),b=(3,−1)．

(1)若(a18.(本小题17分)

在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知b=2，ab=33sinC+cosC．

(1)求角B；

(2)19.(本小题17分)

如图，在正三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=3AA1，D为AB的中点．

(1)证明：AB⊥平面CC1D

答案和解析1.【答案】B

【解析】解：∵z=i(1−i)=1+i，2.【答案】B

【解析】解：对于A，可设2e1+e2=λ(e1−e2)，可知λ=2且λ=−1，显然不成立，所以这两个向量可作为基底，

3.【答案】A

【解析】解：已知a,b,e是平面向量，e是单位向量，若非零向量a与e的夹角为π4，

不妨设e=(1,0)，a=(x,y)，

又非零向量a与e的夹角为π4，

则y=x，

设b=(m,n)，

又向量b满足b2−6b4.【答案】D

【解析】解：a，b为不重合的直线，α，β为互不相同的平面，

对于A，若α/​/β，a⊂α，b⊂β，则a与b平行或异面，故A错误；

对于B，若a/​/b，a/​/α，b/​/β，则α与β相交或平行，故B错误；

对于C，若a/​/b，b/​/α，则a/​/α或a⊂α，故C错误；

对于D，若a/​/α，b⊂α，则由线面平行的性质得a/5.【答案】A

【解析】解：acosC+ccosA=a，

由正弦定理得sinAcosC+sinCc6.【答案】C

【解析】解：根据题意，依次分析选项：

对于A，由正棱锥的定义，正棱锥的底面是正多边形，侧面都是等腰三角形，A正确；

对于B，棱台的各侧棱延长线必交于一点，B正确；

对于C，用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分是棱台，C错误；

对于D，由棱柱的定义，棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形，D正确．

故选：C．

根据题意，由棱锥、棱柱、棱台的结构特征依次分析选项，综合可得答案．

本题考查棱柱、棱锥、棱台的结构特征，涉及棱锥的定义，属于基础题．7.【答案】C

【解析】解：由P(cosα,sinα)，Q(1,0)可得OP=(cosα,sin8.【答案】C

【解析】解：如图，连接AC，AD1，B1D1，B1C，将平面ACD1和平面B1CD1展开到同一平面，

连接AB1，交CD1于点M，

则AE+B1E≥AB1，

因为AB=4，所以AC=B9.【答案】BC【解析】【分析】本题考查复数的概念与分类，共轭复数，复数的乘法与除法，属于基础题．

根据纯虚数的定义判断A，根据共轭复数的定义判断B，根据虚部的定义判断C，根据复数的乘法与除法判断D．【解答】

解：复数z=a+bi为纯虚数的充要条件是a=0且b≠0，故A错误，

复数z=1−3i的共轭复数是z−=1+3i，故B正确，

复数10.【答案】BC【解析】【分析】本题主要考查向量垂直与数量积的关系，属于基础题．

对于选项A，没有声明b和c不共线；

对于选项B，利用向量垂直的定义即可判断；

对于选项C，将|a+b−2c|变形成|(a−c)+【解答】

解：对于选项A，当b与c共线，a与b不共线时，不存在x、y使得a=xb+yc成立，故A选项错误；

对于选项B，因为a⋅b=a⋅c，所以a⋅b−a⋅c=0，即a⋅(b−c)=0，

所以a⊥(b−c)，故B选项正确；

对于选项C，若(a−c)⊥(b−c)，则(a−c)⋅(b−c)=0，11.【答案】AC【解析】解：对于A，该市2017年到2022年这6年的常住人口按照从小到大的顺序排列为：

698.12，703.09，703.54，730.50，732.20，736.00，

则极差为736−698.12≈38万，故A正确；

对于B，由图可知该市2017年到2022年这6年的常住人口有增有减，故B错误；

对于C，6×0.6=3.6，∴第60百分数位为730.50万，故C正确；

对于D，平均数为16(698.1212.【答案】12【解析】解：如图，由向量的数量积定义和PA⋅PC|PA|=PB⋅PC|PB|可得，

|PC|cos〈PA,PC〉=|PC|cos〈PB,PC〉，

所以∠APC=∠BPC，由角平分线定理可得：PAPB=ACBC13.【答案】(【解析】解：由余弦定理可得2cbcosAsinC2bsinAcosC+c22b+c=0，

可得cosAsinCsinAcosC+c2b+c=0，

由正弦定理可得：cosAsinCsinAcosC14.【答案】0.79

【解析】解：甲、乙、丙、丁四人各自独立解决某一问题的概率分别是0.5，0.4，0.3，a，

∵甲、乙、丙至少有一人解决该问题的概率不小于丁独立解决这一问题的概率，

∴1−(1−0.5)(1−0.4)(1−0.3)≥a，15.【答案】解：(1)从中任取一球，分别记得到红球、黄球、蓝球为事件A，B，C，

因为A，B，C为两两互斥事件，

由已知得P(A)+P(B)+P(C)=1P(A)+P(B)=34P(B)+P(C)=12，

解得P(A)=12P(B)=14P(C)=14，

∴盒中红球、黄球、蓝球的个数分别是2，1，1；

(2)(i)由(1)知红球、黄球、蓝球个数分别为2，1，1，用1，2表示红球，用a表示黄球，用b表示蓝球，【解析】(1)从中任取一球，分别记得到红球、黄球、蓝球为事件A，B，C，根据A，B，C为两两互斥事件，由P(A)+P(B)+P(C)=1P(A)+P(B)=34P16.【答案】解：(1)由频率分布直方图可知，月均用水量在[7.5,8.5)内的家庭的频率为0.3，

则在这500个家庭中月均用水量在[7.5,8.5)内的家庭有500×0.3=150户．

(2)由频率分布直方图，可得0.05+b+a+0.30+0.20+0.08=1，

则a+b=0.37【解析】(1)求得月均用水量在[7.5,8.5)内的频率，根据频数公式求解即可；

(2)根据频率分布直方图的性质和月均用水量的第2717.【答案】解：(1)因为a=(x,2),b=(3,−1)，

所以a−b=(x−3,3),2a+b=(2x+3,3)，

因为(a−b)⊥(2a+b)，所以((a−b)⋅(2【解析】(1)由(a−b)⊥(2a+b18.【答案】解：(1)已知ab=33sinC+cosC，

则a=33bsinC+bcosC，

则sinA=sin(B+C)=33sinBsinC+sinBcosC⇒sinBcosC+cosBsinC=33sinBsinC+sinBcosC⇒cosBsinC=33sinBsinC，

又C∈(0,π)，

【解析】(1)由正弦定理及两角和的正弦公式求解；

(2)由向量的线性运算，结合余弦定理及基本不等式求解；

19.【答案】(1)证明：正三棱柱ABC−A1B1C1中，则△ABC为等边三角形，D为AB的中点，

所以CD⊥AB，而CC1⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，

所以CC1⊥