微专题13 轻松搞定立体几何的轨迹问题（三大题型）（原卷版）

微专题13轻松搞定立体几何的轨迹问题【题型归纳目录】题型一：轨迹图形题型二：轨迹长度题型三：轨迹面积【典型例题】题型一：轨迹图形【典例1-1】（2024·北京密云·一模）如图，在正方体中，是棱的中点，是侧面内的动点，且与平面的垂线垂直，则下列说法不正确的是（

）A．与不可能平行B．与是异面直线C．点的轨迹是一条线段D．三棱锥的体积为定值【典例1-2】（2024·高二·江西·阶段练习）四棱柱的底面为正方形，侧棱与底面垂直，点是侧棱的中点，，若点在侧面(包括其边界)上运动，且总保持，则动点的轨迹是（

）A． B． C． D．【变式1-1】（2024·高一·全国·课后作业）在三棱台A1B1C1﹣ABC中，点D在A1B1上，且AA1∥BD，点M是内（含边界）的一个动点，且有平面BDM∥平面A1C，则动点M的轨迹是（

）A．平面 B．直线C．线段，但只含1个端点 D．圆【变式1-2】（2024·高一·北京西城·阶段练习）如图，正方体中，为底面上的动点，且于，且，则点的轨迹是（

）A．线段 B．圆弧C．抛物线的一部分 D．以上答案都不对【变式1-3】（2024·高一·全国·课后作业）如图所示，四棱锥的底面为正方形，侧面为等边三角形，且侧面底面，点在正方形内运动，且满足，则点在正方形内的轨迹一定是（

）A． B．C． D．题型二：轨迹长度【典例2-1】（2024·四川南充·模拟预测）已知三条射线，，两两所成的角都是60°.点在上，点在内运动，，则点的轨迹长度为A． B． C． D．【典例2-2】（2024·高二·安徽宣城·期末）已知正方体的棱长为分别是棱､的中点，点为底面四边形内（包括边界）的一动点，若直线与平面无公共点，则点的轨迹长度为（

）A．2 B． C． D．【变式2-1】（2024·高一·河南周口·期末）如图，在三棱柱中，M为A1C1的中点N为侧面上的一点，且MN//平面，若点N的轨迹长度为2，则（

）

A．AC1=4 B．BC1＝4 C．AB1＝6 D．B1C＝6【变式2-2】（2024·高一·浙江宁波·期中）如图，已知长方体，，，E、F分别是棱、的中点，点为底面四边形ABCD内（包括边界）的一动点，若直线与平面BEF无公共点，则点的轨迹长度为（

）A． B． C． D．题型三：轨迹面积【典例3-1】（2024·高三·江西抚州·期中）已知菱形的各边长为.如图所示，将沿折起，使得点到达点的位置，连接，得到三棱锥，此时.若是线段的中点，点在三棱锥的外接球上运动，且始终保持则点的轨迹的面积为.

【典例3-2】（2024·高二·广东汕头·期末）已知棱长为的正方体，为棱中点，现有一只蚂蚁从点出发，在正方体表面上行走一周后再回到点，这只蚂蚁在行走过程中与平面的距离保持不变，则这只蚂蚁行走的轨迹所围成的图形的面积为．【变式3-1】（2024·高三·浙江杭州·期末）在棱长为的正方体中，棱，的中点分别为，，点在平面内，作平面，垂足为．当点在内（包含边界）运动时，点的轨迹所组成的图形的面积等于．【过关测试】1．（多选题）（2024·高一·安徽黄山·期末）在棱长为的正方体中，已知点在面对角线上运动，点，，分别为，，的中点，点是该正方体表面及其内部的一动点，且平面，则下列选项正确的是（

）A．平面B．平面平面C．过，，三点的平面截正方体所得的截面面积为D．动点的轨迹所形成区域的面积是2．（多选题）（2024·高一·广西河池·期末）如图，正方体的棱长为2，动点M在侧面内运动（含边界），且，则（

）

A．点M的轨迹长度为B．三棱锥的体积不为定值C．的最小值为D．取最小值时三棱锥的体积为3．（多选题）（2024·高一·四川成都·期末）在棱长为4的正方体中，，，，，分别是，，，，的中点，点是线段上靠近的三等分点，点是线段上靠近的三等分点，为底面上的动点，且面，则（

）A．B．三棱锥的外接球的球心到面的距离为C．多面体为三棱台D．在底面上的轨迹的长度是4．（多选题）（2024·高一·吉林长春·期末）在棱长为4的正方体中，点E为棱的中点，点F是正方形内一动点（含边界），则下列说法中正确的是（

）A．直线与直线AC夹角为60°B．平面截正方体所得截面的面积为18C．若，则动点F的轨迹长度为πD．若平面，则动点F的轨迹长度为5．（多选题）（2024·辽宁沈阳·二模）在正方体中，，点P在正方体的面内（含边界）移动，则下列结论正确的是（

）A．当直线平面时，则直线与直线成角可能为B．当直线平面时，P点轨迹被以A为球心，为半径的球截得的长度为C．若直线与平面所成角为，则点P的轨迹长度为D．当直线时，经过点B，P，的平面被正方体所截，截面面积的取值范围为6．（2024·高一·河北唐山·期中）已知正方体的边长为2，M是的中点，点P在正方体内部或表面上，且平面，则动点P的轨迹所形成的区域面积是.7．（2024·高二·江苏无锡·阶段练习）已知正方体的棱长为为体对角线的三等分点，动点在三角形内，且三角形的面积，则点的轨迹长度为.8．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知正方体的棱长为1，E，F，G分别是，，的中点.下列命题正确的是（写出所有正确命题的编号）.①以正方形的顶点为顶点的三棱锥的四个面最多只有三个面是直角三角形；②P在直线上运动时，；③Q在直线上运动时，三棱锥的体积不变；④M是正方体的面内到点D和距离相等的点，则M点的轨迹是一条线段.9．（2024·内